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湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·长沙期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·长沙期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　）
A．1，，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13
3．（2025八下·长沙期中）如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025八下·长沙期中）一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　)
A． B．
C． D．
5．（2025八下·长沙期中）下列命题是假命题的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．三个内角为直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
6．（2025八下·长沙期中）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·长沙期中）如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·长沙期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·长沙期中）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．（2025八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴的夹角为，且，点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·长沙期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·长沙期中）若正比例函数的图象经过点，则的值为　 　．
13．（2025八下·长沙期中）当时，　 　．
14．（2025八下·长沙期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为　 　．
15．（2025八下·长沙期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为　 　．
16．（2025八下·长沙期中）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分）
17．（2025八下·长沙期中）计算：
18．（2025八下·长沙期中）先化简，再求值．，其中．
19．（2025八下·长沙期中）如图，四边形是平行四边形，点，是上两点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
20．（2025八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值．
21．（2025八下·长沙期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上．
（1）求的长；
（2）求的周长．
22．（2025八下·长沙期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
23．（2025八下·长沙期中）2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售
售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半．
（1）当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润．
24．（2025八下·长沙期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：
a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点；
b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域
根据阅读材料，解决下列问题：
（1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点．
①在这个域中有______个整点；
②求域的面积．
（2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式；
（3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围．
25．（2025八下·长沙期中）在菱形中，，，点是的中点，连接．
（1）如图1，连接，求线段的长；
（2）如图2，点是线段上一动点，点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②如图3，当点，，在同一直线上，取线段的中点，连接，判断与的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、是最简二次根式，D符合题意；
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的判定标准，需要满足以下两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开方的因数或因式。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．因为，所以能作为直角三角形的三边长，A不符合题意；
B．因为，所以不能作为直角三角形的三边长，B符合题意；
C．因为，所以能作为直角三角形的三边长，C不符合题意；
D．因为，所以能作为直角三角形的三边长，D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用：若三角形两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形。分别计算各选项中两条较小边的平方和，与最大边的平方进行比较，若相等则能构成直角三角形，若不相等则不能。注意选项 B 中 22 + 32 = 13 42 = 16，故不能作为直角三角形的三边。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵点E是的中点，∴是的中位线，
∴由三角形的中位线定理可得：．
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形和三角形中位线的性质。首先，由四边形是平行四边形，可知对角线互相平分，因此。接着，由于点E是边的中点，根据三角形中位线定理，线段成为的中位线，从而可以得出所需结论。
4．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx-b，k＜0，b＜0，∴-b＞0，
∴函数图象经过一，二，四象限；
故选：A．
【分析】本题重点考查一次函数y=kx+b（k≠0）的图像性质，特别是当k＜0且b＞0时，函数图象会经过第一、第二和第四象限。掌握这个特性是解答此类问题的关键。首先根据给定的条件k＜0和b＜0，分析一次函数y=kx-b的图像所经过的象限。通过这个分析可以得出最终结论。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形，此选项为真命题，A不符合题意；
B．菱形的判定要求一组邻边相等的平行四边形才是菱形，但原命题表述不完整，因此是假命题，B符合题意；
C．根据矩形的判定条件，有三个内角为直角的四边形必定是矩形，此选项为真命题，C不符合题意；
