资源简介

湖南省怀化市通道县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·通道期中）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·通道期中）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．5，12，17
3．（2025八下·通道期中） 一个正八边形的内角是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·通道期中）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）．
A．61° B．63° C．65° D．67°
5．（2025八下·通道期中）如图，，平分，P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点，则的最小值为（　　）
A． B．6 C．3 D．4
6．（2025八下·通道期中）在学习平行四边形时，我们先学行四边形的性质定理、判定定理，再通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系，并根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理．在学习这些知识的过程中，主要体现的数学思想是（　　）
A．方程思想 B．数形结合思想
C．从特殊到一般思想 D．从一般到特殊思想
7．（2025八下·通道期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．24
8．（2025八下·通道期中）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·通道期中）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
10．（2025八下·通道期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（2025八下·通道期中）如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为　 　米．
12．（2025八下·通道期中）如图，直线，直线．若，则的度数为　 　．
13．（2025八下·通道期中）已知平行四边形的两条对角线长分别为和，则此平行四边形最长边x的范围是　 　
14．（2025八下·通道期中）如图所示，在四边形中，，且，对角线和相交于，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形为矩形，则还需增加一个条件是　 　．
15．（2025八下·通道期中）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为　 　．
16．（2025八下·通道期中）如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则　 　
17．（2025八下·通道期中）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是　 　形．如果，，那么四边形的周长等于　 　cm．
18．（2025八下·通道期中）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为24，则的长为　 　．．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025八下·通道期中）如图所示，求出图中x的值．
20．（2025八下·通道期中）如图，在中，点在的延长线上，且．求证：．
21．（2025八下·通道期中）如图，在四边形中，．
（1）求证：
（2）求四边形的面积．
22．（2025八下·通道期中）如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
23．（2025八下·通道期中）如图，是矩形的对角线，过的中点O作，交于点E，交于点F，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
24．（2025八下·通道期中）项目化学习
项目主题：测量风筝离地面的垂直高度．
项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习．
研究步骤：
1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．
2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
（2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
25．（2025八下·通道期中）综合与实践
【教材情境】
数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到．
【观察思考】
在八年级下册，我们学行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以为边在正方形外作矩形，连接，且．
（1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程．
【实践探究】
（2）希望小队提出：若P是边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程．
【拓展迁移】
（3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论．
26．（2025八下·通道期中）在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连接PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）．
（1）BP=________（用含t的代数式表示）；
（2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值；
（3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得不是直角三角形，故A不符合题意；
B、由，得不是直角三角形，故B不符合题意；
C、由，得是直角三角形，故C符合题意；
D、由，得不是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最大边的平方，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得一个正八边形的内角是，
故答案为：C
【分析】根据正多边形的内角结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BCA=∠DAC=42°，即∠BCO=42°，
∴∠COD=∠BCO+∠CBO=42°＋23°=65°，
故选C．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与三角形外角性质。解题思路是利用平行四边形对边平行得到内错角相等，再结合三角形外角等于不相邻两内角之和求出∠COD。具体过程：由平行四边形ABCD得AD∥BC，则∠BCA=∠DAC=42°，即∠BCO=42°；在△BCO中，∠COD是外角，等于∠BCO与∠CBO之和，即42°+23°=65°。
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作于，
∵平分，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，的最小值是4.5，
故选：A．
【分析】
根据“垂线段最短”确定PQ的取最小值的几何位置，再利用角平分线的定义求出，再通过构建直角三角形，利用“30°所对的直角边等于斜边的一半”计算即可.
6．【答案】D
【知识点】数学思想
【解析】【解答】解：由题意可得： 在学习这些知识的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊的思想，
故答案为：D.
