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中考数学仿真模拟预测卷（6）
满分120分 时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
校园AI学伴普及，某中学规定“完成AI学伴推荐的学习任务得分为正”，则与之相反的情况应记为负。下列选项中，应记为负数的是（ ）
A. 完成数学同步练习得8分
B. 完成英语听力任务得6分
C. 未按时提交AI布置的作业扣4分
D. 完成课外阅读打卡得5分
校园科技节上，同学们用3D打印制作了四种创意徽章，其中属于中心对称图形的是（ ）
我国“人造太阳”装置实现403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造新的世界纪录。该装置单次放电消耗的电能约为360000焦耳，数据360000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
若，则代数式的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 13 D. 7
国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省。如题5图是大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
神舟二十号载人飞行任务乘组由陈冬（男）、陈中瑞（男）、王杰（男）3名航天员组成，任务期间需从3人中任选2人协同开展一项空间科学实验，则恰好选中陈冬和陈中瑞的概率为（ ）
A. B. C. D.
将两个直角三角板拼成如题7图所示的图形，其中，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
如题8图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且，点的坐标为，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
直线经过一、二、四象限，则直线的图象大致是（ ）
国际月球科研站核心舱舱体外部散热面板采用正五边形蜂窝结构设计，这种结构兼具轻量化与高散热效率。其中一块标准散热面板可近似看作正五边形，面积约为。已知正五边形可分割为5个全等的等腰三角形（顶角为），则该正五边形的边长大约是（ ）（参考数据：，，，）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
一组数据：2，4，，10，12（为整数），若这组数据的中位数为7，则的值为______。
已知不等式组，则该不等式组的最大整数解为______。
单项式的系数与次数分别是______，______。
如题14图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，则四边形的面积为______。
如题15图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为______。
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
计算：
17.智能喷雾机是现代林业管护的高效工具，用它开展林场驱虫作业能显著提升管护效率。已知智能喷雾机每小时的驱虫作业面积是人工每小时驱虫作业面积的5倍，若用智能喷雾机对500亩林场进行驱虫的时间，比人工对200亩林场进行驱虫的时间少15小时，求智能喷雾机每小时的林场驱虫作业面积。
18.光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux）。智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度。照度（单位：Lux）与透明度（单位：%）成反比例关系，且当透明度为30%时，照度为2000 Lux。
（1）求关于的函数关系式；
（2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意，它适宜在照度1200 Lux至2500 Lux的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由。
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
分组（/分） 频数（人）
90
20
19.为助力青少年掌握网络安全知识，某省教育厅面向全省32000名初中生，开展“网络安全，守护成长”知识竞赛活动。工作人员随机抽取部分学生进行线上测试（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），测试后对成绩进行整理与描述，绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图、扇形统计图。
其中占比，占比。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次竞赛共抽取了多少名学生参赛？
（2）求，的值；
（3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你通过样本估计总体中成绩优秀的有多少名学生。
20.如题20图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于。
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长。
21. 综合与实践
【背景】一个物体的重心，是物体所受重力的等效作用点。每一个平面图形都有重心。
例如：
名称 线段 三角形 平行四边形 圆
图形
重心位置 中点 三条中线交点 对角线交点 圆心
【探究】“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，。
【应用】
（1）尺规作图：如题21-1图，找出的重心（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如题21-2图是组合图形中“L”形薄板工件的横截面，长120cm，宽80cm，边缘宽12cm，请通过推理、计算确定它的重心位置（结果精确到0.1 cm）。
题21-1图 题21-2图
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分
22.在平面直角坐标系中，已知抛物线：，点为顶点。
（1）请用含的代数式表达抛物线顶点的坐标；
（2）若为正整数，直线：与抛物线交于，两点，的最小值为2，连接，，并延长分别交轴于，两点，求证：始终是定值；
（3）当抛物线与直线相切（抛物线与直线有且仅有一个交点）时，此时抛物线与轴的交点为，点是轴上的动点，连接，，当最大时，请求出点的坐标。
23.如题23-1图，在边长为2的正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰直角三角形。
（1）求证：；
（2）点在运动过程中，求的最大值；
（3）如题23-2图，点是的中点，连接，，求证：。
答案解析
1.C　2.C　3.B　4.D　5.B　6.B　7.A　8.B　9.C
10.A　【解答】如图，设正五边形的中心为O，
连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠AOB==72°，
△AOB的面积=×正五边形的面积=(dm2) ，
∵OA=OB，OF⊥AB，
∴∠AOF=∠AOB=36°，AB=2AF，
设OF=x dm，
在Rt△OAF中，AF=OF·tan 36°≈0.7x(dm) ，
∴AB=2AF=1.4x(dm) ，
∴AB·OF=，即×1.4x·x=，解得x=4，
∴AB=1.4x=5.6(dm) ，
∴该正五边形的边长大约是5.6 dm.
