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10.3实际问题与二元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　）
A．72 B．68 C．65 D．60
3．年某地区参加养老保险的妇女人数共万人，比年增加万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是年的倍和倍，设年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为万人和万人，则（ ）
A． B．
C． D．
4．《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了．骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货给我一口袋，我驮的货比你驮的货重1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多．’驴和骡各驮几口袋货物？”若设驴驮x口袋货物，骡驮y口袋货物，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》一共收录了246个数学例题，其中“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个．求“方程”的例题数是多少个？设“方程”的例题数是个，“勾股”的例题数为个，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．无人知甲、乙两人年龄，只知道当甲是乙现在的年龄时，乙只有2岁；当乙到甲现在的年龄时，甲是38岁了，问甲、乙现在的年龄各是（　　）
A．24岁，14岁 B．26岁，14岁 C．26岁，16岁 D．28岁，16岁
8．某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．若与互补，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．西游记是我国古典文学四大名著之一．下面是一首描述孙悟空追妖精的数学诗，解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里；逆风返回时，4分钟飞了600里，问风速是多少？设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组为（ ）
悟空顺风探妖踪， 千里只行四分钟， 归时四分行六百， 风速多少才称雄？
A． B．
C． D．
11．如图，长青化工厂与，两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨6000元的产品运到地．公路运价为1.6元，铁路运价为1.2元，这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多（ ）元．
A．1286800 B．299000 C．1286000 D．298000
12．茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．现有浓度不同的A、B、C三种盐水，其中B种盐水质量为10千克，A、C两种盐水的质量都为整数．如果从A、B两种盐水中倒出2m千克，将倒出的A种盐水与B种盐水余下的部分混合，将倒出的B种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同；如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同．则A种盐水原来的质量为________千克．
14．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有只，龟有只，则可列方程组为___________．
15．为宣传推介重庆奉节县绿色食品，助力奉节脱贫攻坚，为期两天—“诗城奉节—重庆食品节”在重庆某会展中心举办，其中鸡蛋、腊肉、脐橙深受市民的喜爱，已知鸡蛋的售价为每件60元，利润率为20%，腊肉的进价为每件25元，利润率为20%，脐橙的售价为每件90元．第一天商家卖出鸡蛋、腊肉、脐橙的数量之比为4﹕1：3．第二天鸡蛋卖出的数量为第二天卖出三种产品总数量的，腊肉两天卖出的总数量达到两天所有卖出产品总量的，鸡蛋两天卖出的总数量刚好等于脐橙两天卖出总数量的，活动结束时，两天所有商品的总利润率为20%，则每件脐橙的进价为 ___元．
16．父子二人的年龄和是54岁，年龄差是26岁，若设父亲年龄为x岁，儿子年龄为y岁，则可列方程组为：________．
17．小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．若笔记本和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有___________种．
三、解答题
18．小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间．
小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟
小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟．
19．某校全面复学后，为奖励疫情上网课期间表现优秀的同学，老师安排李明购买奖品，图①，图②是李明买回奖品后与老师的对话情境：根据信息解决问题：试计算两种笔记本各买了多少本？
20．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
(1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义
甲：x表示______，y表示______；
请你补全乙同学所列的方程组：
乙：①______，②______；
(2)求A、B两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）
21．如图，已知不在同一条直线上的三点A，B，C．
(1)尺规作图：连接AC并延长，在线段AC的延长线上取点D使得CD＝AC．连接AB，BC；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(2)在图中，若∠BCD比∠BCA小60°，则∠BCD的度数为 ．（直接写出结论）
22．某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息：
购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元
方案一 36 0 0 2
方案二 38 0 0
方案三 0 12 8 0
方案四 0 10 10 10
(1)小文所带班费为________元．
(2)求大、小本子每本的售价．
(3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）．
23．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线．

(1)若，，求证：；
(2)若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数．
