资源简介

广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学1月月考试题
一、选择题（共8小题）
1．（2026九上·深圳月考）右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：卷纸的主视图应是：
，
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
2．（2026九上·深圳月考）下列命题错误的是（　　）
A．正方形的对角线互相垂直
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．菱形的四条边相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直，这是正方形的基本性质，A正确；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，B正确；
C、对角线相等的平行四边形才是矩形，仅 “对角线相等” 这一条件不足以判定一个四边形是矩形（例如等腰梯形的对角线也相等），C错误；
D、菱形的四条边相等，这是菱形的定义，D正确；
故答案为：C。
【分析】根据特殊四边形的判定定理，逐一验证选项，C忽略了 “平行四边形” 这一前提，仅 “对角线相等” 不能判定为矩形。
3．（2026九上·深圳月考）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】已知 ，我们可以用两种方法求解：
方法一：等比性质
因为 ，且 ，根据等比性质可得：
方法二：代入消元
由 ，得 ；
由 ，得 。
将和代入：
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是等比性质的应用：当两个比相等时，它们的前项之和与后项之和的比，仍等于原来的比值（后项之和不为0）。
也可以通过“设比例系数”的方法，把和都用和表示出来，再代入分式化简求值。
4．（2026九上·深圳月考）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约亿元，设增长率为，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一周票房为亿元，增长率为，
第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，
三周累计票房达亿元，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意， 第一周票房约亿元， 设增长率为，表示出第二周、第三周的票房收入，由三周后票房收入累计达约亿元， 列出关于x的一元二次方程即可.
5．（2026九上·深圳月考）一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（　　）
A．3张 B．15张 C．5张 D．10张
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：已知条件盒子里共有 20 张贺卡，通过大量重复试验，抽到 “元旦” 主题贺卡的频率稳定在 25%。当试验次数很大时，频率可以近似地看作概率。因此，我们可以认为抽到 “元旦” 主题贺卡的概率就是 25%。
“元旦” 主题贺卡的数量 = 总贺卡数 × 抽到 “元旦” 主题贺卡的概率代入数据计算：20 × 25% = 20 × 0.25 = 5（张）
故答案为：C。
【分析】题目中提到 “大量重复试验后频率稳定在 25%”，根据概率的统计定义，我们可以用这个稳定的频率来估计概率，即抽到 “元旦” 主题贺卡的概率约为 25%。用总贺卡数 20 乘以这个概率 25%，即可估算出 “元旦” 主题贺卡的数量为 5 张。
6．（2026九上·深圳月考）反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于反比例函数 ，因为任何实数的平方 ，所以 ，即系数 。
当 时，反比例函数的图象位于第一、三象限，并且在每个象限内，随的增大而减小。
点 的横坐标为，该点在第三象限，因此 。
点 和 的横坐标 ，，这两个点在第一象限，因此 ，。
在第一象限内， 随 的增大而减小。因为 ，所以 。
因为 ，而 ，所以最终大小关系为 。
故答案为：B。
【分析】首先，确定反比例函数 的系数 恒为正数，所以函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小。接着，判断各点所在象限：点 在第三象限，所以 ；点 和 在第一象限，所以 ，。最后，在第一象限内，因为 ，根据函数单调性可得 。综合所有信息，得出 。
7．（2026九上·深圳月考）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】在网格中，小正方形边长为1。
根据勾股定理：，，，
因为 ，所以△ABC是直角三角形，直角在C点。
两条直角边的长度比为：
A、D、观察图形，它们不是直角三角形，直接排除。
B、该三角形是直角三角形，但两条直角边的长度比为2：3，不等于1：2，排除。
C、该三角形是直角三角形，两条直角边的长度分别为2和4，比为。
该比例与△ABC的直角边比例完全一致，因此两个三角形相似。
故答案为：C。
【分析】先用勾股定理算出△ABC三边的长度，再用勾股定理逆定理，确认△ABC是直角三角形，并得出两条直角边的比例为1：2，比较选项时先排除非直角三角形的选项，再检查剩余直角三角形的直角边比例，找到比例同样为1：2的选项即可。
8．（2026九上·深圳月考）如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：因为，，所以点的纵坐标为。
点在反比例函数的图象上，将代入：
所以点的坐标为，即。
在中，，，因此：
进而：
设与轴交于点，由，得，故：
代入，，：
阴影部分为梯形，上底，下底，高，面积为：
故答案为：C。
【分析】先利用反比例函数解析式和直角三角形的边长，确定关键点的坐标，进而求出的长度。解，得到的长度，从而算出的长度。通过，证明，利用相似比求出的长度。最后将阴影部分识别为梯形，代入梯形面积公式计算结果。
二、填空题（共5小题）
9．（2026九上·深圳月考）匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于　 　投影．（填“平行”或“中心”）
【答案】中心