【分析】先读题，再理解题意，对每个选项一一判断即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为=12．
故选：B．
【分析】本题主要考查矩形的性质与全等三角形的应用。解题思路是通过证明三角形全等将阴影部分面积转化为矩形面积的四分之一。由矩形对角线互相平分且相等，得 AO = CO，结合对顶角相等及内错角相等可证 △ AOE△ COF，从而阴影部分面积等于 △CDO 的面积，而矩形对角线将其分成四个面积相等的三角形，故阴影面积为 = 12。
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：还需要添加的条件是，
理由是：∵，，
，
在和中，
，
∴，
故选：C．
【分析】
根据题意求出，再根据全等直角三角形的判定定理推出即可．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，
解得x=1.5．
故选：A．
【分析】
首先设人工湖的深度为未知数，根据竹竿长度不变及勾股定理列出方程，求解深度即可．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，
∵正方形①的面积为64，
∴正方形②的面积为，
同理，正方形③的面积为，
正方形④的面积为，
∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长．
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理、正方形的性质及等腰直角三角形的面积关系。解题思路是根据等腰直角三角形中两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形面积，得出后一个正方形面积为前一个正方形面积的一半，依次递推。正方形①面积为64，则正方形②面积为32，正方形③面积为16，正方形④面积为8，故第4个正方形的边长为，对应选项C。
11．【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
由题意得： ，，米，
∴(米)，
故答案为：10．
【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半。解题思路是识别出传送带、地面高度与水平面构成直角三角形，其中高度为30°角的对边，物体经过的路程为斜边。由题意知∠AEB=90°，∠ABE=30°，AE=5米，则斜边AB=2AE=10米，故物体所经过的路程为10米。
12．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查垂直的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的性质。解题思路是利用垂直得到直角，通过互余求出∠ABC，再根据两直线平行内错角相等得出∠2。具体过程：由AB⊥AC得∠BAC=90°，在Rt△ABC中∠1=50°，则∠ABC=90°-50°=40°；由a∥b得∠2=∠ABC=40°。
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
对角线的一半是，，
再根据三角形的三边关系，得平行四边形边的范围是：．
即，
，当取最小值，
，
最长边的范围是：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与三角形三边关系。解题思路是利用对角线互相平分得到两对角线的一半与平行四边形的一边构成三角形，结合三边关系确定边的范围，再分析最长边的可能取值。具体过程：对角线长12cm和16cm，则其一半分别为6cm和8cm，在由它们与平行四边形一边构成的三角形中，该边范围是 2 < x < 14；但该边不一定是最长边，当邻边取最小值时，最长边需满足大于等于该边且大于邻边，结合对角线性质推导得最长边 AD 的范围为 10 < AD < 14。
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：可增加的条件为 ∠ABC = 90° 或 AC = BD 等。
故答案为：∠A=90°或AC=BD．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与矩形的判定。由 AB \parallel CD 且 AB = CD 可证四边形 ABCD 是平行四边形，再根据矩形的判定定理（有一个角是直角或对角线相等）增加一个条件即可。
15．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故答案为 ：
【分析】
根据菱形的性质（对边平行、对角线互相垂直）即可解答．
16．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是斜边上的中线，
∴CM=AM=BM=，
∵、分别为、的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵，
∴CM=2EF=4，
∴CM==4，
∴AB=8，
故答案为：8．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理直接找出AB的长度即可．
17．【答案】平行四边形；56
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接，，
，，，分别是，，，边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
，，，分别是，，，边的中点，
同理，，
∴四边形的周长是：．
故答案为：平行四边形；56．
【分析】
先连接四边形对角线，利用三角形中位线定理证明四边形EFGH对边平行且相等，确定其形状；再根据中位线定理求出各边长，进而计算周长.
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，
∴E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE
∴S△AEH=S△DHG=S△CGF=S△RFE=S正方形EFGH
∴
∴
∴
又∵
∴
故答案为：
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、 BG、 CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的 ，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为8，继而得DH= EH=AE=，由勾股定理可求得AD的长。
19．【答案】解：由四边形的内角和定理得，，
解得．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由四边形的内角和定理得，，
解得．
【分析】
根据四边形的内角和等于列方程求解即可．
20．【答案】解：证明：是平行四边形，
，，即，
又，
四边形是平行四边形．
．
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定。解题思路是通过平行关系先证明四边形BECD是平行四边形，再利用其性质得到BE = CD，再结合平行四边形ABCD中AB = CD，从而证得BE = AB。具体过程：由平行四边形ABCD得AB∥CD且AB = CD，则BE∥CD；又EC∥BD，故四边形BECD是平行四边形，所以BE = CD，因此BE = AB。
21．【答案】（1）解：如图，连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，在Rt三角形ABC中，根据勾股定理得=25，由勾股定理逆定理，满足，则这个三角形就是直角三角形，判定是直角三角形，则 ；
