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湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025九下·长沙期中）下列实数中，比2大的数是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：由于，
因此比2大的数是5，
故选：A．
【分析】本题主要考查实数的大小比较，正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数。将各选项中的数按从小到大的顺序排列后，找出大于 2 的数即可。注意 5 > 2，而 1， 0， -2 均不大于 2。
2．（2025九下·长沙期中）的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2000万，
故选：B．
【分析】
将2000万用科学记数法的形式表示出来，其中，为整数，确定和a的值.
3．（2025九下·长沙期中）近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求，A不符合题意；
B：图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求，B不符合题意；
C：图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求，C不符合题意；
D：图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求，D符合题意。
故选：D。
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的概念。轴对称图形是指沿某条直线对折后两边能完全重合的图形；中心对称图形是指绕某个点旋转180°后能与原图形重合的图形。根据这两个定义对选项进行逐一判断。
4．（2025九下·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，A不符合题意；B.，原计算错误，B不符合题意；
C.，原计算错误，C不符合题意；
D.，原计算正确，D符合题意。
故选：D。
【分析】本题考查幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法运算。根据运算法则逐一分析各选项即可得出正确结论。
5．（2025九下·长沙期中）如图，直线，交于，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：A．
【分析】
根据利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
6．（2025九下·长沙期中）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】根据圆周角定理可得：
已知，则
故选：D．
【分析】本题考查圆周角定理的应用，解题关键在于熟练掌握该定理内容。根据圆周角与圆心角的关系直接求解。
7．（2025九下·长沙期中）对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而增大
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A. 验证4×1-5=-1≠2，图像不经过(1，2)，A错误；
B. 图像经过一、三、四象限，B错误；
C. 当x时y<0的判断，C错误；
D. ∵k=4>0，∴函数单调递增，D正确。
故选：D．
【分析】根据一次函数图象的性质分析各选项：
选项A：将点(1，2)代入函数验证不成立，说明图像不经过该点；
选项B：函数图象实际经过第一、第三、第四象限，描述有误；
选项C：当x小于5/4时函数值为负的判断错误；
选项D：由于斜率4>0，函数值确实随自变量增大而增大。
8．（2025九下·长沙期中）长沙市某中学开展“经典诵读”比赛活动，九年级某班7名同学在此次比赛中的得分单位：分分别是91，91，91，92，98，99，99，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．91，91 B．91，91.5 C．91，92 D．99，92
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题目数据：得分91分出现3次，频数最高，因此众数为91分；
将数据排序后第4位的数值是92分，故中位数为92分。故选：C．
【分析】本题主要考查众数和中位数的概念，解题关键是理解：众数是指一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数值（当数据个数为偶数时取中间两个数的平均值）。
9．（2025九下·长沙期中）2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】总情况数为，符合条件的情况数为，
所求概率为。
故选：A．
【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的基本公式是解答的关键。根据题目描述，共有种等可能性组合：护绿植绿与志愿服务， 护绿植绿与公益环保，护绿植绿与文化宣讲， 志愿服务与公益环保，志愿服务与文化宣讲，公益环保与文化宣讲，其中满足"护绿植绿"和"文化宣讲"的组合只有1种情况。
10．（2025九下·长沙期中）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（　　）
A．26 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作轴于，如图：
轴，轴，
∠CDB=∠AOB=90°，
∵点B是AC的中点，
∴AB=BC，
又，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：B．
【分析】过C作CD⊥y轴于D，首先利用“AAS”证明△DBC≌△OBA，由全等三角形的对应边相等及全等三角形的面积相等求得，，由等底同高三角形面积相等得到，从而可得△COD的面积为8，最后根据反比例函数k的几何意义，结合k＜0得出符合题意的k的值.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分．
11．（2025九下·长沙期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】x≥6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴x的取值范围是：x≥6．
故答案为：x≥6．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
12．（2025九下·长沙期中）分式方程 =1的解是　 　．
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x﹣1=3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
13．（2025九下·长沙期中）设分别为一元二次方程的两个实数根，则___．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知 和 是方程 的两个实数根。
根据韦达定理，两根之积为：
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念以及韦达定理（根与系数的关系）。理解并应用这些知识点是解题的关键。根据韦达定理可知，对于一元二次方程 的两个根 和，有。
14．（2025九下·长沙期中）某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：解：这张扇形纸板的面积为，
故答案为：．
【分析】
根据圆锥侧面积公式即可求解．
15．（2025九下·长沙期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
【分析】先证出四边形是菱形，再利用等积法可得，最后求出OC的长即可.