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投影．
故答案为：中心。
【分析】先辨类型：投影分为平行投影和中心投影，然后看光线：灯光的光线是从一点发出的，呈放射状，属于中心投影；而太阳光等平行光线形成的是平行投影，最后得出结论：“凿壁借光” 中的灯光是点光源，因此影子属于中心投影。
10．（2026九上·深圳月考）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是　 　．
【答案】75
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应中线之比是，
∴它们的面积比是，
设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是，
∴，
解得，
∴较大三角形的面积是，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形对应中线之比等于相似比，得出相似比为 2：5。依据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到面积比为 4：25。设较小三角形面积为 4x cm2，较大三角形面积为 25x cm2，根据面积差列方程 25x 4x=63。解方程求出 x，再计算出较大三角形的面积。
11．（2026九上·深圳月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设，则，为的黄金分割点（），，，，解得，（不舍题意舍去），的长度为．
故答案为：．
【分析】 根据黄金分割比，先求出较长线段 AP 的长度，再用总长度 AB 减去 AP，即可得到较短线段 BP 的长度。
12．（2026九上·深圳月考）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接，
∵轴，
，
∴，
，
∵反比例函数在第二象限，
∴，
，
故答案为：．
【分析】先连接OA，利用AB∥y轴，推出△ABC与△ABO同底等高，因此面积相等，即。然后根据反比例函数的几何意义，，代入面积得，解得。由图象在第二象限，可知，因此。
13．（2026九上·深圳月考）将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点，落在斜边上，若小正方形的边长为，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
。
【分析】设未知数，用小相似求AG：设 ，利用 得出 ，根据相似比 ，解得 。由展开图可知 ，所以 。利用 得出 ，根据相似比 ，代入 、、，解得 。
三、解答题（共7小题）
14．（2026九上·深圳月考）解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）采用配方法，先移项将常数项移到右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式 ，最后开方求解，得到两个根 和 。
（2）采用公式法，先确定方程中 ，，，计算判别式 ，再代入求根公式 ，解得 和 。
（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
15．（2026九上·深圳月考）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为；
（3）已知的面积为2.5，则的面积为_______．
【答案】（1）解：如图所示，点为所作；
（2）解：如图所示，为所作；
（3）10
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与的位似比为，
∴，
∵的面积为2.5，
∴，
故答案为：10．
【分析】(1) 找位似中心：连接两组对应顶点 与 、 与 ，延长连线，交点即为位似中心 。
(2) 作位似图形：以原点 为位似中心，将 各顶点坐标乘以 （位似比 ，第三象限），得到对应点后顺次连接。
(3) 求面积：位似比为 ，面积比为位似比的平方 ，因此 的面积为 。
（1）解：如图所示，点为所作；
（2）解：如图所示，为所作；
（3）解：∵与的位似比为，
∴，
∵的面积为2.5，
∴，
故答案为：10．
16．（2026九上·深圳月考）如图，矩形的对角线相交于点，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
在菱形中，
∴均为等边三角形，
∴，
如图，作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴△EBC的面积
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由 、 得平行四边形OCED，再由矩形对角线相等且平分得 ，故OCED是菱形。
(2)由 得△OCD为等边三角形，，。
结合菱形性质，作 延长线于F，得高 ，代入面积公式得 。
（1）解：证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
在菱形中，
∴均为等边三角形，
∴，
如图，作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴△EBC的面积
17．（2026九上·深圳月考）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
【分析】(1) 总共有4个小球，标有数字1的小球只有1个，所以摸出标有数字1的小球的概率为 。
(2) 用列表法列出所有等可能的结果：
总共有 种等可能的结果。其中甲、乙两队赛道相邻的结果有：(1，2)、(2，1)、(2，3)、(3，2)、(3，4)、(4，3)，共6种。因此，甲、乙两队赛道相邻的概率为 。
（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
18．（2026九上·深圳月考）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若每个零件在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？
【答案】【解答】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为
根据题意，得，
解得，不符合题意，舍去