（2）由（1）知，三角形ABC与是直角三角形，利用割补法和的面积和等于四边形的面积．
（1）连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
故面积为：234．
22．【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
23．【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∵，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，
∵DF=3，∠DCF=30°，
∴CF=6，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF的周长为24．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质。
（1）由O为AC中点且EF⊥AC，可得EF垂直平分AC，则AF=CF，AE=CE；利用矩形对边平行结合AAS证△AOF≌△COE，得AF=CE，从而四边相等，证得四边形AECF为菱形。
（2）由矩形得∠D=90°，在Rt△DCF中，DF=3，∠DCF=30°，则CF=6；由菱形性质知AE=EC=CF=FA=6，故四边形AECF周长为24。
（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∵，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵DF=3，∠DCF=30°，
∴CF=6，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF的周长为24．
24．【答案】（1）解：中，
米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米．
（2）解：米
由题意可得：米
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用与线段长度的计算。
（1）在Rt△ABC中，已知斜边AB=25米，直角边BC=24米，利用勾股定理求出AC=7米，再加上风筝离B点的竖直高度CD=1.5米，得AD=8.5米。
（2）风筝沿DA方向上升8米后，EC=AC+AE=15米，风筝线长度不变仍为25米，在Rt△EFC中利用勾股定理求出CF=20米，则需向射线BC方向前进的距离为BC CF=4米。
（1）解：中，
米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米．
（2）解：米
由题意可得：米
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴．
又∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
（2）当点P是的中点时，．
证明：连接．
∵四边形是正方形，
∴，．
∵点P是的中点，
∴，
∴．
由（1）知，
∴，
∴．
（3），．
证明：∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据正方形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
26．【答案】（1）6-3t
（2）解：如图1，过点M作MN⊥BC于N，
∵动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，∴CQ=5tcm，∴PQ=cm，
∵四边形CQMP是平行四边形，∴MQ=CP=3tcm，MQ∥CP，
∵MN⊥BC，QP⊥BC，∴MN∥PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴MN=PQ=4t（cm），MQ=NP=3t（cm），
∵BM平分∠ABC，∴∠MBC=45°=∠ABM，
∵MN⊥BC，∴∠MBC=45°=∠BMN，∴BN=MN=4tcm，
∵BN+NP+PC=BC，∴4t+3t+3t=6，∴t=；
（3）解：∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC，∴四边形BPQM是矩形，∴∠MBP=90°，
又∵∠ABC=90°，∴点M在AB上，
如图2，连接CM，
∵四边形BPQM是矩形，四边形CQMP是平行四边形，∴MQ=PC=BP=3tcm，∴3t+3t=6，∴t=1，
∴BM=PQ=4×1=4cm，∴CM=cm．

【知识点】角平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，
∴CP=3tcm，
∴BP=（6-3t）cm，
故答案为（6-3t）cm；
【分析】本题主要考查勾股定理、平行四边形与矩形的性质、角平分线的性质及动点问题。
（1）由BC=6，P以3cm/s从C向B运动，得BP=6-3t。
（2）当点M在∠B的平分线上时，构造辅助线利用角平分线性质得等腰直角三角形，结合平行四边形对边平行且相等及勾股定理，用t表示各线段，由BC=6建立方程4t+3t+3t=6，解得t=。
（3）当四边形BPQM为平行四边形时，结合PQ⊥BC可证其为矩形，从而点M在AB上，由平行四边形性质得MQ=PC=BP，得3t+3t=6，解得t=1，进而求得BM=PQ=4，在Rt△BCM中利用勾股定理得CM=2。
（1）解：∵动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，
∴CP=3tcm，
∴BP=（6-3t）cm，
故答案为（6-3t）cm；
（2）解：如图1，过点M作MN⊥BC于N，
∵动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，
∴CQ=5tcm，
∴PQ=cm，
∵四边形CQMP是平行四边形，
∴MQ=CP=3tcm，MQ∥CP，
∵MN⊥BC，QP⊥BC，
∴MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MN=PQ=4t（cm），MQ=NP=3t（cm），
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC=45°=∠ABM，
∵MN⊥BC，
∴∠MBC=45°=∠BMN，
∴BN=MN=4tcm，
∵BN+NP+PC=BC，
∴4t+3t+3t=6，
∴t=；
（3）解：∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC，
∴四边形BPQM是矩形，
∴∠MBP=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴点M在AB上，
如图2，连接CM，
∵四边形BPQM是矩形，四边形CQMP是平行四边形，
∴MQ=PC=BP=3tcm，
∴3t+3t=6，
∴t=1，
∴BM=PQ=4×1=4cm，
∴CM=cm．
1 / 1湖南省怀化市通道县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·通道期中）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）对选项逐一判断即可求解。
2．（2025八下·通道期中）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．5，12，17
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得不是直角三角形，故A不符合题意；
B、由，得不是直角三角形，故B不符合题意；
C、由，得是直角三角形，故C符合题意；
D、由，得不是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最大边的平方，据此逐项进行判断即可.