16．（2025九下·长沙期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了　 　局．
【答案】16
【知识点】推理与论证；逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意：甲担任裁判5局推出乙和丙之间进行了5局比赛，
乙总共打了8局 推出乙与甲进行了8-5=3局，
丙总共打了13局推出丙与甲进行了13-5=8局，
总比赛局数=乙丙对局+乙甲对局+丙甲对局=5+3+8=16局
故答案为：16．
【分析】本题考查逻辑推理能力。通过分析比赛局数关系，先确定乙和丙之间进行了5局比赛，再根据总比赛次数计算出甲与其他选手的对局数，最终得出三人总共进行的比赛局数。解题关键在于从已知数据中发现数量关系并建立数学模型。
三、解答题：本题共8小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共72分．
17．（2025九下·长沙期中）计算：；
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算和特殊角的三角函数值计算。解题时需先对各项进行化简，然后执行加减运算。解答的关键在于熟练掌握相关运算法则，并准确记忆特殊角的三角函数值。题目不涉及图片或公式内容。
18．（2025九下·长沙期中）先化简，再求值：计算，其中．
【答案】解：原式，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对原式化简，再将给定的x的值代入化简的式子求值．
19．（2025九下·长沙期中）天心阁景区位于长沙市中心东南角，自古享有“潇湘古阁，秦汉名城”的赞誉，是三千年古城长沙最具代表性的文化旅游景点，也是长沙城标志性的历史建筑．景区内有古城墙、天心古阁等建筑，在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量天心阁主阁及城墙的高度，如图，他们选取的测量点与城墙底部在同一水平线上，为城墙的高，已知，在处测得平台的仰角，顶部的仰角为．
（1）求城墙的高；
（2）求主阁的高度．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】（1）解：在中，，∵，
∴；
（2）解：在中，，∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；求正切值
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及仰角俯角问题，解题关键在于熟练掌握锐角三角函数的定义。
（1）在直角三角形BCD中，根据正切函数的定义有：，将已知条件代入即可求解。
（2）同样在直角三角形BCD中，利用正切函数关系式：，求出AC，接着即可求出AD.
（1）解：在中，，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴．
20．（2025九下·长沙期中）人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次随机抽取调查的总人数为_______，并补全图①中的条形统计图；
（2）图②中项目对应的圆心角的度数为_______；
（3）若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
【答案】（1）60；
项目人数为（人），补全条形统计图如图：
（2）；
（3）解：样本中喜欢（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有500名学生，所以估计喜欢模块的学生人数为人，
答：喜欢（图像识别）模块的学生人数是150人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知：组人数为9名，所占百分比为，
∴这次被调查的学生人数为（名）；
故答案为：60；
（2）解：项目对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的应用，以及利用样本数据估计总体情况。解题关键在于从两种统计图中准确提取信息并进行正确计算。
（1）首先根据C项目的人数和所占百分比计算出总人数，然后求出D项目人数，完成条形统计图的补充；
（2）运用圆心角计算公式，求出项目E在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）通过样本中喜欢B项目的人数比例，推算出全校学生中喜欢B项目的估计人数。
（1）解：由统计图可知：组人数为9名，所占百分比为，
∴这次被调查的学生人数为（名）；
项目人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：60；
（2）解：解：项目对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：样本中喜欢（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有500名学生，所以估计喜欢模块的学生人数为人，
答：喜欢（图像识别）模块的学生人数是150人．
21．（2025九下·长沙期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵在等边中，，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握这些知识点是解题关键。
（1）根据等边三角形的性质可得，利用"边角边"定理即可证明两个三角形全等；
（2）由题意可知，根据角度关系可，由此可求出结果。
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵在等边中，，
∴．
22．（2025九下·长沙期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元．
（1）求，两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
【答案】（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元；
（2）解：设购进类头盔个，类头盔个，
则，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值元，
购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题重点考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，关键在于利用一次函数性质求解最大利润问题。
(1) 设A类头盔单价为元，B类头盔单价为元。根据题目描述的两种购买方案，建立二元一次方程组求解即可确定单价。
(2) 设采购A类头盔个，则B类头盔为个。根据总预算限制建立不等式：，解此不等式可得的取值范围。设总利润为元，建立利润函数：
。根据一次函数的单调性，当取最大值6时（此时B类头盔为4个），可获得最大利润270元。
（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元；
（2）解：设购进类头盔个，类头盔个，
则，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值元，
购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元．
23．（2025九下·长沙期中）已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为圆的切线；
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题重点考查了切线的判定方法、直径所对圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的核心。
（1）连接，根据等腰三角形性质可得。利用直径性质可知，进而推导出，即，从而得证；
（2）通过证明，运用相似三角形对应边成比例的性质完成证明；
（3）在（2）的结论基础上，先求出的长度，再计算的长度即可得出最终结果。
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为圆的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，
∴，
∴，
∴．
