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四川省广安市岳池县第一中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（共30分）
1．（2026九上·岳池期末）下列方程是关于x的一元二次方程为（　　）
A． B．
C．（a和b为常数） D．
2．（2026九上·岳池期末）如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026九上·岳池期末）把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·岳池期末）下列说法正确的是（　　）
A．概率很小的事情都不可能发生
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
C．从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
5．（2026九上·岳池期末）如图，在正十边形中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026九上·岳池期末）已知，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．2
7．（2026九上·岳池期末）有下列4个命题：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同位角相等；③若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等．其中是假命题的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2026九上·岳池期末）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026九上·岳池期末）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C．6 D．
10．（2026九上·岳池期末）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．（2026九上·岳池期末）在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为　 　个.
12．（2026九上·岳池期末）二次函数的最大值是　 　．
13．（2026九上·岳池期末）已知，则的值是　 　．
14．（2026九上·岳池期末）定义：已知一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是已知矩形的“倍”矩形．已知一个长为5，宽为4的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为　 　．
15．（2026九上·岳池期末）如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为 　 　 ．
16．（2026九上·岳池期末）如图，正方形的边长为4，分别以B，C为圆心，BC为半径作圆弧AC，BD并交于点E，则阴影图形的面积为　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2026九上·岳池期末）用适当方法解方程：
18．（2026九上·岳池期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
（2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）求的面积．
19．（2026九上·岳池期末）如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接，
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
20．（2026九上·岳池期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：．
．
21．（2026九上·岳池期末）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？
22．（2026九上·岳池期末）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
23．（2026九上·岳池期末）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
24．（2026九上·岳池期末）某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度和经过的水平距离可用公式来估计．
（1）当球的水平距离达到时，球上升的高度是多少？
（2）若在击球点正东方向101米处有一球洞，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点直接打入球洞点，并说明理由．
25．（2026九上·岳池期末）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆．
（1）求证：是的切线；
（2）过点E作于点H，求证：平分；
（3）求证：．
26．（2026九上·岳池期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该选项中的方程是一元一次方程，不符合题意；
B、是分式，该选项中的方程不是一元二次方程，不符合题意；
C、当时，该选项中的方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、该选项中的方程是一元二次方程，符合题意.
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知A、B选项中的图形为轴对称图形，
根据中心对称图形的定义可知B选项中的图形为中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵原函数为，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：；
∴ 所得函数表达式为，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出平移后抛物线的解析式.
4．【答案】D
【知识点】可能性的大小；概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、概率很小的事情说明这件事情发生的概率很小，并不代表不可能发生，故不符合题意；
B、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数可能是5000次，原说法错误，故不符合题意；
C、从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法错误，故不符合题意；
D、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，原说法正确，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】概率是判断随机事件发生可能性大小的量，概率越大事件发生的可能性就越大，概率越小事件发生的可能性就越小，据此可判断A选项；投掷一枚质地均匀的硬币，每次投掷时，正面朝上和反面朝上的概率都是，虽然理论上投掷次数足够多时，正面朝上的次数会接近总次数的一半，但在实际投掷10000次时，正面朝上的次数不一定恰好是5000次，它可能比5000次多，也可能比5000次少，据此可判断B选项；从1，2，3，4，5这5个数中，偶数有2和4，共2 个；奇数有1，3，5，共3个，根据概率公式可求出从中任取一个数是偶数的可能性比任取一个数是奇数的可能性小，据此可判断C选项；一年有12个月份，把这12个月份看作12个“抽屉”，把13名同学放入这些“抽屉”中，13÷12=1……1，其中1是商，1是余数， 这意味着平均每个月份有1名同学出生的话，还剩余一位同学，剩余的这位同学无论出生在哪一个月份，都会出现该月份至少有2名同学出生，据此可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故答案为：B．
【分析】设正十边形的中心为点O，连接OC，由正n边形的中心角为可求出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠A的度数.
6．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
即，
所以，
故答案为：B．
【分析】把a2+b2看成一个整体，利用单项式乘以多形式法则展开括号，把方程整理成一般形式，然后将方程左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零则至少有一个为零，并结合偶数次幂的非负性即可得出关于a2+b2的方程，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
②两直线平行，同位角相等，原命题是真命题；
③若一个三角形的两个内角分别为和（则另一个内角为），则这个三角形是直角三角形，原命题是真命题；
④全等三角形的对应角相等，原命题是真命题；
∴假命题是①.
