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河北邯郸市磁县第一中学等校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．＝（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
3．已知平面向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．在中，，且的面积为5，则角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．在钝角三角形中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
6．为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（ ）
A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米
7．已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知的内角所对的边分别为，若，若与相交于点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．为实数 D．的虚部为
10．如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知的三个内角的对边分别为，且.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．周长的最大值为
C．的最大值为
D．的取值范围为
三、填空题
12．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________.
13．已知非零向量满足，且在向量方向上的投影向量为，则的夹角为__________.
14．记的内角的对边分别为，若，则____.
四、解答题
15．已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限.
(1)求的值；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
16．已知.
(1)若，且，求的值；
(2)若，且，求的坐标.
17．在中，角的对边分别为，且的面积为
(1)求角的大小；
(2)若是的一条中线，求线段的长.
18．在中，角的对边分别为，且，．
(1)求；
(2)若边上的高为，求的周长．
19．如图所示，直线与的边分别相交于点，在中,内角所对的边分别为.
(1)若.
（i）求证：；
（ii）求和；
(2)若，求证：.
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．C
5．A
6．D
7．B
8．C
9．BD
10．AB
11．AC
12．2
13．/
14．
15．解：由复数且，
可得，即，解得，
又由在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，故有.
（2）解：由复数对应的向量分别是，可得，
则且，
因为为与的夹角，可得，
又因为，所以.
16．（1）已知，解得，.
由，代入坐标得：，
则，解得：；
（2）设（为实数），
由，可得：
解得，即或，
所以或.
17．（1）由题意，可得的面积，
所以，所以，
又，所以.
（2）为的中点，则，又，，
所以，
故，即线段的长度为.
18．（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
即，
又因为，所以，即，
因为，所以，即，所以，．
由正弦定理得：，
又因为，所以，即，
所以.
（2）因为边上的高为，所以有，
所以，即，
再由余弦定理得：，所以，
化简得：，又因为，解得，
所以，
则的周长为：．
19（1）（i）由知，
所以.
又所以，
所以，即，
所以.
（ii）由（i）知.
由可得.
（2）由正弦定理得(为外接圆半径)，
所以.
因为，所以，
在中，由正弦定理得,
所以.
所以因为，所以，
所以
，从而得证.

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