24．（2025九下·长沙期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．
（1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；
①；②；③；④
（2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；
（3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．
【答案】（1）①④；
（2）如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
（3）把代入得：，把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；切线的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
【分析】本题综合考查二次函数、一次函数与几何图形的关系，涉及勾股定理、等腰直角三角形性质及圆的切线性质等知识。解题的关键在于灵活运用数形结合的思想方法。（1）根据题目描述绘制图形，结合“奇妙点”的定义进行求解；
（2）如图所示，先确定点和点的坐标。假设轴上存在点，根据题意需满足。代入坐标后得到方程，通过判别式分析解的情况；
（3）首先求出抛物线为，直线为，求出，，如图，过点作轴，交于点，在轴上作点，连接，得到，推出当、、共线时，最长，，进而求解即可．
（1）如图所示，①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
（2）方法一：如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
方法二：∵、，
∴，
∵轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，
∴在为直径的圆上，设圆心为点，
如图，
①当在轴下方且与轴相切时，，
点坐标为，此时；
②当在轴上方且与轴相切时，，
点坐标为，此时，
∴；
（3）把代入得：，
把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
25．（2025九下·长沙期中）我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用．
（1）将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①若，则该矩形是黄金矩形；（　　）
②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（　　）
③若该矩形是黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（　　）
（2）如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中．
①求证：；
②求的余弦值．
（3）如图2，在中，高为，，，矩形的一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
【答案】（1）①√；②√；③√
（2）解：①∵矩形，∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∴；
②∵，
∴设，则，
设，则，
在中，由勾股定理，可知：，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵矩形是黄金矩形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
当时，如图所示：
则，，，
根据平移可知：，
∴，
∴，
即，
解得：，
；
当时，如图所示：
则，
根据平移可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上分析可知：．
【知识点】分段函数；等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵，∴，∴该矩形是黄金矩形，故此说法正确；
②∵该矩形是黄金矩形，∴，∵，∴，
∴矩形的面积为，故此说法正确；
③∵该矩形是黄金矩形，∴，∴，
∵外接圆半径为，∴矩形的对角线长为，
根据勾股定理得：，即，整理得：，故此说法正确．
综上所述：①√；②√；③√
【分析】本题以黄金矩形为背景，综合考查黄金分割比的定义、矩形的性质、折叠变换中的角度与线段关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及动态几何中的分段函数问题。
（1）根据黄金矩形定义逐一验证；
（2）①利用折叠与平行线性质证明 HED =HDE，得 HE = HD；
②设未知数表示相关线段，在直角三角形中由勾股定理列方程，通过代数变形求出 cos ABD；
（3）先由相似三角形求出矩形的固定尺寸，再分矩形完全在三角形内部和部分超出两种情况，分别建立面积 S 与运动时间 t 的函数关系式。
（1）解：①∵，
∴，
∴该矩形是黄金矩形，故此说法正确；
②∵该矩形是黄金矩形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积为，故此说法正确；
③∵该矩形是黄金矩形，
∴，
∴，
∵外接圆半径为，
∴矩形的对角线长为，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，故此说法正确．
（2）解：∵矩形，
∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∴；
②∵，
∴设，则，
设，则，
在中，由勾股定理，可知：，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵矩形是黄金矩形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
当时，如图所示：
则，，，
根据平移可知：，
∴，
∴，
即，
解得：，
；
当时，如图所示：
则，
根据平移可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上分析可知：．
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025九下·长沙期中）下列实数中，比2大的数是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．
2．（2025九下·长沙期中）的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·长沙期中）近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·长沙期中）如图，直线，交于，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·长沙期中）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·长沙期中）对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而增大
8．（2025九下·长沙期中）长沙市某中学开展“经典诵读”比赛活动，九年级某班7名同学在此次比赛中的得分单位：分分别是91，91，91，92，98，99，99，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．91，91 B．91，91.5 C．91，92 D．99，92
9．（2025九下·长沙期中）2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·长沙期中）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（　　）
A．26 B．16 C．12 D．8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共18分．
11．（2025九下·长沙期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
12．（2025九下·长沙期中）分式方程 =1的解是　 　．
13．（2025九下·长沙期中）设分别为一元二次方程的两个实数根，则___．
14．（2025九下·长沙期中）某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为　 　．