故答案为：B．
【分析】有公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线的两个角就是一对对顶角，据此可判断①；根据平行线的性质定理可直接判断②；根据三角形的内角和为180°求出该三角形的第三个内角为90°，然后根据直角三角形定义（有一个内角为直角的三角形是直角三角形）可判断③；全等三角形的对应角相等，对应边相等，对应三线相等，面积相等，据此可判断④.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据题意，由矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，即可解答．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
∵正六边形内接于，
，
∵，
∴是等边三角形，
∵的周长是，
，
，
故答案为：C。
【分析】根据圆的内接正六边形的性质，可知是等边三角形，再根据的周长，然后再根据圆的周长公式，即可求出圆的半径，然后再根据等边三角形的性质，即可求出正六边形的边长。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵图象与x轴有交点，
∴，
解得；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴实数a的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】由抛物线与x轴有交点可得判别式△=b2-4ac≥0，据此建立关于字母a的不等式，求解得出字母a的取值范围；根据抛物线的对称轴直线公式“”求出抛物线的对称轴直线为x=a，结合抛物线开口向上及抛物线的增减性可得a≤4，综上即可得出a的取值范围.
11．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设纸箱中白的小球的个数为x，
由题意得
解得x=8，
经检验x=8是原方程的解，
所以纸箱中白球最可能有8个.
故答案为：8.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此得出从纸箱中摸到白色小球的概率为0.4，进而根据概率公式列出方程，求解并检验即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数的开口向下，顶点为，
∴函数有最大值，
故答案为：-4．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)，当a＞0时，图象开口向上，其最小值为h，当a＜0时，图象开口向下，其最大值为h，据此解答即可.
13．【答案】21
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：21．
【分析】先由平方的非负性与算术平方根的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m，n的值，再将m、n的值代入待求代数式，进而根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵现有一个长为5，宽为4的矩形，
∴它的周长为，面积为，
∴它的“倍”矩形的面积为，周长为，
设它的“倍”矩形的长为，则宽为，
由题意得：，
整理得：，
∴，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积倍，
∴即：，
∵，
∴不等式化为，解得，
∴的最小值为，
当时，，方程有重根，宽，满足条件，
故答案为：．
【分析】根据矩形面积及周长计算公式求出原矩形的周长与面积，然后根据新定义，表示出“倍”矩形的周长和面积；设新矩形长为x，根据矩形周长计算公式表示出新矩形的长，进而根据矩形面积公式结合新矩形的面积列出一元二次方程，最后根据其判别式非负时方程有实数根，即新矩形存在，由此解出的取值范围，并求最小值．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长，过点E作垂直于的延长线于点F，如下图：
∵四边形是正方形
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，即：，
∵，
∴；
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥CA的延长线于点F，由正方形性质得AE=AB，∠EAB=90°，从而根据角的构成、平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠AEF=∠BAC，从而利用“AAS”证明△AEF≌△ABC，由全等三角形的对应边相等得EF=AC=3及AF=BC=5，然后在Rt△ECF中，利用勾股定理即可求得CE的长．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
根据题意可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
根据勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，由同圆半径相等得出CE=CB=BE=4，从而由三边相等的三角形是等边三角形得出△BCE为等边三角形，由等边三角形性质得∠BCE=∠CBE=60°，NF=CF=2，根据勾股定理求出EF的长，求出△BCE的面积和扇形BCE的面积，结合图形，利用割补法即可求出阴影部分的面积．
17．【答案】解：∵中，，，，
∴
∴，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为，
（2）解：如图所示，即为所求，点的坐标为
（3）解：如图，连接，
∴的面积为
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向左平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1，进而根据点C1在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点及旋转的方向及角度，分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2，进而根据点C2在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（3）连接B1C2、C1C2，利用方格纸的特点及割补法，由△B1C1C2的面积等于长为3宽为4的长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为，
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为
（3）如图，连接，
∴的面积为
19．【答案】（1）证明：连接
直线是切线，
直线，
平行直线，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC，由圆的切线垂直经过切点的半径得OA⊥l，然后根据平行平行线的性质推出OA⊥BC，根据垂径定理得出，由等弧所对的圆周角相等得到；
（2）由垂径定理得出BD=CD=4，根据勾股定理先算出AB2的长，然后由有两组角相等的两个三角形相似得△BAF∽△EAB，由相似三角形对应边成比例得到，即可解答．
（1）证明：连接
直线是切线，
直线，
平行直线，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
20．【答案】证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，．
∵B，C，E三点在同一直线上，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】由旋转的性质得，，由邻补角求得，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACE是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得，由角的构成求出∠DEC=∠ACE=60°，从而根据“内错角相等，两直线平行”可得结论．
21．【答案】（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，
∴，
∵，
∴．
∴S与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，即，
解得：．
∵，
∴．
答：要围成面积的花圃，的长是8米．
【知识点】函数自变量的取值范围；列二次函数关系式；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设花圃的宽AB为，面积为，则BC的长为米，然后根据长方形的面积公式即可建立出S关于x的函数关系式，进而根据x代表矩形花圃的宽及矩形花圃的长不能超过墙的总长建立出关于字母x的不等式组，求解得出字母x的取值范围；
（2）令（1）所得函数解析式中的S=48，求解并根据x的取值范围进行取舍即可得出答案.
