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23.4 实际问题与一次函数
第二十三章 一次函数
课时3 设计方案
01
巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决实际问题.
02
有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，利用一次函数设计最佳方案.
上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并作出选择，但如果方案不是指定的，需要自己制定，又该怎么做呢？
任务：利用一次函数设计最佳方案.
活动：与同学交流，解决“怎样设计租车方案？”问题.
某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题1：租车的方案有哪几种？
共三种：
（1）单独租甲种车；
（2）单独租乙种车；
（3）甲种车和乙种车都租．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆.
240÷30=8
240÷45=
问题4：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？
说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆．
问题5：在问题3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？
方法1：分类讨论——分3种情况；
方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围.
问题6：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关，如果租用甲种客车x辆，你能求出租车费用y吗？
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
(6-x)辆
x 辆
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
(1)为使240名师生有车坐，则
(2)为使租车费用不超过2300元，则
问题7：如何确定x的取值范围？
结合问题的实际意义，综合起来可得x的取值为4或5.
(6-x)辆
x 辆
也可以由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时 y 最小.
方案一：当x=4时，即租用4辆甲种客车，2辆乙种客车，
租车费用为y=120×4+1680=2160（元）
方案二：当x=5时，即租用5辆甲种客车，1辆乙种客车，
租车费用为y=120×5+1680=2280.
问题8：在上述问题的基础上，你能有几种不同的租车方案 为节省费用应选择其中的哪种方案？
∵2160＜2280，
∴选择方案一更省钱.
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
例 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示:
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
分析：可用信息：
①A、B两种型号的挖掘机共100台；
②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元；
③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出.
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产(100-x)台，
由题意知：
∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台， B型60台.
解得 37.5≤x≤40
∵x取正整数, ∴x为38、39、40
∴当x=38时，W最大=5620 （万元），
即生产A型38台，B型62台时，获得最大利润.
（2）该厂如何生产获得最大利润？
W=50x＋60（100－x）= －10x＋6000
解：设获得利润为W（万元），由题意知：
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？
③当m＞10时，取x=40，W最大，
即A型挖掘机生产40台，B型生产60台.
解：由题意知：W=(50＋m)x＋60(100－x) = (m－10)x＋6000
∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ，
即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；
②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等；
针对本节课的关键词“实际问题与一次函数”，“设计最佳方案”，说说你都学到了哪些知识？
利用一次函数设计最佳方案
根据题目要求列不等式（方程），确定变量的取值，根据变量的取值范围设计最佳方案
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型
含有多个变量时，要结合实际需求，确定变量的取值
1.某毛尖茶叶经销商销售每千克A级茶叶、B级茶叶的利润分别为100元、150元.若该经销商决定购进A,B两种茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶叶x千克，销售总利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
解：由题意可得，
y=100x+150(200-x)=50x+30000
即y与x的函数关系式为y=一50x+30000.
(2)若其中B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，请帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大.
解：∵B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，
∴200-x≤4x,解得x≥40.
∵-50<0，∴y随x增大而减小.
∴当x=40时，y取得最大值，此时200-x=160.
答：当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，销售总利润最大.
2.为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄人4600kJ热量和70g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：
解得：
答：应选用A种食品4包，B种食品2包.
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄人量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
解：设选用A种食品m包，则选用B种食品（7一m）包，
根据题意得：10m+15（7－m）≥90，解得：m≤3.
设每份午餐的总热量为w kJ，则w=700m+900（7-m），
即w=-200m+6300,
∵-200<0, ∴w随m的增大而减小,
∴当m=3时，w取得最小值，此时7-m=7-3=4.
答：应选用A种食品3包，B种食品4包.

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