15．（2025九下·长沙期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
16．（2025九下·长沙期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了　 　局．
三、解答题：本题共8小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共72分．
17．（2025九下·长沙期中）计算：；
18．（2025九下·长沙期中）先化简，再求值：计算，其中．
19．（2025九下·长沙期中）天心阁景区位于长沙市中心东南角，自古享有“潇湘古阁，秦汉名城”的赞誉，是三千年古城长沙最具代表性的文化旅游景点，也是长沙城标志性的历史建筑．景区内有古城墙、天心古阁等建筑，在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量天心阁主阁及城墙的高度，如图，他们选取的测量点与城墙底部在同一水平线上，为城墙的高，已知，在处测得平台的仰角，顶部的仰角为．
（1）求城墙的高；
（2）求主阁的高度．（参考数据：，结果保留整数）
20．（2025九下·长沙期中）人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次随机抽取调查的总人数为_______，并补全图①中的条形统计图；
（2）图②中项目对应的圆心角的度数为_______；
（3）若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
21．（2025九下·长沙期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2025九下·长沙期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元．
（1）求，两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
23．（2025九下·长沙期中）已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求半径的长．
24．（2025九下·长沙期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．
（1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；
①；②；③；④
（2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；
（3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．
25．（2025九下·长沙期中）我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用．
（1）将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①若，则该矩形是黄金矩形；（　　）
②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（　　）
③若该矩形是黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（　　）
（2）如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中．
①求证：；
②求的余弦值．
（3）如图2，在中，高为，，，矩形的一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：由于，
因此比2大的数是5，
故选：A．
【分析】本题主要考查实数的大小比较，正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数。将各选项中的数按从小到大的顺序排列后，找出大于 2 的数即可。注意 5 > 2，而 1， 0， -2 均不大于 2。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2000万，
故选：B．
【分析】
将2000万用科学记数法的形式表示出来，其中，为整数，确定和a的值.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求，A不符合题意；
B：图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求，B不符合题意；
C：图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求，C不符合题意；
D：图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求，D符合题意。
故选：D。
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的概念。轴对称图形是指沿某条直线对折后两边能完全重合的图形；中心对称图形是指绕某个点旋转180°后能与原图形重合的图形。根据这两个定义对选项进行逐一判断。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，A不符合题意；B.，原计算错误，B不符合题意；
C.，原计算错误，C不符合题意；
D.，原计算正确，D符合题意。
故选：D。
【分析】本题考查幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法运算。根据运算法则逐一分析各选项即可得出正确结论。
5．【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：A．
【分析】
根据利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】根据圆周角定理可得：
已知，则
故选：D．
【分析】本题考查圆周角定理的应用，解题关键在于熟练掌握该定理内容。根据圆周角与圆心角的关系直接求解。
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A. 验证4×1-5=-1≠2，图像不经过(1，2)，A错误；
B. 图像经过一、三、四象限，B错误；
C. 当x时y<0的判断，C错误；
D. ∵k=4>0，∴函数单调递增，D正确。
故选：D．
【分析】根据一次函数图象的性质分析各选项：
选项A：将点(1，2)代入函数验证不成立，说明图像不经过该点；
选项B：函数图象实际经过第一、第三、第四象限，描述有误；
选项C：当x小于5/4时函数值为负的判断错误；
选项D：由于斜率4>0，函数值确实随自变量增大而增大。
8．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题目数据：得分91分出现3次，频数最高，因此众数为91分；
将数据排序后第4位的数值是92分，故中位数为92分。故选：C．
【分析】本题主要考查众数和中位数的概念，解题关键是理解：众数是指一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数值（当数据个数为偶数时取中间两个数的平均值）。
9．【答案】A
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】总情况数为，符合条件的情况数为，
所求概率为。
故选：A．
【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的基本公式是解答的关键。根据题目描述，共有种等可能性组合：护绿植绿与志愿服务， 护绿植绿与公益环保，护绿植绿与文化宣讲， 志愿服务与公益环保，志愿服务与文化宣讲，公益环保与文化宣讲，其中满足"护绿植绿"和"文化宣讲"的组合只有1种情况。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作轴于，如图：
轴，轴，
∠CDB=∠AOB=90°，
∵点B是AC的中点，
∴AB=BC，
又，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：B．
【分析】过C作CD⊥y轴于D，首先利用“AAS”证明△DBC≌△OBA，由全等三角形的对应边相等及全等三角形的面积相等求得，，由等底同高三角形面积相等得到，从而可得△COD的面积为8，最后根据反比例函数k的几何意义，结合k＜0得出符合题意的k的值.