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为；
（2）设该零件的实际售价应定为每个y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
要尽可能让车企得到实惠，
∴．
答：该零件的实际售价应定为每个50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先设未知数：设月平均增长率为 。然后列方程：根据4月产量100个、6月产量144个，列出方程 。解得 （即20%），舍去负根。
（2）先设未知数：设实际售价为 元/个。然后表示利润与销量：单个利润为 元，月销量为 个。接着列方程：根据总利润10000元，列出方程 。解得 或 ，为让车企得到实惠，选择较低售价 。
19．（2026九上·深圳月考）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）_____，消毒效果最高效力是_____；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【答案】（1），
（2）解：当时，设与之间的函数关系式为，
把代入，得，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
∴持续时长为，
∴本次消毒有效．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴消毒效果最高效力是，
故答案为：，；
【分析】(1) 将点B(10， 3)代入一次函数 ，解得 ；再将 代入，得最高效力 。
(2) 当 时，设反比例函数为 ，代入点C(30， 6)，得 ，故函数式为 。
(3) 分别将 代入两段函数：在BC段：，解得 ；在CD段：，解得 。持续时长为 ，因此本次消毒有效。
（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴消毒效果最高效力是，
故答案为：，；
（2）解：当时，设与之间的函数关系式为，
把代入，得，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
∴持续时长为，
∴本次消毒有效．
20．（2026九上·深圳月考）如图，在中，为的中线．点P从点A出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向点B运动，过点P作交折线于点Q．当点P不与点D重合时，作点P关于点D的对称点M，连结，以为邻边构造，设点P的运动时间为t秒．
（1）边的长为　 　；
（2）连结，则线段长度的最小值是　 　；
（3）作直线，当直线垂直于的一条边时，求t的值；
（4）当或与相似，且直线恰好将其面积平分时，请直接写出t的值．
【答案】（1）12
（2）9
（3）解：当时，如图，
为斜边上的中线，
．
．
，
．
，即．
．
．
，
．
，即．
．
由题意得，解得．
当时，如图，
，，
．
．
，即．
由题意得，解得．
当时，此时点P与点D重合，不能构造；
综上，t的值为或．
（4）或
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解∶
．
故答案为∶。
（2）解：当点Q在线段上时，如图，连接，
四边形是平行四边形，
、互相平分，即经过的中点D．
．
当时，最小，此时最小．
，
．
．
．
的最小值．
故答案为∶9。
（4）解：当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点K，
则点K为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，
．
．
，解得．
当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点T，
则点T为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，解得．
综上，t的值为或．
【分析】（1）直接在Rt△ABC中，用勾股定理 。
（2）根据平行四边形性质，NQ与PM相关，而PM的长度由点P的对称关系决定。结合几何位置分析，当NQ⊥某条关键线段时取得最小值，最终得NQ最小为9。
（3）分三种情况讨论：
DN⊥DC：利用△CQD∽△ABC求出CQ，再通过△AQP∽△ABC求出AP，从而得。
DN⊥AC：利用等腰三角形性质得AQ=6，再通过△AQP∽△ABC求出AP，得。
DN⊥AD：此时P与D重合，不符合题意，舍去。
（4）分△APQ和△BPQ两种情况讨论：
平分△APQ面积：直线PN过AQ中点，结合平行四边形性质推出AP=5，得。
平分△BPQ面积：直线PN过BQ中点，推出AP=10，得。
（1）解∶
．
故答案为∶．
（2）解：当点Q在线段上时，如图，连接，
四边形是平行四边形，
、互相平分，即经过的中点D．
．
当时，最小，此时最小．
，
．
．
．
的最小值．
故答案为∶9．
（3）解：当时，如图，
为斜边上的中线，
．
．
，
．
，即．
．
．
，
．
，即．
．
由题意得，解得．
当时，如图，
，，
．
．
，即．
由题意得，解得．
当时，此时点P与点D重合，不能构造；
综上，t的值为或．
（4）解：当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点K，
则点K为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，
．
．
，解得．
当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点T，
则点T为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，解得．
综上，t的值为或．
1 / 1广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学1月月考试题
一、选择题（共8小题）
1．（2026九上·深圳月考）右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·深圳月考）下列命题错误的是（　　）
A．正方形的对角线互相垂直
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．菱形的四条边相等
