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浙江省杭绍精准模拟(萧余临绍兴等地部分学校)2026年4月数学中考模拟试题
1．（2026·浙江模拟） - 2026的相反数是(　　)
A．- 2026 B．2026 C．±2026 D．
2．（2026·浙江模拟）一个不透明的袋子里装有3个除颜色外其他都相同的小球，分别标有数字 1，2，3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是(　　)
A． B． C． D．
3．（2026·浙江模拟）由4个小正方体组成的图形如图所示，则其左视图是(　　)
A． B．
C． D．
4．（2026·浙江模拟）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　)
A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
5．（2026·浙江模拟）下列图形中，一定是相似图形的是(　　)
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形
6．（2026·浙江模拟）二次函数 的图象平移后经过点(1，5)，下列平移方式正确的是(　　)
A．向右平移1个单位，向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移2个单位，向上平移1个单位
7．（2026·浙江模拟）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A 是风车中心，其中一个叶片中AD∥BC，CD⊥AC， AD⊥AB，已知AB长为3cm， 则AD的长为(　　)
A．4 B．5 C． D．
8．（2026·浙江模拟）关于二次函数 下列结论错误的是(　　)
A．图象开口向下 B．最小值为-3
C．对称轴为直线x=-2 D．顶点为(-2，-3)
9．（2026·浙江模拟）如图， PA， PB是⊙O的切线， A， B为切点，连结OP， OP长为2， ∠APB=120°，则⊙O的半径为(　　)
A．1 B．2 C． D．
10．（2026·浙江模拟）某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是(　　)
A．m=3
B．n=38
C．△ABC的面积为49平方米
D．当四边形ABDE为梯形时， y=27
11．（2026·浙江模拟）因式分解 　 　.
12．（2026·浙江模拟）如图， AB 是⊙O的直径， CD 是⊙O的弦，若∠ABD=60°，则∠BCD=　 　°.
13．（2026·浙江模拟）已知弧的长为4πcm，该弧所在圆的半径为8cm，则该弧的度数为　 　°.
14．（2026·浙江模拟）如图，在△ABC中， DE∥BC，若DE=4， BC=6， △ABC的面积为9，则△ADE的面积为　 　.
15．（2026·浙江模拟）如图，在△ABC中， AD=2CD， CF=2BF，则 的值为　 　.
16．（2026·浙江模拟）如图，在矩形 MNPQ内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD 是原立方体的一个面，点E，F，G是原立方体的顶点，展开后点A，E，F，G均在矩形 MNPQ的边上，若点C， D， Q在同一直线上，则tan∠AEM 的值是　 　.
17．（2026·浙江模拟）（1）求线段a，b的比例中项线段.
（2）计算：
18．（2026·浙江模拟）如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
19．（2026·浙江模拟）如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，直线EF分别交 DA， BC的延长线于点E， F，分别交AB， BD， DC于点 G， H， I，已知EG=GH=HI=IF，求 的值.
20．（2026·浙江模拟）某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-3x+120(20（1）求日销售利润w与销售单价x之间的函数关系式.
（2）销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少元
21．（2026·浙江模拟）为更好地迎接体育中考，某校对九年级部分学生进行了跳跃类立定跳远项目模拟测试，成绩(单位：m)分为ABCD四个等级(每组数据包含前一个，不包含后一个)，随机抽取若干名学生的测试成绩，绘制成如下统计图：
等次 男生 女生
A：优秀(满分) 2.46及以上 1.97 及以上
B：良好 2.30~2.46 1.81~1.97
C：及格 2.14~2.30 1.65~1.81
D：不及格 2.14 以下 1.65 以下
（1）本次一共抽取了多少名学生的测试成绩
（2）该校九年级共有700名学生，男生与女生人数比为3∶4，请估计该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男女生人数.
22．（2026·浙江模拟）如图， △ABC是等边三角形， D为BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连结 DE交AB 于点 F.
（1）求证： △ACD∽△DBF.
（2）若AB=8， AD=7，求 DF的值.
23．（2026·浙江模拟）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.
设抛物线的表达式为
x …… 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 ……
y …… 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 ……
（1）【建立模型】求出抛物线的函数表达式.
（2）【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.
（3）【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.
24．（2026·浙江模拟）如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.
（1）求证： ∠BAC=∠ECF.