11．【答案】x≥6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴x的取值范围是：x≥6．
故答案为：x≥6．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
12．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x﹣1=3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知 和 是方程 的两个实数根。
根据韦达定理，两根之积为：
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念以及韦达定理（根与系数的关系）。理解并应用这些知识点是解题的关键。根据韦达定理可知，对于一元二次方程 的两个根 和，有。
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：解：这张扇形纸板的面积为，
故答案为：．
【分析】
根据圆锥侧面积公式即可求解．
15．【答案】10
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
【分析】先证出四边形是菱形，再利用等积法可得，最后求出OC的长即可.
16．【答案】16
【知识点】推理与论证；逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意：甲担任裁判5局推出乙和丙之间进行了5局比赛，
乙总共打了8局 推出乙与甲进行了8-5=3局，
丙总共打了13局推出丙与甲进行了13-5=8局，
总比赛局数=乙丙对局+乙甲对局+丙甲对局=5+3+8=16局
故答案为：16．
【分析】本题考查逻辑推理能力。通过分析比赛局数关系，先确定乙和丙之间进行了5局比赛，再根据总比赛次数计算出甲与其他选手的对局数，最终得出三人总共进行的比赛局数。解题关键在于从已知数据中发现数量关系并建立数学模型。
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算和特殊角的三角函数值计算。解题时需先对各项进行化简，然后执行加减运算。解答的关键在于熟练掌握相关运算法则，并准确记忆特殊角的三角函数值。题目不涉及图片或公式内容。
18．【答案】解：原式，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对原式化简，再将给定的x的值代入化简的式子求值．
19．【答案】（1）解：在中，，∵，
∴；
（2）解：在中，，∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；求正切值
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及仰角俯角问题，解题关键在于熟练掌握锐角三角函数的定义。
（1）在直角三角形BCD中，根据正切函数的定义有：，将已知条件代入即可求解。
（2）同样在直角三角形BCD中，利用正切函数关系式：，求出AC，接着即可求出AD.