3．（2025八下·通道期中） 一个正八边形的内角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得一个正八边形的内角是，
故答案为：C
【分析】根据正多边形的内角结合题意即可求解。
4．（2025八下·通道期中）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）．
A．61° B．63° C．65° D．67°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BCA=∠DAC=42°，即∠BCO=42°，
∴∠COD=∠BCO+∠CBO=42°＋23°=65°，
故选C．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与三角形外角性质。解题思路是利用平行四边形对边平行得到内错角相等，再结合三角形外角等于不相邻两内角之和求出∠COD。具体过程：由平行四边形ABCD得AD∥BC，则∠BCA=∠DAC=42°，即∠BCO=42°；在△BCO中，∠COD是外角，等于∠BCO与∠CBO之和，即42°+23°=65°。
5．（2025八下·通道期中）如图，，平分，P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点，则的最小值为（　　）
A． B．6 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作于，
∵平分，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，的最小值是4.5，
故选：A．
【分析】
根据“垂线段最短”确定PQ的取最小值的几何位置，再利用角平分线的定义求出，再通过构建直角三角形，利用“30°所对的直角边等于斜边的一半”计算即可.
6．（2025八下·通道期中）在学习平行四边形时，我们先学行四边形的性质定理、判定定理，再通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系，并根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理．在学习这些知识的过程中，主要体现的数学思想是（　　）
A．方程思想 B．数形结合思想
C．从特殊到一般思想 D．从一般到特殊思想
【答案】D
【知识点】数学思想
【解析】【解答】解：由题意可得： 在学习这些知识的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊的思想，
故答案为：D.
【分析】先读题，再理解题意，对每个选项一一判断即可。
7．（2025八下·通道期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．24
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为=12．
故选：B．
【分析】本题主要考查矩形的性质与全等三角形的应用。解题思路是通过证明三角形全等将阴影部分面积转化为矩形面积的四分之一。由矩形对角线互相平分且相等，得 AO = CO，结合对顶角相等及内错角相等可证 △ AOE△ COF，从而阴影部分面积等于 △CDO 的面积，而矩形对角线将其分成四个面积相等的三角形，故阴影面积为 = 12。
8．（2025八下·通道期中）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：还需要添加的条件是，
理由是：∵，，
，
在和中，
，
∴，
故选：C．
【分析】
根据题意求出，再根据全等直角三角形的判定定理推出即可．
9．（2025八下·通道期中）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，
解得x=1.5．
故选：A．
【分析】
首先设人工湖的深度为未知数，根据竹竿长度不变及勾股定理列出方程，求解深度即可．
10．（2025八下·通道期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，
∵正方形①的面积为64，
∴正方形②的面积为，
同理，正方形③的面积为，
正方形④的面积为，
∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长．
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理、正方形的性质及等腰直角三角形的面积关系。解题思路是根据等腰直角三角形中两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形面积，得出后一个正方形面积为前一个正方形面积的一半，依次递推。正方形①面积为64，则正方形②面积为32，正方形③面积为16，正方形④面积为8，故第4个正方形的边长为，对应选项C。
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（2025八下·通道期中）如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为　 　米．
【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
由题意得： ，，米，
∴(米)，
故答案为：10．
【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半。解题思路是识别出传送带、地面高度与水平面构成直角三角形，其中高度为30°角的对边，物体经过的路程为斜边。由题意知∠AEB=90°，∠ABE=30°，AE=5米，则斜边AB=2AE=10米，故物体所经过的路程为10米。
12．（2025八下·通道期中）如图，直线，直线．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查垂直的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的性质。解题思路是利用垂直得到直角，通过互余求出∠ABC，再根据两直线平行内错角相等得出∠2。具体过程：由AB⊥AC得∠BAC=90°，在Rt△ABC中∠1=50°，则∠ABC=90°-50°=40°；由a∥b得∠2=∠ABC=40°。
13．（2025八下·通道期中）已知平行四边形的两条对角线长分别为和，则此平行四边形最长边x的范围是　 　
【答案】
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
对角线的一半是，，
再根据三角形的三边关系，得平行四边形边的范围是：．
即，
，当取最小值，
，
最长边的范围是：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与三角形三边关系。解题思路是利用对角线互相平分得到两对角线的一半与平行四边形的一边构成三角形，结合三边关系确定边的范围，再分析最长边的可能取值。具体过程：对角线长12cm和16cm，则其一半分别为6cm和8cm，在由它们与平行四边形一边构成的三角形中，该边范围是 2 < x < 14；但该边不一定是最长边，当邻边取最小值时，最长边需满足大于等于该边且大于邻边，结合对角线性质推导得最长边 AD 的范围为 10 < AD < 14。