D．正方形的判定需要对角线既垂直又相等的平行四边形，此选项为真命题，D不符合题意。
故选：B．
【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法。解题时需要根据各图形的判定条件逐一分析选项的正确性。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形菜地为直角三角形，
∴三角形菜地的面积为：．
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用。解题关键在于掌握判定条件：若三角形三边长a、b、c满足，则该三角形为直角三角形。解题步骤为：先通过边长关系验证直角三角形，再运用直角三角形面积公式求解具体问题。
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过坐标轴上，两点，
∴当时，，即
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是．
故选：C．
【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式的关系。不等式 kx + b < 0 的解集对应一次函数图象在 x 轴下方部分所有点的横坐标的取值范围。观察图象，
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知：，，
根据勾股定理得：，
∴风筝离地面的高度为CE：，
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用。在直角三角形中，若两直角边长为a、b，斜边长为c，则满足关系式：。解题过程：根据题意，在△BCD中运用勾股定理计算：（米），最终通过计算得出CE的长度为10.7米。
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，，
∴，即点到直线的距离为，
故选：C．
【分析】本题主要考查正方形性质与角平分线性质的综合应用。解题关键在于理解正方形对角线平分对角，以及角平分线上的点到角两边距离相等。具体步骤如下： 过点作，垂足为；根据正方形对角线性质，在对角线上，故平分；由角平分线性质得（点到角两边的距离相等）。最终结论通过几何性质直接得出，无需复杂计算。
10．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴，如图所示：
，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵与轴的夹角为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查了矩形性质、坐标与图形、直角三角形性质及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握这些知识点。解题步骤如下：作辅助线：过点作轴，已知点坐标，计算OA长度：， 根据矩形性质得：，计算角度：，应用直角三角形性质：， 用勾股定理求BD：，通过以上步骤即可得出最终答案。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了正比例函数解析式的求解方法，重点在于掌握待定系数法的应用。解题时，将已知点坐标代入函数关系式即可完成计算。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查二次根式的性质= |a| 以及绝对值的化简。先计算 = |-a|，由于 a > 0，则 -a < 0，负数的绝对值等于它的相反数，故 |-a| = a。
14．【答案】12
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴是直角三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：12．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而代入BC+AD=18求解即可.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，负值舍去，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查矩形的性质（对角线相等且互相平分）、角平分线的定义、全等三角形的判定（ASA）以及勾股定理的应用。由矩形得 AO = BO = CO = DO，结合 AE 平分BAC 且 AE BD，可证，得 AO = AB = 8，进而 BD = 2AB = 16，在 Rt△ABD 中由勾股定理求 AD，再利用等面积法或相似三角形求 AE 的长。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设AB段的函数关系式为（k≠0），将A、B两点坐标代入得：
，解得：
∴ AB段解析式为：
当F=15时，代入解得：
最终距离计算：
故答案为：11.5cm。
【分析】本题考查一次函数的实际应用。解题步骤如下：通过已知点A(6，20)和B(12，8)，用待定系数法求出AB段的函数解析式；将F=15代入所求解析式，解出对应的h值； 计算铁块底面与杯底的最终距离。
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂的性质，解题的关键是熟练掌握相关运算法则。
根据二次根式的性质（√a2=|a|）和零指数幂法则（a =1，a≠0）进行化简，然后按照运算顺序进行计算即可。
18．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先利用乘法公式展开括号内的表达式，接着合并同类项进行化简，最后将给定的x值代入化简后的代数式进行计算得出结果。本题主要考查整式的混合运算及化简求值能力，关键在于正确运用乘法公式进行变形和计算。
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题重点考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及平行四边形的性质等知识点，其中熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键所在。（1）通过"SAS"全等判定定理可证得△ADF≌△CBE，从而得出对应边BE=DF；
（2）先运用勾股定理计算出AB的长度为4，再结合平行四边形的性质特点即可得出最终结论。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
20．【答案】（1）解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2，∴，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为：
，
把代入可得：，
解得：．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题主要考查一次函数图象的性质及其平移变换规律。
（1）首先确定直线与坐标轴的交点A、B坐标，再运用待定系数法求出该一次函数的解析式；
（2）根据函数图象平移的"左加右减，上加下减"原则，先求出平移后的直线方程，然后将点M的坐标代入平移后的方程，即可解出参数的值。
（1）解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2，
∴，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为：
，
把代入可得：，
解得：．
21．【答案】（1）解：在中，，，，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）解：由翻折得，
，
在中，，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
