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秘密★启用前〔考试时间：2026 年 4 月 14 日下午 15：00—17：00〕
乐山市高中 2023 级第二次调查研究考试
数学
（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 与 的积是实数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义平面斜坐标系 ，记 ， ， 分别为 x 轴、y 轴正方向上的单位向量．若
，则称 为 P 的斜坐标已知 A，B 的斜坐标分别为 ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
6．在 中， ， ， ，则 的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
7．在 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A． B． C． D．
8．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码放在
天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在
天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则（ ）
A．公比 B．数列 是单调递减数列
C． D．
10．某水果店店长记录了过去 30 天苹果的日销售量数据（单位： ）：
销量
频数 1 0 4 11 8 4 2
店长假设日销售量 X 近似服从正态分布 ， ，
，根据上述数据，下列说法正确的有（ ）
A．可以估计 约为
B．日销售量在 范围内的天数约为 20 天
C．若日销售量超过 的概率为 p，则
D．若未来连续 3 天的日销售量都超过 ，则说明日销售量不服从正态分布
11．已知函数 两相邻对称中心的距离为 4， ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的对称中心为
C．若 有两个零点 ， ，则
D．当 其中一个零点 时， 最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．点 在抛物线 上，F 是抛物线的焦点，则 _____________．
13．已知函数 在区间 上的最小值为 3，则 _____________．
14．已知正方体 ，O 为 的中心，M 为 的中点，过 O、M 两点的平面将正方体
分为两部分，记两部分的体积分别为 ， ，则 的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
15．（13 分）已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
16．（15 分）已知 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， 在 最大值为 10，最小值为 0，求此时 a，b 的值．
17．（15 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，且底面 是等腰梯形， ，
， ．
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）若平面 平面 ，求 n 与 所成角的余弦值．
18．（17 分）2026 年马年春晚《武 》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场
人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为 0.6，少年武者获胜的概率为 0.4，且每局胜负相互独
立．比赛采用 局 胜制（即先赢得 局者获胜）．
（1）当 时，记结束比赛时的局数为 X，求 X 的分布列和数学期望 ；
（2）设在该赛制下机器人获胜的概率为 ．
①求 和 的值，并比较它们的大小，据此说明 和 哪种赛制对机器人更有利；
②随着 k 的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
19．（17 分）已知椭圆 的中心为 O，离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）直线 ， 与 y 轴交于点 P，过点 P 的直线 l 与 C 分别交于点 A，B，椭圆的下焦点为 F，直线
， 分别交直线 于点 M，N，记直线 l， ， 的斜率分别为 k， ， ．
①若 ，探究 是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；
②若 ，使得 O，F，M，N 四点共圆，求 k 的取值范围．

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