14．（2025八下·通道期中）如图所示，在四边形中，，且，对角线和相交于，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形为矩形，则还需增加一个条件是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：可增加的条件为 ∠ABC = 90° 或 AC = BD 等。
故答案为：∠A=90°或AC=BD．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与矩形的判定。由 AB \parallel CD 且 AB = CD 可证四边形 ABCD 是平行四边形，再根据矩形的判定定理（有一个角是直角或对角线相等）增加一个条件即可。
15．（2025八下·通道期中）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故答案为 ：
【分析】
根据菱形的性质（对边平行、对角线互相垂直）即可解答．
16．（2025八下·通道期中）如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则　 　
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是斜边上的中线，
∴CM=AM=BM=，
∵、分别为、的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵，
∴CM=2EF=4，
∴CM==4，
∴AB=8，
故答案为：8．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理直接找出AB的长度即可．
17．（2025八下·通道期中）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是　 　形．如果，，那么四边形的周长等于　 　cm．
【答案】平行四边形；56
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接，，
，，，分别是，，，边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
，，，分别是，，，边的中点，
同理，，
∴四边形的周长是：．
故答案为：平行四边形；56．
【分析】
先连接四边形对角线，利用三角形中位线定理证明四边形EFGH对边平行且相等，确定其形状；再根据中位线定理求出各边长，进而计算周长.
18．（2025八下·通道期中）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为24，则的长为　 　．．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，
∴E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE
∴S△AEH=S△DHG=S△CGF=S△RFE=S正方形EFGH
∴
∴
∴
又∵
∴
故答案为：
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、 BG、 CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的 ，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为8，继而得DH= EH=AE=，由勾股定理可求得AD的长。
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025八下·通道期中）如图所示，求出图中x的值．
【答案】解：由四边形的内角和定理得，，
解得．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由四边形的内角和定理得，，
解得．
【分析】
根据四边形的内角和等于列方程求解即可．
20．（2025八下·通道期中）如图，在中，点在的延长线上，且．求证：．
【答案】解：证明：是平行四边形，
，，即，
又，
四边形是平行四边形．
．
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定。解题思路是通过平行关系先证明四边形BECD是平行四边形，再利用其性质得到BE = CD，再结合平行四边形ABCD中AB = CD，从而证得BE = AB。具体过程：由平行四边形ABCD得AB∥CD且AB = CD，则BE∥CD；又EC∥BD，故四边形BECD是平行四边形，所以BE = CD，因此BE = AB。
21．（2025八下·通道期中）如图，在四边形中，．
（1）求证：
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，在Rt三角形ABC中，根据勾股定理得=25，由勾股定理逆定理，满足，则这个三角形就是直角三角形，判定是直角三角形，则 ；
（2）由（1）知，三角形ABC与是直角三角形，利用割补法和的面积和等于四边形的面积．
（1）连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
（2）解：四边形的面积=．
故面积为：234．
22．（2025八下·通道期中）如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
23．（2025八下·通道期中）如图，是矩形的对角线，过的中点O作，交于点E，交于点F，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∵，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，
∵DF=3，∠DCF=30°，
∴CF=6，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF的周长为24．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质。
（1）由O为AC中点且EF⊥AC，可得EF垂直平分AC，则AF=CF，AE=CE；利用矩形对边平行结合AAS证△AOF≌△COE，得AF=CE，从而四边相等，证得四边形AECF为菱形。
（2）由矩形得∠D=90°，在Rt△DCF中，DF=3，∠DCF=30°，则CF=6；由菱形性质知AE=EC=CF=FA=6，故四边形AECF周长为24。
（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∵，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵DF=3，∠DCF=30°，
∴CF=6，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF的周长为24．
24．（2025八下·通道期中）项目化学习
项目主题：测量风筝离地面的垂直高度．
