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湖南省长沙市梨江中学2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷
一、单选题（共30分）
1．（2025八下·长沙期中）使式子 有意义的实数x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B． C．x≥ D．x≥
2．（2025八下·长沙期中）如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO
3．（2025八下·长沙期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．6cm、8cm、9cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
4．（2025八下·长沙期中）下列图形可能表示是的函数的（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·长沙期中）如图，一直角三角形，其直角边长分别为3和1，以为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点P，则点P在数轴上所表示的数是（　　）．
A． B． C．2.3 D．
6．（2025八下·长沙期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（　　）
A．6 B．8 C． D．
7．（2025八下·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·长沙期中）如图， 有一个直角三角形纸片， 两直角边，， 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上， 且与重合， 则的长为（ ）．
A．15 B．16 C．18 D．20
9．（2025八下·长沙期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）
A．20 B． C． D．18
10．（2025八下·长沙期中）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（　　）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
二、填空题（共18分）
11．（2025八下·长沙期中）平行四边形ABCD中，若 ， =　 　.
12．（2025八下·长沙期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是　 　．
13．（2025八下·长沙期中）式子中，最简二次根式有　 　个．
14．（2025八下·长沙期中）如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 　 　m.
15．（2025八下·长沙期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD =12，则S阴影　 　．
16．（2025八下·长沙期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简　 　
三、解答题（共72分）
17．（2025八下·长沙期中）（1）计算：．
（2）计算：．
18．（2025八下·长沙期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
（1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．（2025八下·长沙期中）人体正常体温在36.5℃左右，但是在一天中的不同时刻，体温也不尽相同．如图，该图象反映了一天24小时中，小明体温变化的情况．根据图象回答下列问题．
（1）小明在这一天中，体温最高的时刻是几时，体温最低的时刻是几时？
（2）体温由高到低变化的是哪个时段？
（3）请指出这一天内小明体温变化的范围．
20．（2025八下·长沙期中）先化简，再求值：，其中．
21．（2025八下·长沙期中）如图，，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧．两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D．连接交于点O．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的长．
22．（2025八下·长沙期中）已知正比例函数图象经过点．
（1）求此正比例函数的表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）点是否在此函数图象上？
（4）若这个图象还经过点，求点A的坐标．
23．（2025八下·长沙期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF是平行四边形．
24．（2025八下·长沙期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．
25．（2025八下·长沙期中）如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
（3）若AC=6，AB=8，求BF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
3x+2≥0，
解得，x≥﹣ ；
故选D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A：由平行四边形对边相等的性质可知AB=CD，A正确，不符合题意；
B：根据对角线互相平分的性质可得AO=CO，B正确，不符合题意；
C：平行四边形的对角线不一定相等，因此AC=BD的说法是错误的，C错误，符合题意；
D：由对角线互相平分的性质可得BO=DO，D正确，不符合题意。
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形的基本性质，重点掌握两个关键性质：对边长度相等，对角线互相平分
理解并熟练运用这些性质是解题的关键。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵42+52≠62，∴这三条边不能构成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵62+82≠92，∴这三条边不能构成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵22+32≠42，∴这三条边不能构成直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵52+122=132，∴这三条边能构成直角三角形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A 选项：存在某条竖直线与图象相交于 2 个点，不满足唯一性，故 A 不符合；
B 选项：同样存在竖直线与图象有 2 个交点，故 B 不符合；
C 选项：也存在竖直线与图象有 2 个交点，故 C 不符合；
D 选项：任意竖直线与图象均只有 1 个交点，满足函数定义，故 D 符合。
故选：D。