11.7　12.3　13.-，3
14.9　【分析】如图，根据点的坐标特征，得AB∥CD∥x轴，
∴四边形ABCD的面积
=AB·DE=(xB-xA) ·(yD-yA) =(4-1) ×(5-2) =9.
15.2-　【解答】如图，设NC=x，
∵AD∥NB，∴∠MAD=∠ANC，
又∵∠MDA=∠ACN=90°，∴△MAD∽△ANC，
∴=，即=，∴MD=，
∵网格图中每个小正方形的面积都是1，△BMN的面积为3，
∴S△MAD+S△ANC=3-1=2，
∴AD·MD+NC·AC=2，
∴×1×+×x×1=2，∴+x=4，
解得x1=2+，x2=2-(不合题意，舍去) ，
∴NC=2+，
∴tan∠MNB=tan∠ANC===2-.
16.解：原式=4÷2-5+2……4分
=2-5+2……6分
=-1. ……7分
17.解：设人工每小时的林场驱虫作业面积为x亩，则智能喷雾机每小时的林场驱虫作业面积为5x亩，……1分
由题意得-=15，……3分
解得x=，……4分
经检验，x=是原分式方程的解，且符合题意，……5分
∴5x=.……6分
答：智能喷雾机每小时的林场驱虫作业面积为亩.……7分
18.解：(1) 设y关于x的函数关系式为y=，
把(30，2 000) 代入y=，得k=30×2 000=60 000，
∴y关于x的函数关系式为y=.
(2) 智能玻璃的透明度x应控制在24≤x≤50范围内，
理由：把y=1 200和2 500分别代入y=，
得x==50，x==24，
∴智能玻璃的透明度x应控制在24≤x≤50范围内.
19.解：(1) 90÷45%=200(名) ，
∴本次竞赛共抽取了200名学生参赛.……3分
(2) 由题意得n=200×25%=50，
m=200-90-50-20=40.……6分
(3) 32 000×=11 200(名) ，
∴估计总体中成绩优秀的有11 200名学生.……9分
20.解：(1) 四边形ABCD是菱形，……1分
理由：∵AB=BC，BO平分∠ABC，∴AO=CO，
∵AD∥BE，
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，
∴△ADO≌△CBO(AAS) ，
∴DO=BO，……2分
∴四边形ABCD是平行四边形，……3分
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.……4分
(2) ∵BO平分∠ABC，∠ABE=120°，
∴∠DBC=∠ABE=60°，……5分
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=4，
∴△BCD是等边三角形，……6分
∴BD=BC=4，
∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°，
∴∠E=90°-∠DBC=30°，
∴BE=2BD=8，……7分
∴DE===4，
即DE的长为4.……9分
21.解：(1) 如图1，重心O即为所求.……2分
图1
(2) 如图2，建立平面直角坐标系，将“L”型工件分为四边形OABD和CDEF，重心为OL，……3分
图2
则S四边形OABD=120×12=1 440，O1(6，60) ，……4分
S四边形CDEF=12×68=816，O2(46，6) ，……5分
S=S四边形OABD+S四边形CDEF=1 440+816=2 256，……6分
=×6+×46≈20.5，……7分
=×60+×6≈40.5，……8分
∴重心OL的坐标约为(20.5，40.5) .……9分
22.(1) 解：∵抛物线E的解析式为y=ax2+(a-1) x-4，
∴对称轴为x=-=，……1分
y==
==，……2分
∴抛物线顶点Q的坐标为.……3分
(2) 证明：联立，
即ax2+(a-1) x-4=-3，……4分
解得x1=，x2=-1，……5分