24．某商场销售一批进价分别为元、元的、两款书包，下表中是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
第一天 个 个 元
第二天 个 个 元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求、两款书包的销售单价；
（2）若该商场准备用不多于元的金额再购进这两款书包共个，求款书包最多能采购多少个？
（3）在（2）的条件下，在销售完这个书包能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
《10.3实际问题与二元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D D B B C B A
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
根据题意找到规律即可解答．
【详解】解：如图，设中间两个数分别为，，
由题意可得，，
，
，
即，
整理得：．
当时，，故A选项不符合题意；
当时，，故C选项不符合题意；
当时，，
此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意；
当时，；
此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可．
【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为，
根据题意得：，解得：，
阴影部分的总面积为：．
故选：C．
3．D
【分析】设年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为万人和万人，则年参加城镇职工养老保险的人数为万人，参加城乡居民养老保险的人数为，由题意：年某地区参加养老保险的妇女人数共万人，比年增加人，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为万人和万人，则年参加城镇职工养老保险的人数为万人，参加城乡居民养老保险的人数为，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．D
【分析】根据题中的等量关系列出二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得：，
故选：D．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用，理解题意，寻找等量关系，正确列出二元一次方程组是解答的关键．
5．D
【分析】本题考查了列一元二次方程组，解题的关键在于找准等量关系．根据“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个，列出方程即可解题．
【详解】解：“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，
，
又且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个，
，
可列方程为，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了列二元一次方程组；
设共有x人，y两银，根据“每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两”列方程组即可．
【详解】解：设共有x人，y两银，
根据题意得：，
故选：B．
7．B
【分析】找等量关系，列方程组解题．
【详解】
解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，则
，
解得．
所以甲、乙现在的年龄各是26岁，14岁．
故选：B．
【点睛】
本题考查二元一次方程组解应用题，按等量关系列方程组是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等．
【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元，
∴.
∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为.
∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为.
∵两者利润相同，
∴.
∴方程组为，
故选：C.
9．B
【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：与互补，
，
，
∴，解得：．
故选：B．
10．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则顺风速度为里/分钟，逆风速度为里/分钟，再根据孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里；逆风返回时，4分钟飞了600里，列出方程组即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
由题意得，，
故选：A．
11．A
【分析】设购买了x t原料，制成y t产品，根据“这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费97200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用产品的单价×300-原料的单价×400-运输费，即可求出结论．
【详解】解：设购买了xt原料，制成yt产品，
依题意得：，
解得：，
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多6000×300-1000×400-16000-97200=1286800（元）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列出方程组是解题的关键．设小盒茶叶的长为，宽为，根据图①和图②的包装情况列出方程组，求解出、，进而得出正方形礼盒的边长．
【详解】解：设小盒茶叶的长为，宽为．
由得，代入得
正方形礼盒边长为（）
故选：．
13．5
【分析】设A、B、C三种盐水的浓度分别为，种盐水的质量为千克，中盐水的质量为千克，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设A、B、C三种盐水的浓度分别为，种盐水的质量为千克，中盐水的质量为千克，
如果从A、B两种盐水中倒出2m千克，设倒出的A种盐水为千克，则倒出的B种盐水为千克
则
解得①
如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同
即②
①代入②，解得
是整数，则为整数，
倒出的B种盐水为千克,
即
则时，符合题意，
此时，都是整数
故答案为：5
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，求整数解试根是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设团鱼有x只，龟有y只，根据共有93只脚乱划水可得方程，根据102只眼睛偷看人可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设团鱼有x只，龟有y只，
由题意得，，
故答案为：．
15．75
