资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年昆山市七下期中数学复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）剪纸是民间传统艺术，一把剪刀、一张红纸，便能剪出花鸟、福字与窗花．纹样或对称灵动，或随意别致，承载着美好祝愿，尽显指尖匠心与民俗韵味．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）4＝a6 B．a2 b2＝（ab）2
C．a2 b4＝a8 D．a2+b2＝（a+b）2
3．（3分）若（y+4）（y﹣3）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝1，n＝﹣12 B．m＝7，n＝12 C．m＝1，n＝12 D．m＝7，n＝﹣12
4．（3分）如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
5．（3分）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　）
A．13 B．5 C．8 D．26
6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠B为（　　）
A．75° B．55° C．40° D．70°
7．（3分）如图，将△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝20，平移距离为8，则阴影部分的面积为（　　）
A．35 B．40 C．56 D．64
8．（3分）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（　　）
A．128 B．256 C．512 D．1024
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）人形机器人的发展是科学技术进步的结果，某款人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.00000016米，将0.00000016用科学记数法表示为　 　 ．
10．（3分）计算（5x3y4）2的结果为　 　 ．
11．（3分）若2x﹣5y+3＝0，则4x÷32y＝　 　 ．
12．（3分）已知a＝255，b＝344，c＝433，把a，b，c从小到大排列　 　 ．（用“＜”连接）
13．（3分）若9x2+（k﹣1）xy+4y2是关于x，y的完全平方式，则常数k的值是　 　 ．
14．（3分）如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，连结AD，若BF＝7cm，CE＝1cm，则AD＝ 　 　 cm．
15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝28°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F所在直线与AB垂直时，∠AEF的度数是　 　 ．
16．（3分）一副直角三角板如图（1）摆放在直线MN上，（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），如图（2）保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），此时t等于　 　 （写出所有可能的t的值）．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）5002﹣499×501（用简便方法计算）．
18．（6分）计算：
（1）（﹣3a2b）2 （﹣a2c3）3；
（2）（m+2）（2m﹣3）．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝﹣1．
20．（7分）已知n为正整数，且x2n＝3．
（1）求xn﹣3 x3（n+1）的值；
（2）求9 （x3n）2﹣13 （x2）2n的值．
21．（7分）定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b．如：3 32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求22 23的值．
（2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p 2q的值．
22．（8分）如图，某校园内有一块长为（4a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化．
（1）用含a，b的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）．
（2）当a＝5，b＝4时，求绿化部分的面积．
23．（8分）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知△ABC，△DEF的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上．
（1）请画出△ABC向上平移5个单位后的△A1B1C1；
（2）请画出△D1E1F1，使它与△DEF关于直线l对称；
（3）请在直线l上画出一点P，使得线段PC，PE的长度和最小．
24．（6分）如图，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在如图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴．
25．（8分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
26．（10分）如图1是长为m，宽为n的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2的“回形”正方形ABCD和正方形EFGH．
【观察发现】
（1）①请用两种不同的方法表示正方形EFGH的面积：
方法1：；
方法2：S正方形EFGH＝　 　 ；
②根据①中的结论，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，m之间的等量关系式为：　 　 ；
【结论应用】
（2）已知2a+3b＝5，ab＝﹣1，求2a﹣3b的值；
【变式拓展】
（3）将正方形MNPQ，正方形ORST按如图3的方式摆放（点P与点O重合，点T在PQ上），若两个正方形的面积之和为850，边长之差为10，求图中阴影部分的面积．
27．（10分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P．
（1）【问题解决】
若∠NMA＝35°，求∠CPM的度数．
（2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若∠CPM＝78°，求∠1和∠2的度数．
②【深入探究】若∠2＝m（∠1+5°），请直接写出∠CPM的度数（用含m的代数式表示）．
2025-2026学年昆山市七下期中数学复习试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C A D D C
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）剪纸是民间传统艺术，一把剪刀、一张红纸，便能剪出花鸟、福字与窗花．纹样或对称灵动，或随意别致，承载着美好祝愿，尽显指尖匠心与民俗韵味．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，中心对称图形沿着某点旋转180°后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）4＝a6 B．a2 b2＝（ab）2
