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西藏自治区日喀则市某校2025-2026学年高三下学期4月模拟数学试卷
一、单选题
1．一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ）
A．6.5 B．7 C．9 D．12
2．若复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．已知平面向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．有6辆车停放7个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停法共有（ ）
A．192种 B．288种 C．360种 D．480种
5．已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为，点在上，的最小值为8，则椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在R上的奇函数，满足，当时，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
7．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
8．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．-340 B．-5440 C．-21706 D．-21845
二、多选题
9．若a，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的极大值点为0，极小值点为，且极小值为0，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点，使得，且直线与直线之间的距离均为2，分别过直线作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记，，则（ ）

A．
B．
C．第j个四棱柱的体积为
D．前j个四棱柱的体积之和为
三、填空题
12．已知集合，且，则实数的取值范围是__________.
13．已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________.
14．在双曲线中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆叫做双曲线的“伴随圆”，过双曲线上任意一点（顶点除外）作“伴随圆”的两条切线，切点分别为、，若直线在、轴上的截距分别为、，双曲线的离心率为2，则__________.
四、解答题
15．已知函数其中且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期和单调递减区间.
16．盒子里有编号为且大小和质地均相同的4个小球，现随机取球.
(1)若随机一次取出两个球，求取出的两个球编号之和为偶数的概率；
(2)若第一次先取出一个球，取到球的编号记为，第二次从编号为的球中任取一个球，求的分布列 数学期望以及第二次取出2号球的概率.
17．已知函数.
(1)若曲线在其上一点处的切线的倾斜角为，求的解析式；
(2)若，不等式恒成立，求的最大值.
18．已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点.
(1)求准线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．D
5．B
6．B
7．C
8．D
9．BD
10．ACD
11．BCD
12．
13．或2
14．
15．解：（Ⅰ）由已知得，
又所以
（Ⅱ）
函数最小正周期
函数单调递减区间为.
16．（1）随机一次取出两个球，有种取法.两个球编号之和为偶数只有1，3和2，4这两种情况，故所求概率为.
（2）由题意可得，，
的分布列为
1 2 3 4
所以的数学期望.
记事件“第一次取到号球”，，事件“第二次取出2号球”，
由题意知为两两互斥的事件，且（样本空间），
所以
.
17．（1）由题意可知，即.
又，
又切线的倾斜角为，故斜率为1，
则，解得.
.
（2）由题意可知，
令，得，
令，得，即在上单调递增；
令，得，即在上单调递减.
有解，
，即，
.
令，
，
由，，
即在上单调递增，在上单调递减，
，
，即的最大值为3.
18．（1）解：因为抛物线关于轴对称，
可得必过中的两点，
代入可得，解得，
所以抛物线的方程为，准线的方程为.
（2）解：证明：设直线的方程为且，
联立方程组，整理的，
可得，且，
则.
又直线的方程为，令，得点的纵坐标，
又由过点作的垂线，垂足为，所以点的纵坐标，
所以
（定值）.
19．（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因，则，，
所以，，
①设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或，
②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.

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