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23.3 一次函数与方程（组）、不等式
第二十三章 一次函数
01
理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的关系.
02
会根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的求解问题.
是一条直线，且交点为
刚才方程的解、不等式的解集，和一次函数的交点、图像似乎有着奇妙的关联. 今天我们就换一个视角，用一次函数这条“纽带”，把方程、不等式、方程组串联起来.
问题1：我们之前学习了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的代数解法，你能解方程、解不等式
问题2：我们已经学习了一次函数的图像与性质，一次函数的图像是什么形状？它与 轴的交点坐标是什么？
任务一：理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.
活动1：请解决下列问题：
（1）你能找出下面3个方程有什么相同点和不同点吗？
①2x+1=3； ② 2x+1=0； ③2x+1=-1.
相同点： .
不同点： .
等号左边都是2x+1
等号右边的数不同，分别是3、0、-1
（2）与同学交流，尝试从函数的角度(函数值、图象)对解这三个方程进行解释，简要归纳一元一次方程与一次函数之间的关系.
①2x+1=3； ② 2x+1=0； ③2x+1=-1.
从函数值看：解这三个方程相当于在函数y=2x+1的函数值分别为3、0、-1时，求自变量x的值.
从函数图象看：相当于在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3、0、-1的点所对应的的横坐标.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =2x+1
2x+1=0的解
2x+1=-1的解
2x+1=3的解
当y=3时，x=1；
当y=0时，x=- ；
当y=-1时，x=-1.
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式.
求一元一次方程
ax+b=0的解
一次函数y=ax+b中，y=0时x的值
从函数值看
求一元一次方程
ax+b=0的解
求直线y= kx+b与x轴交点的横坐标
从函数图象看
1.填空.
(1)直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20=0的解是x=_____.
(2)若方程kx＋2=0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,____）.
-10
0
-10
5
0
活动2：请解决下列问题：
（1）你能找出下面3个不等式有什么相同点和不同点吗？
①3x+2＞2； ②3x+2＜0 ； ③3x+2＜-12
相同点： .
不同点： .
等号左边都是3x+2
不等号右边的数不同，分别是2、0、-12
（2）与同学交流，从函数的角度对解这三个不等式进行解释，简要归纳一元一次不等式与一次函数之间的关系.
从函数角度看：
3x+2＞2
一次函数y=3x+2大于2时自变量x的取值范围
可看做
3x+2＜0
一次函数y=3x+2小于0时自变量x的取值范围
可看做
3x+2＜-1
一次函数y=3x+2小于-1时自变量x的取值范围
可看做
从图象角度看：
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
3x+2＜-1
3x+2＜0
3x+2＞2
y =-1
画出函数y=3x+2的图象，分别取纵坐标满足三个条件的点，观察横坐标.
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的形式.
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
从函数值看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围
从函数图象看
活动：函数y=﹣ x+3的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
任务二：能通过函数的图象求解一元一次方程和一元一次不等式.
（1）求方程﹣ x+3=0的解;
（2）求不等式﹣ x+3＞0的解集;
（3）求不等式﹣ x+3＜0的解集.
即 ＜0，
解：(1)∵直线与x轴的交点坐标为（2，0），
∴方程 的解为x=2;
(2)∵x＜2时，y＞0，
∴x＜2时，不等式 ＞0，
∴不等式 ＞0的解集为x＜2；
∴不等式 ＜0的解集为x＞2.
(3)当x＞2时，y＜0，
2.（1）一次函数y=kx+3的图象如图1所示，则方程kx+3=0的解为 .
（2）如图2，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则当y>0时，x的取值范围是 .
x<-4
3
y=kx+3
O
y
x
3
图1
图2
x=-3
任务三：理解一次函数与二元一次方程组的关系.
活动：与同学交流，解决下列问题：
(1)请帮助y=-x+5找“座位”，它应该坐哪呢？
二元一次方程
一次函数
1
2
(2)请尝试用不同的方法求出一次函数y=-x+5与y=0.5x+2的交点坐标，联想求交点坐标与求解二元一次方程组 有什么联系？
通过画函数图象和解方程组得出的结果相同.
y=-x+5
y=0.5x+2
方法1：画出图象，大致确定交点坐标（2,3）.
(作图存在误差，只能得出近似值，不够准确）
方法2: 解方程组，得到解为 ．
(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)
（2,3）
小组讨论
结合上述过程，你能说说一次函数与二元一次方程（组）的关系吗？如何通过画图象的方法解二元一次方程组呢？
两个一次函数的解析式
二元一次方程组
联立
求解
方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标
一个二元一次方程组
两个一次函数
转化
一次函数图象的交点坐标即为方程组的解
作图
每个含有未知数x和y的二元一次方程都可以改写为y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．
3.已知函数图象，如图，方程组 的解是（ 　）
A．x＝1；y＝1 B．x＝0；y＝2
C．x＝ 1；y＝1 D．x＝ 2；y＝0
C
任务四：能利用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题.
活动2：解决下列问题，简要说说你的做题思路或方法.
(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式.
(2)月通话时间为多长时,A、B两种套餐收费一样
联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.
y1 = ，y2= .
0.1x+15
0.15x
解：
(2)A、B两种套餐收费一样，则y1=y2，因此可列出二元一次方程组：
即
解得：
答：当通话时间为300分钟时，A、B两种套餐收费一样，都是45元.
经过本节课的学习，你能简要说说一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）之间的关系吗？
解一元一次方程
解一元一次不等式
数：对应一次函数的值为0时，相应的自变量的值；
形：直线y=ax+b与x轴交点的横坐标.
一次函数与方程（组）、不等式
数：对应一次函数的函数值大(小)于0时，自变量的取值范围；
形：直线y=ax+b上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
解二元一次方程
解二元一次方程组
对应一次函数的每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.
对应两个一次函数图象的交点坐标就是这个二元一次方程组的解.
1.如图，直线y=kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2
C．x≥2 D．x≤2
D
2.(1)若二元一次方程组 的解为 ,则函数 与y=2x-2的图象的交点坐标为 .
(2)已知方程2x＋1＝x＋4的解为x＝3，则直线y＝2x＋1与y＝x＋4的交点为 .
(2，2)
(3，7)
3.在坐标系中作出函数y=2x+6的图象，利用图象解答下列问题：
（1）求方程2x+6=0的解；
（2）求不等式2x+6＞4的解集．
y=2x+6
解：函数y=2x+6的图象如右图所示：
(1)∵直线与x轴的交点坐标为（-3，0），
∴方程2x+6=0的解为x=-3;
(2)观察图象可知，直线经过点(-1,4),
所以不等式2x+6＞4的解集为x＞-1.
当x＞-1时，y＞4，
4.某企业有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水以每小时6 m3的速度注入
乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(m)与注水时间x(h)之间的函数图象如图
所示，结合图象回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
解：(1)设y甲==kx+b, 把(0,2)和(3,0)代入得
设y乙==mx+n，将(0,1)和(3,4)代入得
∴ ∴y甲 =
∴ ∴y乙 = x+1.
(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；
(2)根据题意，得
解得x
所以注水 小时甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.
y=
y=x+1

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