C．a2 b4＝a8 D．a2+b2＝（a+b）2
【分析】利用幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方法则和完全平方公式逐一判断选项即可得出答案．
【解答】解：根据幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方法则和完全平方公式逐项分析判断如下；
A．（a2）4＝a8≠a6，故该选项计算错误，不符合题意，
B．a2 b2＝（ab）2，故该选项计算正确，符合题意，
C．a2 b4是不同底数的幂相乘，不能合并，不等于a8，故该选项计算错误，不符合题意，
D．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2≠（a+b）2，故该选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）若（y+4）（y﹣3）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝1，n＝﹣12 B．m＝7，n＝12 C．m＝1，n＝12 D．m＝7，n＝﹣12
【分析】将（y+4）（y﹣3）利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项后即可求得答案．
【解答】解：（y+4）（y﹣3）
＝y2﹣3y+4y﹣12
＝y2+y﹣12
＝y2+my+n，
则m＝1，n＝﹣12，
故选：A．
4．（3分）如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a﹣b）2，
图2中阴影部分的面积a2﹣2ab+b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　）
A．13 B．5 C．8 D．26
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到BD＝CD，进而推出△ABD的周长是AB+AC，计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长是AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13．
故选：A．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠B为（　　）
A．75° B．55° C．40° D．70°
【分析】先根据旋转性质得到AB＝AD和∠BAD＝40°，从而判定△ABD为等腰三角形；再利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和定理，直接计算出∠B的度数．
【解答】解：由旋转可知：AB＝AD，∠BAD＝40°．
∴△ABD为等腰三角形．
在等腰△ABD中，∠B＝∠ADB．
∴，
故选：D．
7．（3分）如图，将△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝20，平移距离为8，则阴影部分的面积为（　　）
A．35 B．40 C．56 D．64
【分析】由平移的性质可得DE＝AB＝10，EF＝BC＝20，BE＝8，则HE＝DE﹣DH＝6，EC＝BC﹣BE＝12，再根据S阴影＝S△DEF﹣S△HCE进行求解即可．
【解答】解：由平移的性质可得DE＝AB＝10，EF＝BC＝20，BE＝8，
∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，EC＝BC﹣BE＝20﹣8＝12，
∴S阴影＝S△DEF﹣S△HCE
＝100﹣36
＝64，
即阴影部分的面积为64
故选：D．
8．（3分）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（　　）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【分析】由特殊情况，可以总结出一般规律．
【解答】解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝20．
当n＝1时展开式所有系数的和为2＝21．
当n＝2时展开式所有系数的和为22．
当n＝3时展开式所有系数的和为8＝23．
当n＝4时展开式所有系数的和为16＝24．
当n＝5时展开式所有系数的和为32＝25．
……
∴当n＝9时展开式所有系数的和为29＝512．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）人形机器人的发展是科学技术进步的结果，某款人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.00000016米，将0.00000016用科学记数法表示为　1.6×10﹣7 ．
【分析】根据科学记数法的表示方法进行判断．
【解答】解：将0.00000016用科学记数法表示为：1.6×10﹣7．
故答案为：1.6×10﹣7．
10．（3分）计算（5x3y4）2的结果为　25x6y8 ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝52 （x3）2 （y4）2＝25x6y8．
故答案为：25x6y8．
11．（3分）若2x﹣5y+3＝0，则4x÷32y＝　　 ．
【分析】根据题意先将4x÷32y整理，再利用同底数幂相除得4x÷32y＝22x÷25y＝22x﹣5y，再利用条件即可得到本题答案．
【解答】解：∵4x÷32y＝22x÷25y＝22x﹣5y，
∴2x﹣5y＝﹣3，
∴，
故答案为：．
12．（3分）已知a＝255，b＝344，c＝433，把a，b，c从小到大排列a＜c＜b ．（用“＜”连接）
【分析】首先利用幂的性质将原式都变为指数相同的数，进而比较底数即可．
【解答】解：根据幂的性质将原式都变为指数相同的数可得：
a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝（34）11＝8111，
c＝433＝（43）11＝6411，
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
13．（3分）若9x2+（k﹣1）xy+4y2是关于x，y的完全平方式，则常数k的值是　﹣11或13　 ．
【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵9x2+（k﹣1）xy+4y2是关于x，y的完全平方式，
∴k﹣1＝±2×3×2＝±12，
∴k＝﹣11或k＝13，
故答案为：﹣11或13．
14．（3分）如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，连结AD，若BF＝7cm，CE＝1cm，则AD＝ 　4　 cm．
【分析】根据平移的性质进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到，
所以BC＝EF，AD＝BE．
因为BF＝7cm，CE＝1cm，
所以BC＝EF，
所以BE＝BC+CE＝3+1＝4（cm），
所以AD＝BE＝4cm．
故答案为：4．
15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝28°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F所在直线与AB垂直时，∠AEF的度数是　31°或121°　 ．