的周长．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查轴对称性质、直角三角形性质及勾股定理的应用。解题关键在于运用勾股定理求出线段BC的长度。
（1）首先根据勾股定理计算BC长度：在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，则BC==10。根据轴对称性质可得BE=AB=6，因此CE=BC-BE=4。
(2)由翻折性质可知DE=AD，且∠DEC=90°。在Rt△DEC中运用勾股定理：设DE=x，则EC=4，DC=8-x，建立方程x2+42=(8-x)2，解得x=3。在Rt△ABD中，AD=3，AB=6，根据勾股定理求得BD=3。最终△ABD的周长为AB+AD+BD=6+3+3=9+3。
（1）解：在中，，，，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）由翻折得，
，
在中，，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
的周长．
22．【答案】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质和中点定理证明，从未得到AF=DB；结合D为BC的中点推出AF=CD，进而判定四边形ADCF为平行四边形，最后利用直角三角形斜边中线定理得到AD=CD，即可解答；
（2）首先连接DF，利用平行四边形的判定证明四边形ABDF是平行四边形，从而得到DF=AB，最后利用菱形的面积等于其对角线积的一半，进行计算即可．
23．【答案】（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于掌握一次函数的基本性质。
（1）利润的计算公式为：售价减去进价，根据此关系可建立相应的函数表达式。
（2）解题时需要先确定自变量的取值范围：由于最多只能对600千克羽衣甘蓝进行加工处理，因此可以得出。在此基础上，利用一次函数的性质求出最优解。
（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
24．【答案】（1）①2；
②；
（2）解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为，
设直线l的解析式为：，
∵直线分别交域两边，于点，，且经过，
∴，
把代入得：，
∴，
∴直线l的解析式为：，
联立，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∵的面积是域面积的，
∴，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（1）解：①把代入得：，
把代入得：，把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，点，点，
联立，解得：，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
∴在这个域中有整点，共2个．
（3）解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，，当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点．
【分析】本题以新定义“整点”和“xy域”为背景，综合考查一次函数图象的交点坐标、三角形区域内的整点计数、三角形面积计算以及动直线下整点个数的参数范围分析。
（1）①先求出两直线与 y 轴交点 A， B 及两直线交点 C 的坐标，再找出三角形 ABC 内部（不含边界）的所有整点；
②用三角形面积公式直接计算；
（2）先确定纵坐标最大的整点坐标，设直线方程代入该点，结合所分三角形面积关系列方程求斜率；
（3）根据整点个数为 3，分析不同 n 取值下区域内的整点分布，分情况讨论得出 n 的取值范围。
（1）解：①把代入得：，
把代入得：，把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，点，点，
联立，
解得：，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
∴在这个域中有整点，共2个．
②；
（2）解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为，
设直线l的解析式为：，
∵直线分别交域两边，于点，，且经过，
∴，
把代入得：，
∴，
∴直线l的解析式为：，
联立，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∵的面积是域面积的，
∴，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：；
（3）解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，，
当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点．
25．【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①连接，取的中点G，过点M作于点K，连接，，过点G作于点H，交于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：为等边三角形，，，
∴，，
∴与关于对称，
∵点是线段的中点，点G为线段的中点，
∴点G与点F关于对称，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，垂线段最短，
∴点M在点N处时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即最小值为；
②，理由如下：
连接，延长，交于点H，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴为等边三角形，，，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；直角三角形的性质；胡不归模型
【解析】【分析】本题重点考查了以下知识点：菱形的几何特性，等边三角形的判定条件与性质，勾股定理的应用， 三角形全等的判定方法与性质， 直角三角形的特殊性质， 轴对称图形的性质，解题关键在于正确添加辅助线，并灵活运用上述几何定理和性质。
（1）连接，先证明是等边三角形，得出，，由勾股定理求出，再求出即可；
（2）①如图所示：先说明点G与点F关于对称，再说明，根据直角三角形的性质求出，得出，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出点M在点N处时，最小，即最小，根据勾股定理求出结果即可；
②如图所示：证明是等边三角形，，得出，，根据，得出，即可得出结论．
（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①连接，取的中点G，过点M作于点K，连接，，过点G作于点H，交于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：为等边三角形，，，
∴，，
∴与关于对称，
∵点是线段的中点，点G为线段的中点，
∴点G与点F关于对称，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，垂线段最短，
∴点M在点N处时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即最小值为；
②，理由如下：
连接，延长，交于点H，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴为等边三角形，，，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴．
