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山西运城市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题
一、单选题
1．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在数列中，，则 （ ）
A．3872 B．3882 C．3892 D．3902
7．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的方程为：
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．
10．在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（）
A．
B．三棱锥的体积最大值为
C．若，则点到直线的距离为
D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为
11．已知是函数的极大值点，则 （ ）
A．
B．若函数有三个零点，则实数的取值范围为
C．若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为
D．过点存在3条直线与曲线相切
三、填空题
12．设是等比数列的前项和，，，则___________．
13．已知函数，若，都有，则______________.
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________.
四、解答题
15．已知数列的首项，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.
17．如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：；
(3)记和的面积分别是，求的最小值.
19．已知函数.
(1)对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)数列满足.
①判断数列的单调性并说明理由；
②设数列的前项和为，证明：.
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．D
5．A
6．A
7．D
8．D
9．BCD
10．ACD
11．AB
12．
13．
14． /
15．（1）因为，，所以，
所以，
所以，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）可得：，则，
所以 ① ，
则 ②，
两式相减得：，
所以，
所以.
16．（1）当时，，所以，
而，所以在切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意可得，即，
令，则.
因为，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是.
17．（1）因为平面，又平面，所以，
因为底面为等腰直角三角形，，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以侧面为菱形，所以
又，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，则，所以面，
以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以 ，
则，所以，，
由（1）可知平面，
所以平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角正弦值．
18．（1）椭圆的左右焦点分别为，
设，则，
因为点是椭圆上一点，
则，
所以，从而.
所以椭圆的方程为：.
（2）直线的斜率显然存在，设方程为.
由，整理得，
设，则，
由已知，所以的斜率分别为，
，
故，所以；
（3）设直线，显然，由，解得或，
∴，则，
由上可知，直线，
则，
由，得，解得或，
，则，
由上可知，直线，，
由（2）知，，
则.
，
当且仅当时等号成立，即最小值为.
19．（1）不等式等价于
令，则，
令得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，即 ；
（2）①数列为递减数列，理由如下：
由（1）可知，所以，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，所以，
因为，所以
由题意，得，则，
由（1）知当时，，
令，则，故，
又函数在上是单调递增函数，
所以，所以数列为递减数列.
②由题意得，令函数，
则，故在上单调递增，且，
令，则，得到，
所以，故，
又因为，所以，
得到，即，
当时，得到．
当时，．
所以，所以，
综上，原命题得证.

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