∵a为正整数，
∴点C的坐标为(-1，-3) ，点D的坐标为，
∵CD=2，∴-(-1) =2，
解得a=1(经检验，成立) ，……6分
∴点D的坐标为(1，-3) ，
抛物线的顶点Q的坐标为(0，-4) ，
设直线QC的解析式为y1=k1x+b1，
将C(-1，-3) ，D(0，-4) 代入得
，解得，
∴直线QC的解析式为y=-x-4，
令y=0，则-x-4=0，解得x=-4，即M(-4，0) ，
∴OM=4，……7分
设直线QD的解析式为y2=k2x+b2，
将Q(0，-4) ，D(1，-3) 代入得
，解得，
∴直线QD的解析式为y=x-4，
令y=0，则x-4=0，解得x=4，即N(4，0) ，∴ON=4，
∴OM·ON=4×4=16，为定值.……8分
(3) 解：∵抛物线E与直线y=-2x-4相切，
∴ax2+(a-1) x-4=-2x-4，
即a2x+(a+1) x=0，此时Δ=(a+1) 2=0，
∴a=-1，
∴抛物线E的解析式为y=-x2-2x-4，……9分
如图，延长CQ交x轴于点M，则Q(-1，-3) ，C(0，-4) ，
∴设CQ的解析式为y=mx-4，
将点Q坐标代入解析式，解得m=-1，
∴直线CQ的解析式为y=-x-4，……10分
∴M(-4，0) ，∴MC=4，MQ=3，
根据题意可知，当点F为过点C，Q且与x轴相切的圆的切点时，∠CFQ取得最大值，
∵∠M=∠M，易得∠MFQ=∠MCF，
∴△MFQ∽△MCF，……11分
∴=，
∴MF2=MC·MQ=4×3=24，
∴MF=2，……12分
∴F(2-4，0) .……13分
23.(1) 证明：∵在正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDC=45°，……1分
∠BEC=∠BEF+∠FEC=∠BDC+∠ECD，……2分
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴∠FEC=45°，
∴∠FEC=∠BDC，
∴∠BEF=∠ECD.……3分
(2) 解：点E在对角线BD上运动时，点F在BC的垂直平分线上运动.……4分
如图1，当△BF'C为等腰直角三角形时，DF长度的最大值即为DF'的长度，……5分
图1
∴∠DEF'=∠DEC+∠F'BC=45°+45°=90°，
∵BC=2，BD=2，
在Rt△BF'C中，BF'=BC=×2=，……6分
在Rt△BDF'中，DF'===，
∴DF的最大值为.……7分
(3) 证明：如图2，连接AE，取AE的中点N，连接DN，NF，将△DNA绕D点逆时针旋转90°得到△DN'C，使得AD与CD重合，连接FN'，……8分
图2
∴△DNA≌△DN'C，
设∠EAD=α，∴∠DCN'=α，
∵A，C关于BD对称，
∴∠EAD=∠ECD=α，
∴∠FCN'=45°+2α，∠BEA=α+∠BDA=α+45°，
∴∠NEF=α+45°+∠BEF，
∵∠BEF=∠ECD=α，∴∠NEF=2α+45°，
∴∠NEF=∠FCN'，……9分
由旋转知AN=N'C，∵N为AE中点，∴AN=NE，
∴NE=N'C，
∴△NFE≌△N'FC(SAS) ，……10分
∴NF=N'F，∠NFE=∠N'FC，
∴∠NFE+∠EFN'=∠N'FC+∠EFN'=∠EFC=90°，
在△DNF和△DN'F中，，
∴△DNF≌△DN'F(SSS) ，……11分
∴∠NFD=∠N'FD=45°，
∠NDN'=∠NDC+∠CDN'=∠NDC+∠ADN=90°，
∴∠NDF=∠N'DF=45°，……12分
∴△NFD是等腰直角三角形，
∴DF=ND，……13分
∵点M是EC的中点，∴由对称可得点N与点M关于BD对称，
∴DN=DM，∴DM=DF.……14分

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