1 / 1湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·长沙期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、是最简二次根式，D符合题意；
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的判定标准，需要满足以下两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开方的因数或因式。
2．（2025八下·长沙期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　）
A．1，，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．因为，所以能作为直角三角形的三边长，A不符合题意；
B．因为，所以不能作为直角三角形的三边长，B符合题意；
C．因为，所以能作为直角三角形的三边长，C不符合题意；
D．因为，所以能作为直角三角形的三边长，D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用：若三角形两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形。分别计算各选项中两条较小边的平方和，与最大边的平方进行比较，若相等则能构成直角三角形，若不相等则不能。注意选项 B 中 22 + 32 = 13 42 = 16，故不能作为直角三角形的三边。
3．（2025八下·长沙期中）如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵点E是的中点，∴是的中位线，
∴由三角形的中位线定理可得：．
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形和三角形中位线的性质。首先，由四边形是平行四边形，可知对角线互相平分，因此。接着，由于点E是边的中点，根据三角形中位线定理，线段成为的中位线，从而可以得出所需结论。
4．（2025八下·长沙期中）一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx-b，k＜0，b＜0，∴-b＞0，
∴函数图象经过一，二，四象限；
故选：A．
【分析】本题重点考查一次函数y=kx+b（k≠0）的图像性质，特别是当k＜0且b＞0时，函数图象会经过第一、第二和第四象限。掌握这个特性是解答此类问题的关键。首先根据给定的条件k＜0和b＜0，分析一次函数y=kx-b的图像所经过的象限。通过这个分析可以得出最终结论。
5．（2025八下·长沙期中）下列命题是假命题的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．三个内角为直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形，此选项为真命题，A不符合题意；
B．菱形的判定要求一组邻边相等的平行四边形才是菱形，但原命题表述不完整，因此是假命题，B符合题意；
C．根据矩形的判定条件，有三个内角为直角的四边形必定是矩形，此选项为真命题，C不符合题意；
D．正方形的判定需要对角线既垂直又相等的平行四边形，此选项为真命题，D不符合题意。
故选：B．
【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法。解题时需要根据各图形的判定条件逐一分析选项的正确性。
6．（2025八下·长沙期中）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形菜地为直角三角形，
∴三角形菜地的面积为：．
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用。解题关键在于掌握判定条件：若三角形三边长a、b、c满足，则该三角形为直角三角形。解题步骤为：先通过边长关系验证直角三角形，再运用直角三角形面积公式求解具体问题。
7．（2025八下·长沙期中）如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过坐标轴上，两点，
∴当时，，即
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是．
故选：C．
【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式的关系。不等式 kx + b < 0 的解集对应一次函数图象在 x 轴下方部分所有点的横坐标的取值范围。观察图象，
8．（2025八下·长沙期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知：，，
根据勾股定理得：，
∴风筝离地面的高度为CE：，
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用。在直角三角形中，若两直角边长为a、b，斜边长为c，则满足关系式：。解题过程：根据题意，在△BCD中运用勾股定理计算：（米），最终通过计算得出CE的长度为10.7米。
9．（2025八下·长沙期中）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，，
∴，即点到直线的距离为，
故选：C．
【分析】本题主要考查正方形性质与角平分线性质的综合应用。解题关键在于理解正方形对角线平分对角，以及角平分线上的点到角两边距离相等。具体步骤如下： 过点作，垂足为；根据正方形对角线性质，在对角线上，故平分；由角平分线性质得（点到角两边的距离相等）。最终结论通过几何性质直接得出，无需复杂计算。
10．（2025八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴的夹角为，且，点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴，如图所示：
，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵与轴的夹角为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查了矩形性质、坐标与图形、直角三角形性质及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握这些知识点。解题步骤如下：作辅助线：过点作轴，已知点坐标，计算OA长度：， 根据矩形性质得：，计算角度：，应用直角三角形性质：， 用勾股定理求BD：，通过以上步骤即可得出最终答案。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·长沙期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．（2025八下·长沙期中）若正比例函数的图象经过点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了正比例函数解析式的求解方法，重点在于掌握待定系数法的应用。解题时，将已知点坐标代入函数关系式即可完成计算。
13．（2025八下·长沙期中）当时，　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查二次根式的性质= |a| 以及绝对值的化简。先计算 = |-a|，由于 a > 0，则 -a < 0，负数的绝对值等于它的相反数，故 |-a| = a。
14．（2025八下·长沙期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为　 　．
【答案】12
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴是直角三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：12．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而代入BC+AD=18求解即可.