（2）若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是．
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中共有3个小球，随机摸出一个小球的所有等可能性的结果总数为3，其中标号为偶数的小球只有1个，即摸到偶数的结果数为1，
∴摸到偶数的概率为．
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可．
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的特征可知，左视图为：
．
故答案为：A.
【分析】根据从左面看到的视图是左视图解答即可.
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点，
∴OP5，
又∵⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，即点P到圆心O的距离，再与的⊙O的半径比较：若OP>r，则点P在⊙O外；若OP=r，则点P在⊙O上；若OP5．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：解：A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求；
B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求；
C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求；
D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求．
故答案为：D.
【分析】根据“形状星通的两个图形是相似形”逐项判断解答即可．
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
B：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
C：平移后解析式为，当时，，符合题意；
D：平移后解析式为，当时，，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”解答即可．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】利用正切的定义求出的长，根据勾股定理求出的长度，再根据平行线的性质和正切的定义求出CD长，利用勾股定理解答即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，故A正确；
∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可．
9．【答案】C
【知识点】切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，，，
在中，．
故答案为：C.
【分析】由切切线长定理得到，，使然后根据正弦的定义解答即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意，当时，，
∴的面积为平方米，故C错误；
由题意可知，，，，
如图，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为，
∴，故B正确；
对于D：∵的最小值为，故D错误．
【分析】根据x=0时y=48，可得的面积为平方米，判断C选项；由题意可知，，，作于点，根据正切的定义和三线合一可得，，然后根据的面积求出AB长，求出a的值判断A选项；作于点，根据平行得到，求出，即可得到，得到最低点坐标判断B选项，D选项解答即可．
11．【答案】（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： （x﹣1）2.
故答案为：（x﹣1）2.
【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=（a-b）2”可求解.
12．【答案】30
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故答案为：30.
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据角的和差解答即可．
13．【答案】90
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设弧的度数为，
由弧长公式可得，，
∴，
解得．
故答案为：90.
【分析】设弧的度数为，根据弧长公式解答即可．
14．【答案】4
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平行线可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
15．【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作的平行线，交于点，设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点作的平行线，交于点，设，根据DE∥BC可得，即可得到，求出，同理可得，根据对应边成比例解答即可．
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点作于点，设，小正方形的边长为1，先得到四边形是矩形，根据等角的余角相等得到，然后根据正切的定义求出，然后根据三角形的内角和定理得到，再根据正切的定义解答即可．
17．【答案】（1）解：设线段a，b的比例中项线段为c，
∵c是a，b的比例中项，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴线段a，b的比例中项线段为．

（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；比例中项；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义解答即可；
（2）先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，计算零指数次幂，然后加减解答即可．
18．【答案】（1）解：如图，点和点即为所求，
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点；
（2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
19．【答案】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】根据AAS得到，即可得到，再根据平行可得，根据对应边成比例得到，然后计算即可.
20．【答案】（1）解：．
（2）解：，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”列函数解析式解答即可；
（2）将二次函数配方得到顶点式，根据二次函数的性质求出最值解答即可．
21．【答案】（1）解：（名），
答：本次一共抽取了100名学生的测试成绩．
（2）解：男生优秀人数（人）
女生优秀人数（人）．
答：该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男生75人，女生100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用D等级的人数除以它的占比求出考查的人数即可；
（2）分别求出男、女生的优秀率，然后分别乘以男、女生的人数解答即可．
22．【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得．

【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，即可得到，进而得到，推理得到，根据两角对应相等得到两三角形相似；
（2）过点作于点．根据等边三角形的性质和勾股定理求出AH和DH长，即可得到，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
23．【答案】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
结合表格可知，顶点坐标为，
∴，，，
将点代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；
（3）解：根据题意，改进后，，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去）．
∵，
又∵，
∴，
∴．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．
【知识点】无理数的估值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据表格中数据和求出对称轴和顶点坐标，然后根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可得最高点坐标，令，求出x的值解答即可；
（3）先得到新的函数表达式，再令，求出x的值，利用无理数的估算比较解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于半圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即半圆的半径为；
②如图，作点关于直线的对称点，作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴点在上，
由对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
在中，，，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴的最小值是．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）①连接，根据勾股定理求出AD长，再根据切线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例计求出的值解答即可；
②作点关于直线的对称点，作于点，根据等边对等角和平行线的性质可得，则点在上，可知，当、、三点共线时，取到得最小值．然后解直角三角形求出AH，O'H长，再根据勾股定理求出最小值即可．
1 / 1浙江省杭绍精准模拟(萧余临绍兴等地部分学校)2026年4月数学中考模拟试题
1．（2026·浙江模拟） - 2026的相反数是(　　)
A．- 2026 B．2026 C．±2026 D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是．
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．（2026·浙江模拟）一个不透明的袋子里装有3个除颜色外其他都相同的小球，分别标有数字 1，2，3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中共有3个小球，随机摸出一个小球的所有等可能性的结果总数为3，其中标号为偶数的小球只有1个，即摸到偶数的结果数为1，
∴摸到偶数的概率为．
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可．
3．（2026·浙江模拟）由4个小正方体组成的图形如图所示，则其左视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的特征可知，左视图为：
．
故答案为：A.