【分析】分两种情况讨论，一是A′F⊥AB，且点A′与点B在直线AC的异侧，由∠B＝90°，∠A＝28°，求得∠C＝62°，可证明A′F∥BC，由∠A′FC＝∠C＝62°，则∠AFA′＝180°﹣∠A′FC＝118°，由折叠得∠A′FE＝∠AFE，则2∠AFE+118°＝360°，求得∠AFE＝121°，则∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝31°；二是A′F⊥AB，且点A′与点B在直线AC的同侧，则∠AFA′＝∠C＝62°，所以∠AFE＝∠A′FE∠AFA′＝31°，求得∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝121°，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，A′F⊥AB，且点A′与点B在直线AC的异侧，
∵△ABC中，∠B＝90°，∠A＝28°，
∴BC⊥AB，∠C＝90°﹣∠A＝62°，
∴A′F∥BC，
∴∠A′FC＝∠C＝62°，
∴∠AFA′＝180°﹣∠A′FC＝118°，
∵将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，
∴∠A′FE＝∠AFE，
∵∠A′FE+∠AFE+∠AFA′＝360°，
∴2∠AFE+118°＝360°，
∴∠AFE＝121°，
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝31°；
如图2，A′F⊥AB，且点A′与点B在直线AC的同侧，
∵A′F∥BC，
∴∠AFA′＝∠C＝62°，
∴∠AFE＝∠A′FE∠AFA′＝31°，
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝121°，
综上所述，∠AEF的度数是31°或121°，
故答案为：31°或121°．
16．（3分）一副直角三角板如图（1）摆放在直线MN上，（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），如图（2）保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），此时t等于　15或27或33　 （写出所有可能的t的值）．
【分析】分情况讨论：当AB∥DE时；当AB∥CE时；当AB∥CD时；结合图形求出∠ACE的度数，即可求出t的值．
【解答】解：∵∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
当AB∥DE时，
此时BC与CD重合，
∴∠ACE＝30°+45°＝75°，
∴t＝75°÷5°＝15s；
当AB∥CE时，
∴∠BCE＝∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°，
∴t＝135°÷5°＝27s；
当AB∥CD时，
∴∠BCD＝∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°+30°+45°＝165°，
∴t＝165°÷5°＝33s；
综上，t＝15或27或33，
故答案为：15或27或33．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）5002﹣499×501（用简便方法计算）．
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减法；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+9
＝10；
（2）5002﹣499×501
＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）
＝5002﹣（5002﹣1）
＝5002﹣5002+1
＝1．
18．（6分）计算：
（1）（﹣3a2b）2 （﹣a2c3）3；
（2）（m+2）（2m﹣3）．
【分析】（1）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式法则计算；
（2）根据多项式乘多项式法则计算．
【解答】解：（1）（﹣3a2b）2 （﹣a2c3）3
＝9a4b2 （﹣a6c9）
＝﹣9a10b2c9；
（2）（m+2）（2m﹣3）
＝2m2﹣3m+4m﹣6
＝2m2+m﹣6．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝﹣1．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x，y＝﹣1时，
原式＝12（﹣1）+10×（﹣1）2
＝﹣4+10
＝6．
20．（7分）已知n为正整数，且x2n＝3．
（1）求xn﹣3 x3（n+1）的值；
（2）求9 （x3n）2﹣13 （x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对原式进行化简；
（2）把x2n＝3代入进行计算即可．
【解答】解：（1）由条件可得：
xn﹣3 x3（n+1）＝xn﹣3 x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝32＝9；
（2）由条件可得：
9 （x3n）2﹣13 （x2）2n＝9 （x2n）3﹣13 （x2n）2＝9×33﹣13×32＝126．
21．（7分）定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b．如：3 32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求22 23的值．
（2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p 2q的值．
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）∵xa xb＝xab+xa+b，
∴22 23
＝22×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96；
（2）根据题意可知，2p 2q
＝2pq+2p+q
＝（2p）q+2p×2q
＝3q+3×4
＝9+12
＝21．
22．（8分）如图，某校园内有一块长为（4a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化．
（1）用含a，b的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）．
（2）当a＝5，b＝4时，求绿化部分的面积．
【分析】（1）根据S绿化＝S长方形﹣S正方形代入计算即可得出答案；
（2）把a＝5，b＝4代入（1）中的代数式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意得：
S绿化＝S长方形﹣S正方形
＝（4a﹣b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝8a2+4ab﹣2ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝7a2﹣2b2（平方米）；
（2）当a＝5，b＝4时，7a2﹣2b2＝7×52﹣2×42＝143（平方米）．
23．（8分）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知△ABC，△DEF的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上．
（1）请画出△ABC向上平移5个单位后的△A1B1C1；
