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第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
第2课时
3
学习目标
1．知道多边形的内角和公式、多边形的外角和．
2．运用多边形的内角和公式、多边形的外角和进行有关的计算．
4
1.三角形的内角和是 .
2.正方形和长方形都是特殊的四边形，它们的内角和是 .
那么，一般的四边形的内角和是否也等于360°？
180°
360°
5
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
4
3
2
1
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°
=360°
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①如图，从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°× ．
②如图，从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× ．
2
3
3
3
4
4
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一般的，从n边形的一个顶点出发，可以引
条对角线，它们将n边形分为 个三角形，n边形的内角和等于180°× ．
多边形的内角和公式：
n边形内角和等于(n－2) ×180°.
n－3
n－2
n－2
8
思考：从前面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形，再利用“三角形内角和定理”来求．那么，除了利用对角线把n边形分成若干个三角形外，还有其他分法吗？由新的分法能得出多边形内角和公式吗？
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A1
A2
A3
A4
A5
An
O
分法一：在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶点的线段把n边形分成了有一个公共顶点的n个三角形.
从而，n边形的内角和是n×180°－360°，即(n－2) ×180°.
10
A1
A2
A3
A4
A5
An
P
分法二：在n边形的一边上任取点P，连接点P与各个顶点的线段把n边形分成了有一个公共顶点的（n－1）个三角形.
从而，n边形的内角和是（n－1）×180°－180°，即(n－2) ×180°.
11
例 题
1．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D的度数.
D
B
A
C
解：在四边形ABCD中，
∠A+∠C=180°
∵∠A+∠B+∠C+∠D
=(4－2)×180°=360°
∴∠B+∠D =360°－(∠A+∠C)
=360°－180°=180°
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
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2.如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于 ．
分析：多边形的任何一个外角和与它相邻的内角都互补，因此，六边形的6个外角和6个内角的总和等于6×180°，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
6×180°－(6－2) ×180°
=2×180°=360°
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3.如果将六边形换为n边形（n是大于或等于3的整数），那么n边形的外角和等于 .
与六边形的外角和的求法类似，n边形的外角和是n个平角减去多边形的内角和，即
n×180°－(n－2) ×180°=360°
多边形的外角和等于360°.
多边形的外角和与它的边数无关.
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也可以如下理解为什么多边形的外角和等于360°.
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
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1.若一个多边形的边数增加2倍，则它的外角和（ ）
A.扩大2倍 B.缩小至原来的
C.保持不变 D.无法确定
2.一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.七边形的内角和是 °．
C
A
900
五分钟基础知识堂堂清（课堂训练）
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4.若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形的边数是 ．
5．如果一个多边形的内角和与外角和度数之比为3∶1，则这个多边形的边数是多少？
9
解：设这个多边形的边数是n.依题意，得
(n－2)×180°=360°×3
解得 n=8
∴这个多边形的边数为8
17
1.多边形的内角和公式：(n－2) ×180°（与边数有关）
2.多边形的外角和是360 °（与边数无关）
课堂小结

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