【分析】根据从左面看到的视图是左视图解答即可.
4．（2026·浙江模拟）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　)
A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点，
∴OP5，
又∵⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，即点P到圆心O的距离，再与的⊙O的半径比较：若OP>r，则点P在⊙O外；若OP=r，则点P在⊙O上；若OP5．（2026·浙江模拟）下列图形中，一定是相似图形的是(　　)
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：解：A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求；
B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求；
C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求；
D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求．
故答案为：D.
【分析】根据“形状星通的两个图形是相似形”逐项判断解答即可．
6．（2026·浙江模拟）二次函数 的图象平移后经过点(1，5)，下列平移方式正确的是(　　)
A．向右平移1个单位，向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
B：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
C：平移后解析式为，当时，，符合题意；
D：平移后解析式为，当时，，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”解答即可．
7．（2026·浙江模拟）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A 是风车中心，其中一个叶片中AD∥BC，CD⊥AC， AD⊥AB，已知AB长为3cm， 则AD的长为(　　)
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】利用正切的定义求出的长，根据勾股定理求出的长度，再根据平行线的性质和正切的定义求出CD长，利用勾股定理解答即可．
8．（2026·浙江模拟）关于二次函数 下列结论错误的是(　　)
A．图象开口向下 B．最小值为-3
C．对称轴为直线x=-2 D．顶点为(-2，-3)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，故A正确；
∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可．
9．（2026·浙江模拟）如图， PA， PB是⊙O的切线， A， B为切点，连结OP， OP长为2， ∠APB=120°，则⊙O的半径为(　　)
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，，，
在中，．
故答案为：C.
【分析】由切切线长定理得到，，使然后根据正弦的定义解答即可．
10．（2026·浙江模拟）某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是(　　)
A．m=3
B．n=38
C．△ABC的面积为49平方米
D．当四边形ABDE为梯形时， y=27
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意，当时，，
∴的面积为平方米，故C错误；
由题意可知，，，，
如图，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为，
∴，故B正确；
对于D：∵的最小值为，故D错误．
【分析】根据x=0时y=48，可得的面积为平方米，判断C选项；由题意可知，，，作于点，根据正切的定义和三线合一可得，，然后根据的面积求出AB长，求出a的值判断A选项；作于点，根据平行得到，求出，即可得到，得到最低点坐标判断B选项，D选项解答即可．
11．（2026·浙江模拟）因式分解 　 　.
【答案】（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： （x﹣1）2.
故答案为：（x﹣1）2.
【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=（a-b）2”可求解.
12．（2026·浙江模拟）如图， AB 是⊙O的直径， CD 是⊙O的弦，若∠ABD=60°，则∠BCD=　 　°.
【答案】30
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故答案为：30.
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据角的和差解答即可．
13．（2026·浙江模拟）已知弧的长为4πcm，该弧所在圆的半径为8cm，则该弧的度数为　 　°.
【答案】90
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设弧的度数为，
由弧长公式可得，，
∴，
解得．
故答案为：90.
【分析】设弧的度数为，根据弧长公式解答即可．
14．（2026·浙江模拟）如图，在△ABC中， DE∥BC，若DE=4， BC=6， △ABC的面积为9，则△ADE的面积为　 　.