（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，
∴，
∵，
∴．
∴S与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：．
∵，
∴．
答：要围成面积的花圃，的长是8米．
22．【答案】（1）解：20，50，
喜欢打乒乓球的人数为，
补全条形统计图如下：
（2）360
（3）解； 列表如下：
男 男 男 女
男 —— （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） —— （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） —— （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） ——
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，
∴抽到一男一女学生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
这次共抽取了学生人数为（名），
故答案为：20，50；
（2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）；
故答案为：360；
【分析】（1）根据扇形统计图提供的信息，由各个扇形所占百分比之和等于1可求出m的值；根据统计图表提供的信息，用喜欢篮球运动的人数除以其所占的百分比即可求出本次调查抽取的学生人数；进而利用本次调查抽取的学生人数乘以喜欢乒乓球运动的人数所占的百分比得到喜欢乒乓球运动的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）用该校学生总人数乘以样本中喜爱打篮球的学生所占的百分数即可估计出该校喜欢篮球运动的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
（1）解：，
这次共抽取了学生人数为（名），
喜欢打乒乓球的人数为，
补全条形统计图如下：
；
（2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）；
（3）解； 列表如下：
男 男 男 女
男 —— （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） —— （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） —— （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） ——
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，
∴抽到一男一女学生的概率．
23．【答案】（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得米，且DE⊥AB，利用线段和差得EF=(r-20)米，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出r的值；
（2）如图2，设水面上涨后水面跨度交于H，连接，由垂径定理得米，DE⊥MN，在Rt△MEH中，由勾股定理求出EH，进而根据线段和差，由HF=EH-EF计算可得答案.
（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
24．【答案】解：（1）当时，．
答：当球的水平距离达到时，球上升的高度是．
（2）不能，理由如下：
当时，，
解得（舍去），
∵，
∴此高尔夫球手这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）直接把d=30代入公式计算即可；（2）将h=0代入公式可得关于d的方程，解方程求出d的值后与101比较即可得出结论.
25．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴是圆O的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（3）证明：如图，连接．
∵是的平分线，于C，于H，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接OE，由90°圆周角所对的弦是直径得出BF是圆O的直径；由同圆半径相等及等边对等角得，利用角平分线定义可得，则，进而利用内错角相等，两直线平行得出OE∥BC，由二直线平行，同位角相等得出∠AEO=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得，再利用角的构成及等角的余角相等得，继而由角平分线的定义得出结论；
（3）连接DE，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得∠CDE=∠HFE，从而利用“AAS”判断出△CDE≌△HFE，由全等三角形的对应边相等得CD=HF.
（1）解：证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴是圆O的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：证明：如图，连接．
∵是的平分线，于C，于H，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令直线y=2x-3中的y=0算出对应的函数值可得点的（，0)；设，且，根据点的坐标与图形性质得，，根据两点间的距离公式表示出MN，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当△CMN是以NM为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，根据点的坐标与图形性质得出点M的纵坐标为-3，然后将y=-3代入（1）所求的抛物线解析式算出对应的自变量x的值，判断得出点M的及点N的坐标，由两点间的距离公式算出CM、MN，就会发现MN≠CM，从而可得结论.