【分析】根据题意求出鸡蛋和腊肉的售价和进价，设第一天商家卖出鸡蛋数量为8a，腊肉的数量为2a，脐橙的数量为6a，第二天卖出三种产品的总数量为9b，根据题意求出a和b的等式，得到a和b的等量关系，根据利润率列出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意可得鸡蛋的售价为60元，进价为元；
腊肉的售价为元，进价为25元；
设第一天商家卖出鸡蛋数量为8a，腊肉的数量为2a，脐橙的数量为6a，
第二天卖出三种产品的总数量为9b，
则第二天卖出鸡蛋为b，
腊肉第二天卖出的数量为，
∴第二天脐橙卖出的数量为，
∵鸡蛋两天卖出的总数量刚好等于脐橙两天卖出总数量的，
∴，
解得，
∴第二天商家卖出鸡蛋数量为a，腊肉的数量为3a，脐橙的数量为5a，
∴设脐橙的进价为x元，根据题意可得：
，
解得，
故答案为：75．
【点睛】本题考查经济利润问题，理清题目中的数量关系是解题的关键．
16．
【分析】根据父子二人的年龄和是54岁，年龄差是26岁列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系建立方程组是解题的关键．
17．4
【分析】设笔记本的数量为x个，钢笔的数量为y个，由题意可知笔记本的钱数+钢笔的钱数=60，笔记本数量>钢笔数量，从而可列出关于x，y的二元一次方程和不等式，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案即可．
【详解】解：设笔记本的数量为x个，钢笔的数量为y个．
由题意得：，
∴，，
解得：．
∵x，y都为正整数，
∴x为5的倍数，
∴x的取值为10，15，20，25．
∴小聪的购买方案有4种．
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元一次不等式和二元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系．
18．小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟．
由题意，得，
解得，
答：小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．
【点睛】本题是二元一次方程组的应用，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．
19．单价为5元的笔记本买25本，单价为8元的笔记本买15本
【分析】设单价为5元的笔记本买x本，单价为8元的笔记本买y本，根据对话内容列出方程组求解即可．
【详解】解：设单价为5元的笔记本买x本，单价为8元的笔记本买y本，
解方程组得： ，
答：单价为5元的笔记本买25本，单价为8元的笔记本买15本．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组是解答的关键．
20．(1)A工程队工作的天数；B工程队工作的天数；180；20
(2)A、B两工程队分别整治河道60、120米
【分析】（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，由此进行解答即可；
（2）选择其中一个方程组解答即可．
【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为；
乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，
由此列出的方程组为 ；
故答案依次为： A工程队工作的天数，B工程队工作的天数，180，20．
（2）选甲同学所列方程组解答如下：
设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
则；
②-①×8得， 解得，
把代入①得，
所以方程组的解为，
A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：；
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【点睛】本题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）构建方程组求解即可．
【详解】（1）解：如图，线段CD，AB，CB即为所求；
（2）由题意得，，
解得：，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)
(2)大、小本子每本的售价分别为元、元．
(3)小文实际购买文具的成本为元．
【分析】（1），根据方案一和方案二的笔的购买数量与剩余钱数的关系求出笔的单价，进而求班费；
（2）设大、小本子单价，根据方案三、四列方程组求解；
（3）设大、小本子成本，结合利润关系列方程求解．
【详解】（1）解：设每支笔的售价为元
根据方案一：为班费；
方案二：为班费
所以
移项可得：
即：
解得：
则班费为（元）
（2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元．
根据方案三：
根据方案四：
列方程组
解得
答：大、小本子每本的售价分别为元、元
（3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元
由（1），得1支笔的售价为（元）
由题意，得
整理，得，
∵小文实际购买文具的成本为：，，
∴实际成本为（元），
答：小文实际购买文具的成本为元．
【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，掌握根据表格中的购买方案，找出等量关系，列出方程（组）求解是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及二元一次方程组的应用，熟练掌握相关定义是解题关键．
（1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出，再次利用平角定义求出即可得结论；
（2）设，，得出，，利用角平分线的定义及平角定义列二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，，
∵比大，比大，
∴，，，
∴，
解得：，
∴．
24．（1）A款书包的销售单价为200元，B款书包销售单价为160元；（2）A款书包最多能采购10个；（3）不能实现利润为1800元的目标．
【分析】（1）设A款书包的销售单价为x元，B款书包销售单价为y元，然后由表格可进行列方程组求解；
（2）设采购A款书包m个，则采购B款书包（40-m）个，然后根据题意列出不等式进行求解即可；
（3）由题意可得A款书包销售越多则利润越大，由（2）可知，采购A款书包10个，B款书包30个，所得利润最大，进而问题可求解．
【详解】解：（1）设A款书包的销售单价为x元，B款书包销售单价为y元，由题意得：
，解得：，
答：A款书包的销售单价为200元，B款书包销售单价为160元；
（2）设采购A款书包m个，则采购B款书包（40-m）个，由题意得：
，
解得：，
答：A款书包最多能采购10个；
（3）由题意可得A款书包销售越多则利润越大，
∴由（2）可知，采购A款书包10个，B款书包30个，所得利润最大，
∴（元）
∵1700＜1800，
∴不能实现利润为1800元的目标．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式的解法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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