15．（2025八下·长沙期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，负值舍去，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查矩形的性质（对角线相等且互相平分）、角平分线的定义、全等三角形的判定（ASA）以及勾股定理的应用。由矩形得 AO = BO = CO = DO，结合 AE 平分BAC 且 AE BD，可证，得 AO = AB = 8，进而 BD = 2AB = 16，在 Rt△ABD 中由勾股定理求 AD，再利用等面积法或相似三角形求 AE 的长。
16．（2025八下·长沙期中）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设AB段的函数关系式为（k≠0），将A、B两点坐标代入得：
，解得：
∴ AB段解析式为：
当F=15时，代入解得：
最终距离计算：
故答案为：11.5cm。
【分析】本题考查一次函数的实际应用。解题步骤如下：通过已知点A(6，20)和B(12，8)，用待定系数法求出AB段的函数解析式；将F=15代入所求解析式，解出对应的h值； 计算铁块底面与杯底的最终距离。
三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分）
17．（2025八下·长沙期中）计算：
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂的性质，解题的关键是熟练掌握相关运算法则。
根据二次根式的性质（√a2=|a|）和零指数幂法则（a =1，a≠0）进行化简，然后按照运算顺序进行计算即可。
18．（2025八下·长沙期中）先化简，再求值．，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先利用乘法公式展开括号内的表达式，接着合并同类项进行化简，最后将给定的x值代入化简后的代数式进行计算得出结果。本题主要考查整式的混合运算及化简求值能力，关键在于正确运用乘法公式进行变形和计算。
19．（2025八下·长沙期中）如图，四边形是平行四边形，点，是上两点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题重点考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及平行四边形的性质等知识点，其中熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键所在。（1）通过"SAS"全等判定定理可证得△ADF≌△CBE，从而得出对应边BE=DF；
（2）先运用勾股定理计算出AB的长度为4，再结合平行四边形的性质特点即可得出最终结论。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
20．（2025八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值．
【答案】（1）解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2，∴，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为：
，
把代入可得：，
解得：．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题主要考查一次函数图象的性质及其平移变换规律。
（1）首先确定直线与坐标轴的交点A、B坐标，再运用待定系数法求出该一次函数的解析式；
（2）根据函数图象平移的"左加右减，上加下减"原则，先求出平移后的直线方程，然后将点M的坐标代入平移后的方程，即可解出参数的值。
（1）解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2，
∴，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为：
，
把代入可得：，
解得：．
21．（2025八下·长沙期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上．
（1）求的长；
（2）求的周长．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）解：由翻折得，
，
在中，，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
的周长．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查轴对称性质、直角三角形性质及勾股定理的应用。解题关键在于运用勾股定理求出线段BC的长度。
（1）首先根据勾股定理计算BC长度：在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，则BC==10。根据轴对称性质可得BE=AB=6，因此CE=BC-BE=4。
(2)由翻折性质可知DE=AD，且∠DEC=90°。在Rt△DEC中运用勾股定理：设DE=x，则EC=4，DC=8-x，建立方程x2+42=(8-x)2，解得x=3。在Rt△ABD中，AD=3，AB=6，根据勾股定理求得BD=3。最终△ABD的周长为AB+AD+BD=6+3+3=9+3。
（1）解：在中，，，，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）由翻折得，
，
在中，，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
的周长．
22．（2025八下·长沙期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质和中点定理证明，从未得到AF=DB；结合D为BC的中点推出AF=CD，进而判定四边形ADCF为平行四边形，最后利用直角三角形斜边中线定理得到AD=CD，即可解答；
（2）首先连接DF，利用平行四边形的判定证明四边形ABDF是平行四边形，从而得到DF=AB，最后利用菱形的面积等于其对角线积的一半，进行计算即可．
23．（2025八下·长沙期中）2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售
售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半．
（1）当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润．
【答案】（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于掌握一次函数的基本性质。
（1）利润的计算公式为：售价减去进价，根据此关系可建立相应的函数表达式。
（2）解题时需要先确定自变量的取值范围：由于最多只能对600千克羽衣甘蓝进行加工处理，因此可以得出。在此基础上，利用一次函数的性质求出最优解。
（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