（2）请画出△D1E1F1，使它与△DEF关于直线l对称；
（3）请在直线l上画出一点P，使得线段PC，PE的长度和最小．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）连接CE1，交直线l 于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△D1E1F1即为所求．
（3）如图，连接CE1，交直线l 于点P，连接PE，
此时PC+PE＝PC+PE1＝CE1，为最小值，
则点P即为所求．
24．（6分）如图，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在如图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴．
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：如图所示：
25．（8分）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC，
∴DC＝BD，
CE＝EB，
又∵EC＝4，
∴BE＝4，
又∵△BDC的周长＝18，
∴BD+DC＝10，
∴BD＝5；
（2）∵∠ADM＝60°，
∴∠CDN＝60°，
又∵MN垂直平分BC，
∴∠DNC＝90°，
∴∠C＝30°，
又∵∠C＝∠DBC＝30°，
∠ABD＝20°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°．
26．（10分）如图1是长为m，宽为n的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2的“回形”正方形ABCD和正方形EFGH．
【观察发现】
（1）①请用两种不同的方法表示正方形EFGH的面积：
方法1：；
方法2：S正方形EFGH＝　（m﹣n）2+4mn ；
②根据①中的结论，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，m之间的等量关系式为：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn ；
【结论应用】
（2）已知2a+3b＝5，ab＝﹣1，求2a﹣3b的值；
【变式拓展】
（3）将正方形MNPQ，正方形ORST按如图3的方式摆放（点P与点O重合，点T在PQ上），若两个正方形的面积之和为850，边长之差为10，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）①正方形EFGH的面积由4个小长方形和正方形ABCD拼成的，据此即可表示出正方形EFGH的面积；
②通过用不同方法表示的正方形EFGH的面积是相等，即可得出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系式；
（2）由（1）可得（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×（2a）×（3b），代入2a+3b＝5，ab＝﹣1，即可求出2a﹣3b的值；
（3）设正方形MNPQ边长为a，正方形ORST边长为b，由题意得：a2+b2＝850，a﹣b＝10，进而求出2ab＝750，再利用（1）的结论得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可求出
（a+b）2＝1600可得a+b＝40，最后由S阴影部分＝5a+5b即可求解．
【解答】解：（1）①∵正方形EFGH的面积由4个小长方形和正方形ABCD拼成的，
又∵正方形ABCD的边长为m﹣n，
∴，
故答案为：（m﹣n）2+4mn；
②根据①中的结论，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，m之间的等量关系式为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．
故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（2）由（1）可得：（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×（2a）×（3b），即（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+24ab，
∵ab＝﹣1，2a+3b＝5，
∴52＝（2a﹣3b）2+24×（﹣1），
∴（2a﹣3b）2＝25+24＝49，
∴2a﹣3b＝7或﹣7；
（3）设正方形ORST边长为b，正方形MNPQ边长为a，
由题意得：a2+b2＝850，a﹣b＝10，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝100，
∴2ab＝850﹣100＝750，
由（1）得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝100+2×750＝1600，
∴a+b＝40或a+b＝﹣40（舍去），
∵QT＝PQ﹣PT，
∴QT＝a﹣b＝10，
∵，，
∴S阴影部分＝5a+5b＝5×40＝200．
27．（10分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P．
（1）【问题解决】
若∠NMA＝35°，求∠CPM的度数．
（2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若∠CPM＝78°，求∠1和∠2的度数．
②【深入探究】若∠2＝m（∠1+5°），请直接写出∠CPM的度数（用含m的代数式表示）．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠NMA＝∠NME＝35°，求得∠AME＝70°，根据矩形的性质得到AB∥CD，得到∠CPM＝∠AME＝70°；
（2）①根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠CPM＝∠AME＝78°，∠CPM+∠BMP＝180°，∠1＝∠AMN，求得∠BMP＝180°﹣∠CPM＝180°﹣78°＝102°，根据折叠的性质即可得到结论；
②根据上述过程可得：∠AMP＝2∠1＝∠CPM，求得∠2＝180°﹣4∠1，得到m（∠1+5°）＝180°﹣4∠1，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，
∴∠NMA＝∠NME＝35°，
∴∠AME＝70°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠CPM＝∠AME＝70°；
（2）①∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠CPM＝∠AME＝78°，∠CPM+∠BMP＝180°，∠1＝∠AMN，
∴∠BMP＝180°﹣∠CPM＝180°﹣78°＝102°，
∵继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，
∴∠1＝∠AMN∠AME＝39°，∠BMP＝∠GMP＝102°，
∵∠2+∠AMP＝∠GMP，
∴∠2＝∠GMP﹣∠AME＝102°﹣78°＝24°；
②根据上述过程可得：∠AMP＝2∠1＝∠CPM，
∠2＝∠GMP﹣∠AMP
＝∠BMP﹣∠CPM
＝180°﹣∠CPM﹣∠CPM
＝180°﹣2∠1﹣2∠1
＝180°﹣4∠1，
∵∠2＝m（∠1+5°），
∴m（∠1+5°）＝180°﹣4∠1，
解得∠1，
∴∠CPM＝2∠1．

展开更多......

收起↑