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8.1平方根
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平方根等于它本身的数是（ ）
A．0 B．0和1 C． D．0和
2．16的平方根是（ ）
A．－4 B．4 C．±4 D．12
3．的算术平方根是（ ）
A．5 B． C． D．
4．若实数，满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
6．的值等于（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．﹣4
7．一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（　　）
A．，0或1 B．1 C．或1 D．0或1
8．4的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
9．若，则的值是（ ）
A．3 B． C．9 D．
10．已知，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2020 D．-2020
11．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作：
第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，，，新整式串的和记作；
第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：，，，，，新整式串的和记作；以此类推．
某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①经过三次操作后的整式串共有9个整式；
②若，经过四次操作后，；
③第10次操作后，从左往右第2个整式为：；
④若，，则．
以上四个结论正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．实数，在数轴上的位置如图所示，那么的结果是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．计算：_______．
14．在半径为R的圆形工件中截去一个圆孔，剩余面积是圆孔面积的3倍，则圆孔的半径是_______．
15．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________．
16．若的值是0，则（y﹣2）2021＝________．
17．计算：__________．
三、解答题
18．求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
19．解方程：．
20．图（1）中每个小正方形的边长为1，可知正方形面积为 ，边长为 ，按此方法在图（2）中画出长为的线段．
21．在如图所示的3×3的方格中，画出4个面积小于9的不同的正方形（用阴影部分表示），且所画正方形的顶点都在方格的顶点上，并写出相应正方形的边长．
22．若一个圆与一个正方形的周长都是，它们中哪一个面积较大？若一个圆与一个正方形的面积都是，它们中哪一个周长比较大？你能从中得到什么启示？
23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算：
，
，
不难发现，结果都是7．

(1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？
发现图2计算结果为______；图3计算结果为______．
(2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明．
24．已知实数，满足，求的值
《8.1平方根》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B A C D A C A
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】本题考查平方根．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根．
【详解】解：根据平方根的定义，平方根等于它本身的数只有0．
故选：A．
2．C
【分析】依据平方根的定义和性质求解即可．
【详解】解：16平方根是±4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据算术平方根的性质，首先得，再通过计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴的算术平方根是
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】本题主要考查了非负数的性质以及代数式求值．根据非负数的性质，可知，，，求解并代入求值即可．
【详解】解：根据题意，，
∵，，
∴，，
解得 ，，
∴．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查列代数式，算术平方根，设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出．
【详解】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y，
∵A的面积为4，
∴，
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴，
∴，
∴图1中原长方形的长为：，宽为，
∴图1中原长方形的周长为，
故选：A．
6．C
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个数即是算术平方根．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1．
【详解】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，分清算术平方根的概念易与平方根的概念是解决此题关键．
8．A
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：4的算术平方根是，
故选：A．
9．C
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
10．A
【分析】根据非负数的运算性质求出、的值，再代入计算即可．
【详解】解：因为，
所以，，
解得，，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查非负数的意义，解题的关键是掌握算术平方根和绝对值的非负性．
11．B
【分析】第二次操作后得到的整式串有5个整式，那么第三次操作时，相邻两个整式之间都会产生一个新的整式，即一共要产生4个新的整式，据此可判断①；求出第三次操作后产生的整式串，再分别求出，，，从而推出，根据非负数的性质求出x、y的值，再计算即可判断②；根据前三次操作的结果可得第n次操作后的第2个整式中x的系数是， y的系数是，据此可判断③；可求出，根据题意求出的值，则可得到，据此可判断④．
【详解】解：①∵第二次操作后得到5个整式，
∴第三次操作时，从左边起，第1个整数和第2个整式之间会产生一个新的整式，第2个整数和第3个整式之间会产生一个新的整式，第3个整数和第4个整式之间会产生一个新的整式，第4个整数和第5个整式之间会产生一个新的整式，
∴第三次操作后的整式串共有个整式，故①正确；
②，
∴第一次操作所得的整式串：，
∴，
第二次操作所得的整式串：，，，，，
∴，
第三次操作所得的整式串：，，，，，，，，，
∴
，
以此类推可知，；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，故②错误；
③第一次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，
第二次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，
第三次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，
……，
以此类推可知，第n次操作后的第2个整式中x的系数是， y的系数是，
∴第10次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，
第10次操作后，从左往右第2个整式为，故③正确；
④∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
∴正确的有①③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，整式的加减运算，非负数的性质，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
12．C
【分析】根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行开方和化简绝对值运算即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查开方运算，化简绝对值，整式的加减运算，解题的关键是根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号．
13．
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．利用二次根式商的算术平方根的性质即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
14．
【分析】设圆孔半径为r，剩余面积就是圆环面积，即大圆面积减去圆孔面积；根据“剩余面积是圆孔面积的3倍”，列方程求出r的值即可．
【详解】解：设圆孔半径为r，
由题意得：πR2﹣πr2＝3πr2，
R2﹣r2＝3r2，
4r2＝R2，
r＝±，
∵r＞0，
∴r＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的面积和算术平方根，若，则，当x＞0时，叫做a的算术平方根．
15．1
【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
的算术平方根是1．
16．
【分析】根据算术平方根的定义得到，代入代数式根据求解即可得到结论．
【详解】解：的值是0，
，得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到算术平方根的定义和，熟练掌握相关定义是解决问题的关键．
17．6
【分析】本题考查了算术平方根，先计算被开方数的值，再求其算术平方根，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：6．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．
（1）先将带分数转化为假分数，再求算术平方根即可；
（2）直接求算术平方根即可；
（3）直接求算术平方根即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
19．或
【详解】解：，
，
解得或．
20．2；；作图见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
正方形可以拼成2个小正方形，求解2个小正方形的面积即可；根据算术平方根的定义即可得到边长；如图，所作正方形的面积为4个直角边为1和2的直角三角形和一个边长为1的正方形的面积和，那么面积为，则算术平方根的定义即可得到边长为，那么线段即为长为的线段．
【详解】解：正方形面积为，则边长为，
故答案为：2，；
如图，线段即为长为的线段
21．见解析
【分析】根据割补法及算术平方根的意义可进行作图．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，正确理解算术平方根的意义是解题关键．
22．圆的面积较大；正方形的周长较大；见解析
【分析】此题考查了圆和正方形的面积、周长之间的关系．先根据周长求出圆的半径和正方形的边长，再求出圆和正方形的面积比较即可；根据圆和正方形的面积求圆的半径和正方形的边长，再求出圆和正方形的周长进行比较即可；由此可得出当圆和正方形周长相等时，圆的面积较大；当圆和正方形面积相等时，正方形的周长较大．
【详解】解：（1）设圆的半径为，则，
解得
此时圆的面积为
设正方形的边长为，则，
则正方形的面积是，
∵，
∴则圆的面积较大；
（2）设圆的半径为，则，
解得，
此时圆的周长为，
设正方形的边长为，则，
则正方形的周长是，
则正方形的周长较大；
（3）启示：当圆和正方形周长相等时，圆的面积较大．
当圆和正方形面积相等时，正方形的周长较大．
23．(1)8，6
(2)，证明见解析
【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键．
（1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可；
（2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算：
，
，
故计算结果为8；
图3中被框起来的3个数按以下方式计算：
，
，
故计算结果为6，
故答案为：8，6；
（2）解：根据（1）中计算，可猜想，
理由如下：
．
24．
【分析】根据非负数的性质列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据算术平方根和绝对值的非负性，
得，，
解得，，
则．
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负性并准确计算是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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