【分析】本题考查函数图象的识别，核心是函数定义中“唯一确定”的要求。采用竖直线平移检验法（垂线测试）：若任何竖直直线与图象至多一个交点，则 y 是 x 的函数；否则不是。
5．【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：斜边的长=，
故点P表示的数为：；
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及实数与数轴上的点的对应关系。先由直角边长 3 和 1，利用勾股定理求出斜边长为，该长度即为圆弧的半径。以 -1 为圆心，半径 画弧交数轴于 P，点 P 在圆心右侧，故 P 表示的数为 -1 +，即 - 1。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，
∴CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO，
∴BC= =5，
∵S菱形ABCD= AC BD=BC AE，
∴AE= ，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO，利用勾股定理求出BC=5，根据S菱形ABCD= AC BD=BC AE即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据二次根式的加减法、乘法及二次根式的性质，分别对选项中的计算进行分析判断．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵
由图形折叠的性质可知：，，则．
设，则．
∵，
∴
解得：
∴．
故选：A
【分析】本题考查勾股定理及图形折叠的性质。设，由折叠可知。在Rt△BDE中，根据勾股定理建立方程，即可求解。
9．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20；
如图2，
∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝＝＝2．
∵20＜2，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20．
故选：A．
【分析】本题考查立体图形的平面展开图最短路径问题。题目给出了两种可能的展开方式，需要分别绘制示意图并应用勾股定理计算MN线段的长度。解题关键在于将三维空间问题转化为二维平面问题，通过几何计算求得最优解。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题可知：一共11个面积为4的阵点平行四边形．
故选：．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，根据平行四边形的判定条件，需要两组对边分别平行。通过观察图形可以确定上下各有两个平行四边形满足条件，同时特殊四边形（矩形和正方形）也符合判定要求，由此得出最终答案。
11．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又 ，
∴∠A=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形对角相等求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵中，是斜边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的核心知识点包括：直角三角形的性质（斜边中线定理）和勾股定理的应用。首先根据直角三角形性质：斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，可得。然后运用勾股定理进行计算求解。
13．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】 满足最简条件；
因被开方数为分数不符合；
被开方数为小数不符合；
含可开方因数4；
为完全开方数。
综上，仅符合要求。
故答案为：1．
【分析】本题考查最简二次根式的核心判定条件，根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含可开方的因数或因式，且被开方数为整数、因式为整式，对各选项逐一分析即可得到答案。
14．【答案】13
【知识点】矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】如图，过点E作，
设旗杆高为，则，则四边形是矩形，
∴，，
∵在Rt△中，，解得，
∴绳子长为13m，
故答案为：13．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，以及矩形的判定与性质。解题关键在于：正确构造辅助线证明矩形，熟练运用勾股定理建立方程。设旗杆高度为，则。过点E作，可证四边形为矩形，从而得到：，，在直角三角形中，运用勾股定理即可求解。
15．【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝OD；AB∥CD
∴∠AEO＝∠CFO
∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO(AAS)
S阴影=S△EOB+S△CFO＝S△ABO=S平行四边形ABCD
S平行四边形ABCD＝12，
S阴影＝×12=3
故答案为3
【分析】
利用中心对称性将分散的阴影部分面积转化为一个规则的三角形的面积即可求解.
16．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图可知：，，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】本题考查实数与数轴的关系及二次根式的化简，解题关键在于通过数轴位置判断被开方数的符号。根据数轴上的点位置确定被开方数的正负性，然后进行化简计算即可。
17．【答案】（1）解：原式=，
.
（2）解：原式=，
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查的知识点包括：二次根式的混合运算，零指数幂的计算，负整数指数幂的计算，解题的关键在于掌握二次根式混合运算的顺序和运算法则。（1）需要先计算零指数幂和负整数指数幂的值，然后进行加减运算。
（2）首先按照二次根式的乘除运算法则进行计算，最后再进行加减运算。
18．【答案】（1）2；5；等腰直角三角形
（2）解：由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
【分析】（1）连接BD，根据勾股定理可得BC，AD，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得CD，再根据勾股定理逆定理可得△BCD为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
19．【答案】（1）解：由函数的图象可知：
折线统计图中最底部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；
体温最高的时刻是14时，体温最低的时刻是4时；
（2）解：由函数的图象可知：
0时到4时和从14时到24时，小明的体温一直是由高到低的趋势；
（3）解：由函数的图象可知：
小明这一天内的体温最高36.8℃，最低36℃，
即这一天内小明体温变化的范围为36℃到36.8℃．