项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习．
研究步骤：
1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．
2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
（2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
【答案】（1）解：中，
米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米．
（2）解：米
由题意可得：米
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用与线段长度的计算。
（1）在Rt△ABC中，已知斜边AB=25米，直角边BC=24米，利用勾股定理求出AC=7米，再加上风筝离B点的竖直高度CD=1.5米，得AD=8.5米。
（2）风筝沿DA方向上升8米后，EC=AC+AE=15米，风筝线长度不变仍为25米，在Rt△EFC中利用勾股定理求出CF=20米，则需向射线BC方向前进的距离为BC CF=4米。
（1）解：中，
米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米．
（2）解：米
由题意可得：米
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
25．（2025八下·通道期中）综合与实践
【教材情境】
数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到．
【观察思考】
在八年级下册，我们学行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以为边在正方形外作矩形，连接，且．
（1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程．
【实践探究】
（2）希望小队提出：若P是边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程．
【拓展迁移】
（3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴．
又∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
（2）当点P是的中点时，．
证明：连接．
∵四边形是正方形，
∴，．
∵点P是的中点，
∴，
∴．
由（1）知，
∴，
∴．
（3），．
证明：∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据正方形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
26．（2025八下·通道期中）在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连接PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）．
（1）BP=________（用含t的代数式表示）；
（2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值；
（3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值；
【答案】（1）6-3t
（2）解：如图1，过点M作MN⊥BC于N，
∵动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，∴CQ=5tcm，∴PQ=cm，
∵四边形CQMP是平行四边形，∴MQ=CP=3tcm，MQ∥CP，
∵MN⊥BC，QP⊥BC，∴MN∥PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴MN=PQ=4t（cm），MQ=NP=3t（cm），
∵BM平分∠ABC，∴∠MBC=45°=∠ABM，
∵MN⊥BC，∴∠MBC=45°=∠BMN，∴BN=MN=4tcm，
∵BN+NP+PC=BC，∴4t+3t+3t=6，∴t=；
（3）解：∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC，∴四边形BPQM是矩形，∴∠MBP=90°，
又∵∠ABC=90°，∴点M在AB上，
如图2，连接CM，
∵四边形BPQM是矩形，四边形CQMP是平行四边形，∴MQ=PC=BP=3tcm，∴3t+3t=6，∴t=1，
∴BM=PQ=4×1=4cm，∴CM=cm．

【知识点】角平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，
∴CP=3tcm，
∴BP=（6-3t）cm，
故答案为（6-3t）cm；
【分析】本题主要考查勾股定理、平行四边形与矩形的性质、角平分线的性质及动点问题。
（1）由BC=6，P以3cm/s从C向B运动，得BP=6-3t。
（2）当点M在∠B的平分线上时，构造辅助线利用角平分线性质得等腰直角三角形，结合平行四边形对边平行且相等及勾股定理，用t表示各线段，由BC=6建立方程4t+3t+3t=6，解得t=。
（3）当四边形BPQM为平行四边形时，结合PQ⊥BC可证其为矩形，从而点M在AB上，由平行四边形性质得MQ=PC=BP，得3t+3t=6，解得t=1，进而求得BM=PQ=4，在Rt△BCM中利用勾股定理得CM=2。
（1）解：∵动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，
∴CP=3tcm，
∴BP=（6-3t）cm，
故答案为（6-3t）cm；
（2）解：如图1，过点M作MN⊥BC于N，
∵动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，
∴CQ=5tcm，
∴PQ=cm，
∵四边形CQMP是平行四边形，
∴MQ=CP=3tcm，MQ∥CP，
∵MN⊥BC，QP⊥BC，
∴MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MN=PQ=4t（cm），MQ=NP=3t（cm），
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC=45°=∠ABM，
∵MN⊥BC，
∴∠MBC=45°=∠BMN，
∴BN=MN=4tcm，
∵BN+NP+PC=BC，
∴4t+3t+3t=6，
∴t=；
（3）解：∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC，
∴四边形BPQM是矩形，
∴∠MBP=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴点M在AB上，
如图2，连接CM，
∵四边形BPQM是矩形，四边形CQMP是平行四边形，
∴MQ=PC=BP=3tcm，
∴3t+3t=6，
∴t=1，
∴BM=PQ=4×1=4cm，
∴CM=cm．
1 / 1

展开更多......

收起↑