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23.1 一次函数的概念
第二十三章 一次函数
01
掌握一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
02
会列实际问题中的函数关系式，并会判断其函数类型.
任务一：掌握一次函数的概念，以及其与正比例函数之间的联系．
活动1：下列四个问题中变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式(写在横线上)，并找出解析式的共同特征.
(1)铁的密度约为 7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化. .
(2)每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. .
(3)一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化． .
(4)把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化． .
m=7.9V
h=0.5n
m=h 105
y=-5x+50
这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
（1）m = 7.9 V；
（2）h = 0.5 n；
（3）m = h - 105；
（4）y = -5 x + 50.
y
x(自变量)
k(常数)
b(常数)
1
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
函数 = 常数 × 自变量 + 常数
y
k
x + b
＝
注意：一次函数有三个特征：
①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数b可以是任意实数.
(1)一次函数的定义中为什么要求k ≠0？如果 k=0，式子会变成什么？还是一次函数吗？
(2)当b=0时，式子又变成了什么？
(1)时，，式子中没有自变量，是常数函数，不存在“一次项”，因此不是一次函数.
(2)当 时， 即 （是常数 , ）
形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数，其中 k叫作比例系数.
思考
(3)正比例函数与一次函数的解析式有何异同点，请说说你的看法.
函数 = 常数 × 自变量
y
k
x
＝
函数 = 常数 × 自变量 +常数
y
k
x + b
＝
当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
思考
等号两边是否为整式
恒等变形
是
是否具有y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式
b =0
正比例函数
一次函数
是
不是一次函数
否
否
判断一个函数是否为正比例函数或一次函数的方法.
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
（1）y = -8x；
（2）y = -
（3）y = 5x2+6;
（4）y = -0.5x-1
活动2：小组合作解决下列问题，并讨论归纳解题过程中的注意事项.
已知 y =(m－1)x2－|m|+n+3.
(1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义得2－|m|＝1，
解得m＝±1. 又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．
(2)根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.
又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数．
利用定义法求正比例函数 或一次函数的解析式时，需注意：(1)k ≠ 0；(2)自变量x的次数是“1”.
2.已知函数y=(m-3)x+3是一次函数，求其解析式.
∴m2-8=1，m-3≠0，
解得：m=-3，
故其解析式为：y=-6x+3．
解：∵函数y=(m-3)x+3是一次函数，
任务二：会列实际问题中的函数关系式，并会判断其函数类型.
活动：请写出下列函数的关系式，并判断其函数类型.(要求：在横线上写出你的答案，简要说说求函数关系式的方法)
(1)若小明以4 km/h的速度匀速前进，则他所走的路程s(km)是时间t(h)的函数；
.
(2)油箱中有油30 L，若油从油管中均匀流出，150 min后流尽，则油箱中余油量Q(L)是流出时间t(min)的函数； .
(3)长方形的周长是30 cm，长是x(cm)，宽y cm是长是x(cm)的函数； .
，是一次函数
S=4t，是正比例函数
y=15-x，是一次函数
3.一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2cm.
(1)求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
(2)当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？
解：(1)由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.
因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12.
(2)把x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm.
针对本节课的关键词“正比例函数”，“一次函数”，说说你都学到了哪些知识？
一次函数
形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数
形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数
正比例函数
特殊
b=0
1.下列说法错误的是( )
A．y＝－24x是正比例函数，也是一次函数
B．y＝5π是一次函数，也是正比例函数
C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比
D．如果y＝(m2－4)x＋9是一次函数，那么m≠±2 .
B
2.若 y=5x3m-2 是正比例函数，则 m=_______.
3.要使 y=(m-2)xn-1+n 是关于 x 的一次函数，n，m 应满足 ， .
n=2
m≠2
1
4.一种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费为30元，每月免费通话时间为120分，以后每分收费0.4元.
(1)写出每月话费y元与通话时间x(x>120)的函数关系式;
(2)分别求每月通话时间为100分，200分的话费.
解：(1) y=0.4x-18(x>120).
(2)当x=100时，y=30元；当x=200时，y=62元.

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