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】本题主要考查函数的图象分析能力，关键在于从函数图象中提取关键信息以解决问题。通过解析函数的图象特征，可以得出最终答案。
（1）解：由函数的图象可知：
折线统计图中最底部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；
体温最高的时刻是14时，体温最低的时刻是4时；
（2）解：由函数的图象可知：
0时到4时和从14时到24时，小明的体温一直是由高到低的趋势；
（3）解：由函数的图象可知：
小明这一天内的体温最高36.8℃，最低36℃，
即这一天内小明体温变化的范围为36℃到36.8℃．
20．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，涉及乘法公式和合并同类项法则的应用。解题时需先运用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再进行同类项合并化简，最后代入数值计算。关键步骤：使用完全平方公式展开平方项，应用平方差公式进行乘法运算，合并同类项化简表达式，代入给定数值进行最终计算。注意事项：在运算过程中要特别注意符号的处理和同类项的准确合并。
21．【答案】（1）解：四边形为菱形；理由如下：
由图可知，垂直平分，且，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，，
，，，
在中，，
的长为6．

【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）通过分析四边形ABCD的边长和对角线的性质可判断其形状；
（2）根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长
（1）解：四边形为菱形；理由如下：
由图可知，垂直平分，且，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，，
，，，
在中，，
的长为6．
22．【答案】（1）解：设函数关系式为：，则，
解得，
∴正比例函数关系式为：；
（2）解：直线过，，
所以作图得：
（3）解：将点代入，
解得：左边，右边，
∵左边≠右边，
∴点不在此函数图象上
（4）解：将代入，得∶，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；正比例函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题主要考查利用待定系数法求解正比例函数解析式以及正比例函数的性质，掌握正确的求解步骤是关键。
（1）首先设正比例函数关系式为，然后将已知点坐标代入方程即可求出比例系数k的值；
（2）在坐标系中选取两个满足函数关系的点，连接这些点绘制函数图象；
（3）将测试点坐标代入函数解析式，验证是否满足函数关系；
（4）将变量和函数值代入解析式即可求解a的值。
（1）解：设函数关系式为：，
则，
解得，
∴正比例函数关系式为：；
（2）解：直线过，，
所以作图得：
（3）解：将点代入，
∴左边，右边，
∴左边≠右边，
∴点不在此函数图象上．
（4）解：将代入，得∶，
解得，
∴．
23．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，
∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，
∴∠FDB=∠EBD，
∴DF//BE，
∵AD//BC，即ED//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，解题关键在于熟练掌握平行四边形的相关性质及其判定方法。已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得：AD∥BC（对边平行），AB∥CD（对边平行），∠CDB=∠ABD（对角线平分对角）。由DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，根据角平分线定义得：∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD。因此可得∠FDB=∠EBD，根据内错角相等两直线平行的判定定理，得出DF∥BE。又已知AD∥BC，即ED∥BF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DEBF为平行四边形。
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形．
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴□ABCD是矩形．
（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，
∴∠DAB=90°，BC=AD=3，
∴．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质，结合题目条件可以证明四边形BCED是平行四边形，进而证明AC=BD，再根据矩形的定义即可解答；
（2）根据勾股定理计算BD的长度，然后利用平行四边形的性质计算BC和BD的长度，最后计算四边形BCED的周长．
25．【答案】（1）解：∵△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线，∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：BF=，
理由如下：∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）解：如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAG=90°．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90°，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题综合考查四边形相关知识，涉及直角三角形斜边中线性质、菱形判定、正方形性质、矩形判定与性质、三角形中位线定理以及全等三角形的证明。(1) 根据直角三角形斜边中线定理可得AD=CD=BD。通过证明△AEF≌△DEB（AAS），得到对应边AF=BD，从而AF=CD。又因为AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形。再结合AD=CD这个邻边相等的条件，最终判定四边形ADCF为菱形。
(2) 由正方形性质可知FC=CD=AD。根据第(1)问结论AD=DB，因此FC=CD=DB，可得CB=2FC。运用勾股定理计算：BF==FC。由于CF=AD=2AE（E为中点），代入得BF= AE。
(3) 解题步骤： 连接FD交AC于点O；作FG⊥BA延长线于G点；证明四边形OFGA是矩形 → FG=OA==3；根据中位线性质得OD=AB/2=4 → GA=OF=OD=4； 计算GB=GA+AB=4+8=12；在Rt△FGB中运用勾股定理：BF====。
（1）∵△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线，
∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）BF=，理由如下：
∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAG=90°．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90°，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
1 / 1湖南省长沙市梨江中学2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷
一、单选题（共30分）
1．（2025八下·长沙期中）使式子 有意义的实数x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B． C．x≥ D．x≥
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
3x+2≥0，
解得，x≥﹣ ；
故选D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
2．（2025八下·长沙期中）如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A：由平行四边形对边相等的性质可知AB=CD，A正确，不符合题意；
B：根据对角线互相平分的性质可得AO=CO，B正确，不符合题意；
C：平行四边形的对角线不一定相等，因此AC=BD的说法是错误的，C错误，符合题意；
D：由对角线互相平分的性质可得BO=DO，D正确，不符合题意。
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形的基本性质，重点掌握两个关键性质：对边长度相等，对角线互相平分
理解并熟练运用这些性质是解题的关键。
3．（2025八下·长沙期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．6cm、8cm、9cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵42+52≠62，∴这三条边不能构成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵62+82≠92，∴这三条边不能构成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵22+32≠42，∴这三条边不能构成直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵52+122=132，∴这三条边能构成直角三角形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
4．（2025八下·长沙期中）下列图形可能表示是的函数的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A 选项：存在某条竖直线与图象相交于 2 个点，不满足唯一性，故 A 不符合；
B 选项：同样存在竖直线与图象有 2 个交点，故 B 不符合；
C 选项：也存在竖直线与图象有 2 个交点，故 C 不符合；
D 选项：任意竖直线与图象均只有 1 个交点，满足函数定义，故 D 符合。
故选：D。
【分析】本题考查函数图象的识别，核心是函数定义中“唯一确定”的要求。采用竖直线平移检验法（垂线测试）：若任何竖直直线与图象至多一个交点，则 y 是 x 的函数；否则不是。
5．（2025八下·长沙期中）如图，一直角三角形，其直角边长分别为3和1，以为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点P，则点P在数轴上所表示的数是（　　）．
A． B． C．2.3 D．
【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：斜边的长=，
故点P表示的数为：；
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及实数与数轴上的点的对应关系。先由直角边长 3 和 1，利用勾股定理求出斜边长为，该长度即为圆弧的半径。以 -1 为圆心，半径 画弧交数轴于 P，点 P 在圆心右侧，故 P 表示的数为 -1 +，即 - 1。
6．（2025八下·长沙期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，
∴CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO，
∴BC= =5，
∵S菱形ABCD= AC BD=BC AE，
∴AE= ，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO，利用勾股定理求出BC=5，根据S菱形ABCD= AC BD=BC AE即可求解.
7．（2025八下·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据二次根式的加减法、乘法及二次根式的性质，分别对选项中的计算进行分析判断．
8．（2025八下·长沙期中）如图， 有一个直角三角形纸片， 两直角边，， 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上， 且与重合， 则的长为（ ）．
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵
由图形折叠的性质可知：，，则．
设，则．
∵，
∴
解得：
∴．
故选：A
【分析】本题考查勾股定理及图形折叠的性质。设，由折叠可知。在Rt△BDE中，根据勾股定理建立方程，即可求解。
9．（2025八下·长沙期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）
A．20 B． C． D．18
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20；
如图2，
∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝＝＝2．
∵20＜2，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20．
故选：A．
【分析】本题考查立体图形的平面展开图最短路径问题。题目给出了两种可能的展开方式，需要分别绘制示意图并应用勾股定理计算MN线段的长度。解题关键在于将三维空间问题转化为二维平面问题，通过几何计算求得最优解。
10．（2025八下·长沙期中）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（　　）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题可知：一共11个面积为4的阵点平行四边形．
故选：．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，根据平行四边形的判定条件，需要两组对边分别平行。通过观察图形可以确定上下各有两个平行四边形满足条件，同时特殊四边形（矩形和正方形）也符合判定要求，由此得出最终答案。
二、填空题（共18分）
11．（2025八下·长沙期中）平行四边形ABCD中，若 ， =　 　.
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又 ，
∴∠A=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形对角相等求解.