（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
1 / 1四川省广安市岳池县第一中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（共30分）
1．（2026九上·岳池期末）下列方程是关于x的一元二次方程为（　　）
A． B．
C．（a和b为常数） D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该选项中的方程是一元一次方程，不符合题意；
B、是分式，该选项中的方程不是一元二次方程，不符合题意；
C、当时，该选项中的方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、该选项中的方程是一元二次方程，符合题意.
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，据此逐一判断得出答案.
2．（2026九上·岳池期末）如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知A、B选项中的图形为轴对称图形，
根据中心对称图形的定义可知B选项中的图形为中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2026九上·岳池期末）把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵原函数为，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：；
∴ 所得函数表达式为，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出平移后抛物线的解析式.
4．（2026九上·岳池期末）下列说法正确的是（　　）
A．概率很小的事情都不可能发生
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
C．从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
【答案】D
【知识点】可能性的大小；概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、概率很小的事情说明这件事情发生的概率很小，并不代表不可能发生，故不符合题意；
B、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数可能是5000次，原说法错误，故不符合题意；
C、从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法错误，故不符合题意；
D、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，原说法正确，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】概率是判断随机事件发生可能性大小的量，概率越大事件发生的可能性就越大，概率越小事件发生的可能性就越小，据此可判断A选项；投掷一枚质地均匀的硬币，每次投掷时，正面朝上和反面朝上的概率都是，虽然理论上投掷次数足够多时，正面朝上的次数会接近总次数的一半，但在实际投掷10000次时，正面朝上的次数不一定恰好是5000次，它可能比5000次多，也可能比5000次少，据此可判断B选项；从1，2，3，4，5这5个数中，偶数有2和4，共2 个；奇数有1，3，5，共3个，根据概率公式可求出从中任取一个数是偶数的可能性比任取一个数是奇数的可能性小，据此可判断C选项；一年有12个月份，把这12个月份看作12个“抽屉”，把13名同学放入这些“抽屉”中，13÷12=1……1，其中1是商，1是余数， 这意味着平均每个月份有1名同学出生的话，还剩余一位同学，剩余的这位同学无论出生在哪一个月份，都会出现该月份至少有2名同学出生，据此可判断D选项.
5．（2026九上·岳池期末）如图，在正十边形中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故答案为：B．
【分析】设正十边形的中心为点O，连接OC，由正n边形的中心角为可求出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠A的度数.
6．（2026九上·岳池期末）已知，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
即，
所以，
故答案为：B．
【分析】把a2+b2看成一个整体，利用单项式乘以多形式法则展开括号，把方程整理成一般形式，然后将方程左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零则至少有一个为零，并结合偶数次幂的非负性即可得出关于a2+b2的方程，求解即可.
7．（2026九上·岳池期末）有下列4个命题：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同位角相等；③若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等．其中是假命题的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
②两直线平行，同位角相等，原命题是真命题；
③若一个三角形的两个内角分别为和（则另一个内角为），则这个三角形是直角三角形，原命题是真命题；
④全等三角形的对应角相等，原命题是真命题；
∴假命题是①.
故答案为：B．
【分析】有公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线的两个角就是一对对顶角，据此可判断①；根据平行线的性质定理可直接判断②；根据三角形的内角和为180°求出该三角形的第三个内角为90°，然后根据直角三角形定义（有一个内角为直角的三角形是直角三角形）可判断③；全等三角形的对应角相等，对应边相等，对应三线相等，面积相等，据此可判断④.
8．（2026九上·岳池期末）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据题意，由矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，即可解答．
9．（2026九上·岳池期末）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
∵正六边形内接于，
，
∵，
∴是等边三角形，
∵的周长是，
，
，
故答案为：C。
【分析】根据圆的内接正六边形的性质，可知是等边三角形，再根据的周长，然后再根据圆的周长公式，即可求出圆的半径，然后再根据等边三角形的性质，即可求出正六边形的边长。
10．（2026九上·岳池期末）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵图象与x轴有交点，
∴，
解得；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴实数a的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】由抛物线与x轴有交点可得判别式△=b2-4ac≥0，据此建立关于字母a的不等式，求解得出字母a的取值范围；根据抛物线的对称轴直线公式“”求出抛物线的对称轴直线为x=a，结合抛物线开口向上及抛物线的增减性可得a≤4，综上即可得出a的取值范围.