24．（2025八下·长沙期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：
a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点；
b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域
根据阅读材料，解决下列问题：
（1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点．
①在这个域中有______个整点；
②求域的面积．
（2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式；
（3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）①2；
②；
（2）解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为，
设直线l的解析式为：，
∵直线分别交域两边，于点，，且经过，
∴，
把代入得：，
∴，
∴直线l的解析式为：，
联立，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∵的面积是域面积的，
∴，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（1）解：①把代入得：，
把代入得：，把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，点，点，
联立，解得：，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
∴在这个域中有整点，共2个．
（3）解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，，当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点．
【分析】本题以新定义“整点”和“xy域”为背景，综合考查一次函数图象的交点坐标、三角形区域内的整点计数、三角形面积计算以及动直线下整点个数的参数范围分析。
（1）①先求出两直线与 y 轴交点 A， B 及两直线交点 C 的坐标，再找出三角形 ABC 内部（不含边界）的所有整点；
②用三角形面积公式直接计算；
（2）先确定纵坐标最大的整点坐标，设直线方程代入该点，结合所分三角形面积关系列方程求斜率；
（3）根据整点个数为 3，分析不同 n 取值下区域内的整点分布，分情况讨论得出 n 的取值范围。
（1）解：①把代入得：，
把代入得：，把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，点，点，
联立，
解得：，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
∴在这个域中有整点，共2个．
②；
（2）解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为，
设直线l的解析式为：，
∵直线分别交域两边，于点，，且经过，
∴，
把代入得：，
∴，
∴直线l的解析式为：，
联立，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∵的面积是域面积的，
∴，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：；
（3）解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，，
当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
当整点为，，时，
把代入得：，
把代入得：，
∴；
综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点．
25．（2025八下·长沙期中）在菱形中，，，点是的中点，连接．
（1）如图1，连接，求线段的长；
（2）如图2，点是线段上一动点，点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②如图3，当点，，在同一直线上，取线段的中点，连接，判断与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①连接，取的中点G，过点M作于点K，连接，，过点G作于点H，交于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：为等边三角形，，，
∴，，
∴与关于对称，
∵点是线段的中点，点G为线段的中点，
∴点G与点F关于对称，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，垂线段最短，
∴点M在点N处时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即最小值为；
②，理由如下：
连接，延长，交于点H，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴为等边三角形，，，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；直角三角形的性质；胡不归模型
【解析】【分析】本题重点考查了以下知识点：菱形的几何特性，等边三角形的判定条件与性质，勾股定理的应用， 三角形全等的判定方法与性质， 直角三角形的特殊性质， 轴对称图形的性质，解题关键在于正确添加辅助线，并灵活运用上述几何定理和性质。
（1）连接，先证明是等边三角形，得出，，由勾股定理求出，再求出即可；
（2）①如图所示：先说明点G与点F关于对称，再说明，根据直角三角形的性质求出，得出，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出点M在点N处时，最小，即最小，根据勾股定理求出结果即可；
②如图所示：证明是等边三角形，，得出，，根据，得出，即可得出结论．
（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①连接，取的中点G，过点M作于点K，连接，，过点G作于点H，交于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：为等边三角形，，，
∴，，
∴与关于对称，
∵点是线段的中点，点G为线段的中点，
∴点G与点F关于对称，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，垂线段最短，
∴点M在点N处时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即最小值为；
②，理由如下：
连接，延长，交于点H，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴为等边三角形，，，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴．
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