12．（2025八下·长沙期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵中，是斜边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的核心知识点包括：直角三角形的性质（斜边中线定理）和勾股定理的应用。首先根据直角三角形性质：斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，可得。然后运用勾股定理进行计算求解。
13．（2025八下·长沙期中）式子中，最简二次根式有　 　个．
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】 满足最简条件；
因被开方数为分数不符合；
被开方数为小数不符合；
含可开方因数4；
为完全开方数。
综上，仅符合要求。
故答案为：1．
【分析】本题考查最简二次根式的核心判定条件，根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含可开方的因数或因式，且被开方数为整数、因式为整式，对各选项逐一分析即可得到答案。
14．（2025八下·长沙期中）如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 　 　m.
【答案】13
【知识点】矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】如图，过点E作，
设旗杆高为，则，则四边形是矩形，
∴，，
∵在Rt△中，，解得，
∴绳子长为13m，
故答案为：13．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，以及矩形的判定与性质。解题关键在于：正确构造辅助线证明矩形，熟练运用勾股定理建立方程。设旗杆高度为，则。过点E作，可证四边形为矩形，从而得到：，，在直角三角形中，运用勾股定理即可求解。
15．（2025八下·长沙期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD =12，则S阴影　 　．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝OD；AB∥CD
∴∠AEO＝∠CFO
∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO(AAS)
S阴影=S△EOB+S△CFO＝S△ABO=S平行四边形ABCD
S平行四边形ABCD＝12，
S阴影＝×12=3
故答案为3
【分析】
利用中心对称性将分散的阴影部分面积转化为一个规则的三角形的面积即可求解.
16．（2025八下·长沙期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简　 　
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图可知：，，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】本题考查实数与数轴的关系及二次根式的化简，解题关键在于通过数轴位置判断被开方数的符号。根据数轴上的点位置确定被开方数的正负性，然后进行化简计算即可。
三、解答题（共72分）
17．（2025八下·长沙期中）（1）计算：．
（2）计算：．
【答案】（1）解：原式=，
.
（2）解：原式=，
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查的知识点包括：二次根式的混合运算，零指数幂的计算，负整数指数幂的计算，解题的关键在于掌握二次根式混合运算的顺序和运算法则。（1）需要先计算零指数幂和负整数指数幂的值，然后进行加减运算。
（2）首先按照二次根式的乘除运算法则进行计算，最后再进行加减运算。
18．（2025八下·长沙期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
（1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）2；5；等腰直角三角形
（2）解：由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
【分析】（1）连接BD，根据勾股定理可得BC，AD，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得CD，再根据勾股定理逆定理可得△BCD为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
19．（2025八下·长沙期中）人体正常体温在36.5℃左右，但是在一天中的不同时刻，体温也不尽相同．如图，该图象反映了一天24小时中，小明体温变化的情况．根据图象回答下列问题．
（1）小明在这一天中，体温最高的时刻是几时，体温最低的时刻是几时？
（2）体温由高到低变化的是哪个时段？
（3）请指出这一天内小明体温变化的范围．
【答案】（1）解：由函数的图象可知：
折线统计图中最底部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；
体温最高的时刻是14时，体温最低的时刻是4时；
（2）解：由函数的图象可知：
0时到4时和从14时到24时，小明的体温一直是由高到低的趋势；
（3）解：由函数的图象可知：
小明这一天内的体温最高36.8℃，最低36℃，
即这一天内小明体温变化的范围为36℃到36.8℃．
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】本题主要考查函数的图象分析能力，关键在于从函数图象中提取关键信息以解决问题。通过解析函数的图象特征，可以得出最终答案。
（1）解：由函数的图象可知：
折线统计图中最底部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；
体温最高的时刻是14时，体温最低的时刻是4时；
（2）解：由函数的图象可知：
0时到4时和从14时到24时，小明的体温一直是由高到低的趋势；
（3）解：由函数的图象可知：
小明这一天内的体温最高36.8℃，最低36℃，
即这一天内小明体温变化的范围为36℃到36.8℃．
20．（2025八下·长沙期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，涉及乘法公式和合并同类项法则的应用。解题时需先运用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再进行同类项合并化简，最后代入数值计算。关键步骤：使用完全平方公式展开平方项，应用平方差公式进行乘法运算，合并同类项化简表达式，代入给定数值进行最终计算。注意事项：在运算过程中要特别注意符号的处理和同类项的准确合并。
21．（2025八下·长沙期中）如图，，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧．两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D．连接交于点O．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的长．