二、填空题（共18分）
11．（2026九上·岳池期末）在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为　 　个.
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设纸箱中白的小球的个数为x，
由题意得
解得x=8，
经检验x=8是原方程的解，
所以纸箱中白球最可能有8个.
故答案为：8.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此得出从纸箱中摸到白色小球的概率为0.4，进而根据概率公式列出方程，求解并检验即可.
12．（2026九上·岳池期末）二次函数的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数的开口向下，顶点为，
∴函数有最大值，
故答案为：-4．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)，当a＞0时，图象开口向上，其最小值为h，当a＜0时，图象开口向下，其最大值为h，据此解答即可.
13．（2026九上·岳池期末）已知，则的值是　 　．
【答案】21
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：21．
【分析】先由平方的非负性与算术平方根的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m，n的值，再将m、n的值代入待求代数式，进而根据有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算可得答案.
14．（2026九上·岳池期末）定义：已知一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是已知矩形的“倍”矩形．已知一个长为5，宽为4的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵现有一个长为5，宽为4的矩形，
∴它的周长为，面积为，
∴它的“倍”矩形的面积为，周长为，
设它的“倍”矩形的长为，则宽为，
由题意得：，
整理得：，
∴，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积倍，
∴即：，
∵，
∴不等式化为，解得，
∴的最小值为，
当时，，方程有重根，宽，满足条件，
故答案为：．
【分析】根据矩形面积及周长计算公式求出原矩形的周长与面积，然后根据新定义，表示出“倍”矩形的周长和面积；设新矩形长为x，根据矩形周长计算公式表示出新矩形的长，进而根据矩形面积公式结合新矩形的面积列出一元二次方程，最后根据其判别式非负时方程有实数根，即新矩形存在，由此解出的取值范围，并求最小值．
15．（2026九上·岳池期末）如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为 　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长，过点E作垂直于的延长线于点F，如下图：
∵四边形是正方形
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，即：，
∵，
∴；
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥CA的延长线于点F，由正方形性质得AE=AB，∠EAB=90°，从而根据角的构成、平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠AEF=∠BAC，从而利用“AAS”证明△AEF≌△ABC，由全等三角形的对应边相等得EF=AC=3及AF=BC=5，然后在Rt△ECF中，利用勾股定理即可求得CE的长．
16．（2026九上·岳池期末）如图，正方形的边长为4，分别以B，C为圆心，BC为半径作圆弧AC，BD并交于点E，则阴影图形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
根据题意可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
根据勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，由同圆半径相等得出CE=CB=BE=4，从而由三边相等的三角形是等边三角形得出△BCE为等边三角形，由等边三角形性质得∠BCE=∠CBE=60°，NF=CF=2，根据勾股定理求出EF的长，求出△BCE的面积和扇形BCE的面积，结合图形，利用割补法即可求出阴影部分的面积．
三、解答题（共72分）
17．（2026九上·岳池期末）用适当方法解方程：
【答案】解：∵中，，，，
∴
∴，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
18．（2026九上·岳池期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
（2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为，
（2）解：如图所示，即为所求，点的坐标为
（3）解：如图，连接，
∴的面积为
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向左平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1，进而根据点C1在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点及旋转的方向及角度，分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2，进而根据点C2在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（3）连接B1C2、C1C2，利用方格纸的特点及割补法，由△B1C1C2的面积等于长为3宽为4的长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为，
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为
（3）如图，连接，
∴的面积为
19．（2026九上·岳池期末）如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接，
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接
直线是切线，
直线，
平行直线，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC，由圆的切线垂直经过切点的半径得OA⊥l，然后根据平行平行线的性质推出OA⊥BC，根据垂径定理得出，由等弧所对的圆周角相等得到；
（2）由垂径定理得出BD=CD=4，根据勾股定理先算出AB2的长，然后由有两组角相等的两个三角形相似得△BAF∽△EAB，由相似三角形对应边成比例得到，即可解答．
（1）证明：连接
直线是切线，
直线，
平行直线，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
20．（2026九上·岳池期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：．
．
【答案】证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，．
∵B，C，E三点在同一直线上，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】由旋转的性质得，，由邻补角求得，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACE是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得，由角的构成求出∠DEC=∠ACE=60°，从而根据“内错角相等，两直线平行”可得结论．
21．（2026九上·岳池期末）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？
【答案】（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，
∴，
∵，
∴．
∴S与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，即，
解得：．
∵，
∴．
答：要围成面积的花圃，的长是8米．
【知识点】函数自变量的取值范围；列二次函数关系式；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设花圃的宽AB为，面积为，则BC的长为米，然后根据长方形的面积公式即可建立出S关于x的函数关系式，进而根据x代表矩形花圃的宽及矩形花圃的长不能超过墙的总长建立出关于字母x的不等式组，求解得出字母x的取值范围；
（2）令（1）所得函数解析式中的S=48，求解并根据x的取值范围进行取舍即可得出答案.