3．（2026九上·深圳月考）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·深圳月考）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约亿元，设增长率为，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026九上·深圳月考）一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（　　）
A．3张 B．15张 C．5张 D．10张
6．（2026九上·深圳月考）反比例函数的图象上3个点的坐标分别为，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·深圳月考）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026九上·深圳月考）如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．12 B． C． D．
二、填空题（共5小题）
9．（2026九上·深圳月考）匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于　 　投影．（填“平行”或“中心”）
10．（2026九上·深圳月考）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是　 　．
11．（2026九上·深圳月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为　 　．
12．（2026九上·深圳月考）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为　 　．
13．（2026九上·深圳月考）将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点，落在斜边上，若小正方形的边长为，则的长为　 　．
三、解答题（共7小题）
14．（2026九上·深圳月考）解方程
（1）；
（2）．
15．（2026九上·深圳月考）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为；
（3）已知的面积为2.5，则的面积为_______．
16．（2026九上·深圳月考）如图，矩形的对角线相交于点，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
17．（2026九上·深圳月考）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
18．（2026九上·深圳月考）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若每个零件在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？
19．（2026九上·深圳月考）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）_____，消毒效果最高效力是_____；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
20．（2026九上·深圳月考）如图，在中，为的中线．点P从点A出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向点B运动，过点P作交折线于点Q．当点P不与点D重合时，作点P关于点D的对称点M，连结，以为邻边构造，设点P的运动时间为t秒．
（1）边的长为　 　；
（2）连结，则线段长度的最小值是　 　；
（3）作直线，当直线垂直于的一条边时，求t的值；
（4）当或与相似，且直线恰好将其面积平分时，请直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：卷纸的主视图应是：
，
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直，这是正方形的基本性质，A正确；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，B正确；
C、对角线相等的平行四边形才是矩形，仅 “对角线相等” 这一条件不足以判定一个四边形是矩形（例如等腰梯形的对角线也相等），C错误；
D、菱形的四条边相等，这是菱形的定义，D正确；
故答案为：C。
【分析】根据特殊四边形的判定定理，逐一验证选项，C忽略了 “平行四边形” 这一前提，仅 “对角线相等” 不能判定为矩形。
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】已知 ，我们可以用两种方法求解：
方法一：等比性质
因为 ，且 ，根据等比性质可得：
方法二：代入消元
由 ，得 ；
由 ，得 。
将和代入：
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是等比性质的应用：当两个比相等时，它们的前项之和与后项之和的比，仍等于原来的比值（后项之和不为0）。
也可以通过“设比例系数”的方法，把和都用和表示出来，再代入分式化简求值。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：第一周票房为亿元，增长率为，
第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，
三周累计票房达亿元，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意， 第一周票房约亿元， 设增长率为，表示出第二周、第三周的票房收入，由三周后票房收入累计达约亿元， 列出关于x的一元二次方程即可.
5．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：已知条件盒子里共有 20 张贺卡，通过大量重复试验，抽到 “元旦” 主题贺卡的频率稳定在 25%。当试验次数很大时，频率可以近似地看作概率。因此，我们可以认为抽到 “元旦” 主题贺卡的概率就是 25%。
“元旦” 主题贺卡的数量 = 总贺卡数 × 抽到 “元旦” 主题贺卡的概率代入数据计算：20 × 25% = 20 × 0.25 = 5（张）
故答案为：C。