【答案】4
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平行线可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
15．（2026·浙江模拟）如图，在△ABC中， AD=2CD， CF=2BF，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作的平行线，交于点，设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点作的平行线，交于点，设，根据DE∥BC可得，即可得到，求出，同理可得，根据对应边成比例解答即可．
16．（2026·浙江模拟）如图，在矩形 MNPQ内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD 是原立方体的一个面，点E，F，G是原立方体的顶点，展开后点A，E，F，G均在矩形 MNPQ的边上，若点C， D， Q在同一直线上，则tan∠AEM 的值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点作于点，设，小正方形的边长为1，先得到四边形是矩形，根据等角的余角相等得到，然后根据正切的定义求出，然后根据三角形的内角和定理得到，再根据正切的定义解答即可．
17．（2026·浙江模拟）（1）求线段a，b的比例中项线段.
（2）计算：
【答案】（1）解：设线段a，b的比例中项线段为c，
∵c是a，b的比例中项，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴线段a，b的比例中项线段为．

（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；比例中项；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义解答即可；
（2）先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，计算零指数次幂，然后加减解答即可．
18．（2026·浙江模拟）如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，点和点即为所求，
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点；
（2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
19．（2026·浙江模拟）如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，直线EF分别交 DA， BC的延长线于点E， F，分别交AB， BD， DC于点 G， H， I，已知EG=GH=HI=IF，求 的值.
【答案】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】根据AAS得到，即可得到，再根据平行可得，根据对应边成比例得到，然后计算即可.
20．（2026·浙江模拟）某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-3x+120(20（1）求日销售利润w与销售单价x之间的函数关系式.
（2）销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：．
（2）解：，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”列函数解析式解答即可；
（2）将二次函数配方得到顶点式，根据二次函数的性质求出最值解答即可．
21．（2026·浙江模拟）为更好地迎接体育中考，某校对九年级部分学生进行了跳跃类立定跳远项目模拟测试，成绩(单位：m)分为ABCD四个等级(每组数据包含前一个，不包含后一个)，随机抽取若干名学生的测试成绩，绘制成如下统计图：
等次 男生 女生
A：优秀(满分) 2.46及以上 1.97 及以上
B：良好 2.30~2.46 1.81~1.97
C：及格 2.14~2.30 1.65~1.81
D：不及格 2.14 以下 1.65 以下
（1）本次一共抽取了多少名学生的测试成绩
（2）该校九年级共有700名学生，男生与女生人数比为3∶4，请估计该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男女生人数.
【答案】（1）解：（名），
答：本次一共抽取了100名学生的测试成绩．
（2）解：男生优秀人数（人）
女生优秀人数（人）．
答：该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男生75人，女生100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用D等级的人数除以它的占比求出考查的人数即可；
（2）分别求出男、女生的优秀率，然后分别乘以男、女生的人数解答即可．
22．（2026·浙江模拟）如图， △ABC是等边三角形， D为BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连结 DE交AB 于点 F.
（1）求证： △ACD∽△DBF.
（2）若AB=8， AD=7，求 DF的值.
【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得．

【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，即可得到，进而得到，推理得到，根据两角对应相等得到两三角形相似；
（2）过点作于点．根据等边三角形的性质和勾股定理求出AH和DH长，即可得到，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
23．（2026·浙江模拟）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.
设抛物线的表达式为
x …… 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 ……
y …… 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 ……
（1）【建立模型】求出抛物线的函数表达式.
（2）【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.
（3）【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.
【答案】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
结合表格可知，顶点坐标为，
∴，，，
将点代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；
（3）解：根据题意，改进后，，
将代入，得，
，
解得，（负值，舍去）．
∵，
又∵，
∴，
∴．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．
【知识点】无理数的估值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据表格中数据和求出对称轴和顶点坐标，然后根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可得最高点坐标，令，求出x的值解答即可；
（3）先得到新的函数表达式，再令，求出x的值，利用无理数的估算比较解答即可．
24．（2026·浙江模拟）如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.
（1）求证： ∠BAC=∠ECF.
（2）若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.
【答案】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于半圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即半圆的半径为；
②如图，作点关于直线的对称点，作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴点在上，
由对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
在中，，，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴的最小值是．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）①连接，根据勾股定理求出AD长，再根据切线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例计求出的值解答即可；
②作点关于直线的对称点，作于点，根据等边对等角和平行线的性质可得，则点在上，可知，当、、三点共线时，取到得最小值．然后解直角三角形求出AH，O'H长，再根据勾股定理求出最小值即可．
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