（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，
∴，
∵，
∴．
∴S与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：．
∵，
∴．
答：要围成面积的花圃，的长是8米．
22．（2026九上·岳池期末）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】（1）解：20，50，
喜欢打乒乓球的人数为，
补全条形统计图如下：
（2）360
（3）解； 列表如下：
男 男 男 女
男 —— （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） —— （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） —— （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） ——
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，
∴抽到一男一女学生的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
这次共抽取了学生人数为（名），
故答案为：20，50；
（2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）；
故答案为：360；
【分析】（1）根据扇形统计图提供的信息，由各个扇形所占百分比之和等于1可求出m的值；根据统计图表提供的信息，用喜欢篮球运动的人数除以其所占的百分比即可求出本次调查抽取的学生人数；进而利用本次调查抽取的学生人数乘以喜欢乒乓球运动的人数所占的百分比得到喜欢乒乓球运动的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）用该校学生总人数乘以样本中喜爱打篮球的学生所占的百分数即可估计出该校喜欢篮球运动的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
（1）解：，
这次共抽取了学生人数为（名），
喜欢打乒乓球的人数为，
补全条形统计图如下：
；
（2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）；
（3）解； 列表如下：
男 男 男 女
男 —— （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） —— （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） —— （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） ——
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，
∴抽到一男一女学生的概率．
23．（2026九上·岳池期末）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
【答案】（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得米，且DE⊥AB，利用线段和差得EF=(r-20)米，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出r的值；
（2）如图2，设水面上涨后水面跨度交于H，连接，由垂径定理得米，DE⊥MN，在Rt△MEH中，由勾股定理求出EH，进而根据线段和差，由HF=EH-EF计算可得答案.
（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
24．（2026九上·岳池期末）某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度和经过的水平距离可用公式来估计．
（1）当球的水平距离达到时，球上升的高度是多少？
（2）若在击球点正东方向101米处有一球洞，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点直接打入球洞点，并说明理由．
【答案】解：（1）当时，．
答：当球的水平距离达到时，球上升的高度是．
（2）不能，理由如下：
当时，，
解得（舍去），
∵，
∴此高尔夫球手这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）直接把d=30代入公式计算即可；（2）将h=0代入公式可得关于d的方程，解方程求出d的值后与101比较即可得出结论.
25．（2026九上·岳池期末）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆．
（1）求证：是的切线；
（2）过点E作于点H，求证：平分；
（3）求证：．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴是圆O的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（3）证明：如图，连接．
∵是的平分线，于C，于H，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接OE，由90°圆周角所对的弦是直径得出BF是圆O的直径；由同圆半径相等及等边对等角得，利用角平分线定义可得，则，进而利用内错角相等，两直线平行得出OE∥BC，由二直线平行，同位角相等得出∠AEO=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得，再利用角的构成及等角的余角相等得，继而由角平分线的定义得出结论；
（3）连接DE，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得∠CDE=∠HFE，从而利用“AAS”判断出△CDE≌△HFE，由全等三角形的对应边相等得CD=HF.
（1）解：证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴是圆O的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：证明：如图，连接．
∵是的平分线，于C，于H，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（2026九上·岳池期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令直线y=2x-3中的y=0算出对应的函数值可得点的（，0)；设，且，根据点的坐标与图形性质得，，根据两点间的距离公式表示出MN，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当△CMN是以NM为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，根据点的坐标与图形性质得出点M的纵坐标为-3，然后将y=-3代入（1）所求的抛物线解析式算出对应的自变量x的值，判断得出点M的及点N的坐标，由两点间的距离公式算出CM、MN，就会发现MN≠CM，从而可得结论.
（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
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