【分析】题目中提到 “大量重复试验后频率稳定在 25%”，根据概率的统计定义，我们可以用这个稳定的频率来估计概率，即抽到 “元旦” 主题贺卡的概率约为 25%。用总贺卡数 20 乘以这个概率 25%，即可估算出 “元旦” 主题贺卡的数量为 5 张。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于反比例函数 ，因为任何实数的平方 ，所以 ，即系数 。
当 时，反比例函数的图象位于第一、三象限，并且在每个象限内，随的增大而减小。
点 的横坐标为，该点在第三象限，因此 。
点 和 的横坐标 ，，这两个点在第一象限，因此 ，。
在第一象限内， 随 的增大而减小。因为 ，所以 。
因为 ，而 ，所以最终大小关系为 。
故答案为：B。
【分析】首先，确定反比例函数 的系数 恒为正数，所以函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小。接着，判断各点所在象限：点 在第三象限，所以 ；点 和 在第一象限，所以 ，。最后，在第一象限内，因为 ，根据函数单调性可得 。综合所有信息，得出 。
7．【答案】C
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】在网格中，小正方形边长为1。
根据勾股定理：，，，
因为 ，所以△ABC是直角三角形，直角在C点。
两条直角边的长度比为：
A、D、观察图形，它们不是直角三角形，直接排除。
B、该三角形是直角三角形，但两条直角边的长度比为2：3，不等于1：2，排除。
C、该三角形是直角三角形，两条直角边的长度分别为2和4，比为。
该比例与△ABC的直角边比例完全一致，因此两个三角形相似。
故答案为：C。
【分析】先用勾股定理算出△ABC三边的长度，再用勾股定理逆定理，确认△ABC是直角三角形，并得出两条直角边的比例为1：2，比较选项时先排除非直角三角形的选项，再检查剩余直角三角形的直角边比例，找到比例同样为1：2的选项即可。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：因为，，所以点的纵坐标为。
点在反比例函数的图象上，将代入：
所以点的坐标为，即。
在中，，，因此：
进而：
设与轴交于点，由，得，故：
代入，，：
阴影部分为梯形，上底，下底，高，面积为：
故答案为：C。
【分析】先利用反比例函数解析式和直角三角形的边长，确定关键点的坐标，进而求出的长度。解，得到的长度，从而算出的长度。通过，证明，利用相似比求出的长度。最后将阴影部分识别为梯形，代入梯形面积公式计算结果。
9．【答案】中心
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投影．
故答案为：中心。
【分析】先辨类型：投影分为平行投影和中心投影，然后看光线：灯光的光线是从一点发出的，呈放射状，属于中心投影；而太阳光等平行光线形成的是平行投影，最后得出结论：“凿壁借光” 中的灯光是点光源，因此影子属于中心投影。
10．【答案】75
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应中线之比是，
∴它们的面积比是，
设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是，
∴，
解得，
∴较大三角形的面积是，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形对应中线之比等于相似比，得出相似比为 2：5。依据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到面积比为 4：25。设较小三角形面积为 4x cm2，较大三角形面积为 25x cm2，根据面积差列方程 25x 4x=63。解方程求出 x，再计算出较大三角形的面积。
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设，则，为的黄金分割点（），，，，解得，（不舍题意舍去），的长度为．
故答案为：．
【分析】 根据黄金分割比，先求出较长线段 AP 的长度，再用总长度 AB 减去 AP，即可得到较短线段 BP 的长度。
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接，
∵轴，
，
∴，
，
∵反比例函数在第二象限，
∴，
，
故答案为：．
【分析】先连接OA，利用AB∥y轴，推出△ABC与△ABO同底等高，因此面积相等，即。然后根据反比例函数的几何意义，，代入面积得，解得。由图象在第二象限，可知，因此。
13．【答案】7
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
。
【分析】设未知数，用小相似求AG：设 ，利用 得出 ，根据相似比 ，解得 。由展开图可知 ，所以 。利用 得出 ，根据相似比 ，代入 、、，解得 。
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）采用配方法，先移项将常数项移到右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式 ，最后开方求解，得到两个根 和 。
（2）采用公式法，先确定方程中 ，，，计算判别式 ，再代入求根公式 ，解得 和 。
（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，，
∴，．
15．【答案】（1）解：如图所示，点为所作；
（2）解：如图所示，为所作；
（3）10
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与的位似比为，
∴，
∵的面积为2.5，
∴，
故答案为：10．
【分析】(1) 找位似中心：连接两组对应顶点 与 、 与 ，延长连线，交点即为位似中心 。
(2) 作位似图形：以原点 为位似中心，将 各顶点坐标乘以 （位似比 ，第三象限），得到对应点后顺次连接。
(3) 求面积：位似比为 ，面积比为位似比的平方 ，因此 的面积为 。
（1）解：如图所示，点为所作；
（2）解：如图所示，为所作；
（3）解：∵与的位似比为，
∴，
∵的面积为2.5，
∴，
故答案为：10．
16．【答案】（1）解：证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
在菱形中，
∴均为等边三角形，
∴，
如图，作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴△EBC的面积