（1）解：在中，，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）60；
项目人数为（人），补全条形统计图如图：
（2）；
（3）解：样本中喜欢（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有500名学生，所以估计喜欢模块的学生人数为人，
答：喜欢（图像识别）模块的学生人数是150人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知：组人数为9名，所占百分比为，
∴这次被调查的学生人数为（名）；
故答案为：60；
（2）解：项目对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的应用，以及利用样本数据估计总体情况。解题关键在于从两种统计图中准确提取信息并进行正确计算。
（1）首先根据C项目的人数和所占百分比计算出总人数，然后求出D项目人数，完成条形统计图的补充；
（2）运用圆心角计算公式，求出项目E在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）通过样本中喜欢B项目的人数比例，推算出全校学生中喜欢B项目的估计人数。
（1）解：由统计图可知：组人数为9名，所占百分比为，
∴这次被调查的学生人数为（名）；
项目人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：60；
（2）解：解：项目对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：样本中喜欢（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有500名学生，所以估计喜欢模块的学生人数为人，
答：喜欢（图像识别）模块的学生人数是150人．
21．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵在等边中，，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握这些知识点是解题关键。
（1）根据等边三角形的性质可得，利用"边角边"定理即可证明两个三角形全等；
（2）由题意可知，根据角度关系可，由此可求出结果。
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵在等边中，，
∴．
22．【答案】（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元；
（2）解：设购进类头盔个，类头盔个，
则，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值元，
购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题重点考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，关键在于利用一次函数性质求解最大利润问题。
(1) 设A类头盔单价为元，B类头盔单价为元。根据题目描述的两种购买方案，建立二元一次方程组求解即可确定单价。
(2) 设采购A类头盔个，则B类头盔为个。根据总预算限制建立不等式：，解此不等式可得的取值范围。设总利润为元，建立利润函数：
。根据一次函数的单调性，当取最大值6时（此时B类头盔为4个），可获得最大利润270元。
（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元；
（2）解：设购进类头盔个，类头盔个，
则，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值元，
购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为圆的切线；
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题重点考查了切线的判定方法、直径所对圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的核心。
（1）连接，根据等腰三角形性质可得。利用直径性质可知，进而推导出，即，从而得证；
（2）通过证明，运用相似三角形对应边成比例的性质完成证明；
（3）在（2）的结论基础上，先求出的长度，再计算的长度即可得出最终结果。
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为圆的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）①④；
（2）如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
（3）把代入得：，把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；切线的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
【分析】本题综合考查二次函数、一次函数与几何图形的关系，涉及勾股定理、等腰直角三角形性质及圆的切线性质等知识。解题的关键在于灵活运用数形结合的思想方法。（1）根据题目描述绘制图形，结合“奇妙点”的定义进行求解；
（2）如图所示，先确定点和点的坐标。假设轴上存在点，根据题意需满足。代入坐标后得到方程，通过判别式分析解的情况；
（3）首先求出抛物线为，直线为，求出，，如图，过点作轴，交于点，在轴上作点，连接，得到，推出当、、共线时，最长，，进而求解即可．
（1）如图所示，①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
（2）方法一：如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
方法二：∵、，
∴，
∵轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，
∴在为直径的圆上，设圆心为点，
如图，
①当在轴下方且与轴相切时，，
点坐标为，此时；
②当在轴上方且与轴相切时，，
点坐标为，此时，
∴；
（3）把代入得：，
把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
25．【答案】（1）①√；②√；③√
（2）解：①∵矩形，∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∴；
②∵，
∴设，则，
设，则，
在中，由勾股定理，可知：，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵矩形是黄金矩形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
当时，如图所示：
则，，，
根据平移可知：，
∴，
∴，
即，
解得：，
；
当时，如图所示：
则，
根据平移可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上分析可知：．
【知识点】分段函数；等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵，∴，∴该矩形是黄金矩形，故此说法正确；
②∵该矩形是黄金矩形，∴，∵，∴，
∴矩形的面积为，故此说法正确；
③∵该矩形是黄金矩形，∴，∴，
∵外接圆半径为，∴矩形的对角线长为，
根据勾股定理得：，即，整理得：，故此说法正确．
综上所述：①√；②√；③√
【分析】本题以黄金矩形为背景，综合考查黄金分割比的定义、矩形的性质、折叠变换中的角度与线段关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及动态几何中的分段函数问题。
（1）根据黄金矩形定义逐一验证；
（2）①利用折叠与平行线性质证明 HED =HDE，得 HE = HD；
②设未知数表示相关线段，在直角三角形中由勾股定理列方程，通过代数变形求出 cos ABD；
（3）先由相似三角形求出矩形的固定尺寸，再分矩形完全在三角形内部和部分超出两种情况，分别建立面积 S 与运动时间 t 的函数关系式。
（1）解：①∵，
∴，
∴该矩形是黄金矩形，故此说法正确；
②∵该矩形是黄金矩形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积为，故此说法正确；
③∵该矩形是黄金矩形，
∴，
∴，
∵外接圆半径为，
∴矩形的对角线长为，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，故此说法正确．
（2）解：∵矩形，
∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∴；
②∵，
∴设，则，
设，则，
在中，由勾股定理，可知：，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵矩形是黄金矩形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
当时，如图所示：
则，，，
根据平移可知：，
∴，
∴，
即，
解得：，
；
当时，如图所示：
则，
根据平移可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上分析可知：．
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