【答案】（1）解：四边形为菱形；理由如下：
由图可知，垂直平分，且，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，，
，，，
在中，，
的长为6．

【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）通过分析四边形ABCD的边长和对角线的性质可判断其形状；
（2）根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长
（1）解：四边形为菱形；理由如下：
由图可知，垂直平分，且，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，，
，，，
在中，，
的长为6．
22．（2025八下·长沙期中）已知正比例函数图象经过点．
（1）求此正比例函数的表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）点是否在此函数图象上？
（4）若这个图象还经过点，求点A的坐标．
【答案】（1）解：设函数关系式为：，则，
解得，
∴正比例函数关系式为：；
（2）解：直线过，，
所以作图得：
（3）解：将点代入，
解得：左边，右边，
∵左边≠右边，
∴点不在此函数图象上
（4）解：将代入，得∶，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；正比例函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题主要考查利用待定系数法求解正比例函数解析式以及正比例函数的性质，掌握正确的求解步骤是关键。
（1）首先设正比例函数关系式为，然后将已知点坐标代入方程即可求出比例系数k的值；
（2）在坐标系中选取两个满足函数关系的点，连接这些点绘制函数图象；
（3）将测试点坐标代入函数解析式，验证是否满足函数关系；
（4）将变量和函数值代入解析式即可求解a的值。
（1）解：设函数关系式为：，
则，
解得，
∴正比例函数关系式为：；
（2）解：直线过，，
所以作图得：
（3）解：将点代入，
∴左边，右边，
∴左边≠右边，
∴点不在此函数图象上．
（4）解：将代入，得∶，
解得，
∴．
23．（2025八下·长沙期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，
∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，
∴∠FDB=∠EBD，
∴DF//BE，
∵AD//BC，即ED//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，解题关键在于熟练掌握平行四边形的相关性质及其判定方法。已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得：AD∥BC（对边平行），AB∥CD（对边平行），∠CDB=∠ABD（对角线平分对角）。由DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，根据角平分线定义得：∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD。因此可得∠FDB=∠EBD，根据内错角相等两直线平行的判定定理，得出DF∥BE。又已知AD∥BC，即ED∥BF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DEBF为平行四边形。
24．（2025八下·长沙期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形．
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴□ABCD是矩形．
（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，
∴∠DAB=90°，BC=AD=3，
∴．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质，结合题目条件可以证明四边形BCED是平行四边形，进而证明AC=BD，再根据矩形的定义即可解答；
（2）根据勾股定理计算BD的长度，然后利用平行四边形的性质计算BC和BD的长度，最后计算四边形BCED的周长．
25．（2025八下·长沙期中）如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
（3）若AC=6，AB=8，求BF的长．
【答案】（1）解：∵△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线，∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：BF=，
理由如下：∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）解：如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAG=90°．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90°，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题综合考查四边形相关知识，涉及直角三角形斜边中线性质、菱形判定、正方形性质、矩形判定与性质、三角形中位线定理以及全等三角形的证明。(1) 根据直角三角形斜边中线定理可得AD=CD=BD。通过证明△AEF≌△DEB（AAS），得到对应边AF=BD，从而AF=CD。又因为AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形。再结合AD=CD这个邻边相等的条件，最终判定四边形ADCF为菱形。
(2) 由正方形性质可知FC=CD=AD。根据第(1)问结论AD=DB，因此FC=CD=DB，可得CB=2FC。运用勾股定理计算：BF==FC。由于CF=AD=2AE（E为中点），代入得BF= AE。
(3) 解题步骤： 连接FD交AC于点O；作FG⊥BA延长线于G点；证明四边形OFGA是矩形 → FG=OA==3；根据中位线性质得OD=AB/2=4 → GA=OF=OD=4； 计算GB=GA+AB=4+8=12；在Rt△FGB中运用勾股定理：BF====。
（1）∵△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线，
∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）BF=，理由如下：
∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAG=90°．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90°，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
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