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由 、 得平行四边形OCED，再由矩形对角线相等且平分得 ，故OCED是菱形。
(2)由 得△OCD为等边三角形，，。
结合菱形性质，作 延长线于F，得高 ，代入面积公式得 。
（1）解：证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
在菱形中，
∴均为等边三角形，
∴，
如图，作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴△EBC的面积
17．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
【分析】(1) 总共有4个小球，标有数字1的小球只有1个，所以摸出标有数字1的小球的概率为 。
(2) 用列表法列出所有等可能的结果：
总共有 种等可能的结果。其中甲、乙两队赛道相邻的结果有：(1，2)、(2，1)、(2，3)、(3，2)、(3，4)、(4，3)，共6种。因此，甲、乙两队赛道相邻的概率为 。
（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
18．【答案】【解答】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为
根据题意，得，
解得，不符合题意，舍去
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为；
（2）设该零件的实际售价应定为每个y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
要尽可能让车企得到实惠，
∴．
答：该零件的实际售价应定为每个50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先设未知数：设月平均增长率为 。然后列方程：根据4月产量100个、6月产量144个，列出方程 。解得 （即20%），舍去负根。
（2）先设未知数：设实际售价为 元/个。然后表示利润与销量：单个利润为 元，月销量为 个。接着列方程：根据总利润10000元，列出方程 。解得 或 ，为让车企得到实惠，选择较低售价 。
19．【答案】（1），
（2）解：当时，设与之间的函数关系式为，
把代入，得，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
∴持续时长为，
∴本次消毒有效．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴消毒效果最高效力是，
故答案为：，；
【分析】(1) 将点B(10， 3)代入一次函数 ，解得 ；再将 代入，得最高效力 。
(2) 当 时，设反比例函数为 ，代入点C(30， 6)，得 ，故函数式为 。
(3) 分别将 代入两段函数：在BC段：，解得 ；在CD段：，解得 。持续时长为 ，因此本次消毒有效。
（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴消毒效果最高效力是，
故答案为：，；
（2）解：当时，设与之间的函数关系式为，
把代入，得，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
∴持续时长为，
∴本次消毒有效．
20．【答案】（1）12
（2）9
（3）解：当时，如图，
为斜边上的中线，
．
．
，
．
，即．
．
．
，
．
，即．
．
由题意得，解得．
当时，如图，
，，
．
．
，即．
由题意得，解得．
当时，此时点P与点D重合，不能构造；
综上，t的值为或．
（4）或
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解∶
．
故答案为∶。
（2）解：当点Q在线段上时，如图，连接，
四边形是平行四边形，
、互相平分，即经过的中点D．
．
当时，最小，此时最小．
，
．
．
．
的最小值．
故答案为∶9。
（4）解：当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点K，
则点K为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，
．
．
，解得．
当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点T，
则点T为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，解得．
综上，t的值为或．
【分析】（1）直接在Rt△ABC中，用勾股定理 。
（2）根据平行四边形性质，NQ与PM相关，而PM的长度由点P的对称关系决定。结合几何位置分析，当NQ⊥某条关键线段时取得最小值，最终得NQ最小为9。
（3）分三种情况讨论：
DN⊥DC：利用△CQD∽△ABC求出CQ，再通过△AQP∽△ABC求出AP，从而得。
DN⊥AC：利用等腰三角形性质得AQ=6，再通过△AQP∽△ABC求出AP，得。
DN⊥AD：此时P与D重合，不符合题意，舍去。
（4）分△APQ和△BPQ两种情况讨论：
平分△APQ面积：直线PN过AQ中点，结合平行四边形性质推出AP=5，得。
平分△BPQ面积：直线PN过BQ中点，推出AP=10，得。
（1）解∶
．
故答案为∶．
（2）解：当点Q在线段上时，如图，连接，
四边形是平行四边形，
、互相平分，即经过的中点D．
．
当时，最小，此时最小．
，
．
．
．
的最小值．
故答案为∶9．
（3）解：当时，如图，
为斜边上的中线，
．
．
，
．
，即．
．
．
，
．
，即．
．
由题意得，解得．
当时，如图，
，，
．
．
，即．
由题意得，解得．
当时，此时点P与点D重合，不能构造；
综上，t的值为或．
（4）解：当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点K，
则点K为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，
．
．
，解得．
当直线恰好将的面积平分时，如图，设直线交于点T，
则点T为的中点，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
，解得．
综上，t的值为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