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中考数学仿真模拟预测卷（7）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
在数轴上，实数到的距离是（ ）
A. B. C. D.
据中国信息通讯研究院测算，截止到 2025 年 12 月，我国人工智能核心产业规模已突破 12000 亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头。数据 “12000 亿” 用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
钕磁铁，也称为钕铁硼磁铁，是由钕、铁、硼形成的四方晶系晶体，是最常使用的稀土磁铁，被广泛地应用于电子产品，例如硬盘、手机、耳机等。如题 3 图是一个钕磁铁元件和它的主视图，则它的俯视图为（ ）
在平面直角坐标系中，将抛物线先向下平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
视觉传感系统是机器人获取环境信息的媒介，它的数学模型为小孔模型，其核心在于应用相似三角形的知识。如题 6 图，与交于点，，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
已知菱形的对角线长为，长，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
如题 9 图，在中，弦经过圆心，点，是上位于异侧的两点，连接，。若是的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
如题 10 图，反比例函数图象经过点，，点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
在平面直角坐标中，已知与关于轴对称，则_____。
请写出一个开口向上且对称轴为直线的抛物线解析式：_____（答案不唯一）。
已知关于的一元二次方程的解是，则_____。
母亲节是一个为感谢母亲而庆祝的节日。为了向母亲表达心意，小明决定到花店买三朵玫瑰花送给妈妈。已知该花店里有两种不同颜色且足够数量的玫瑰花，小明决定从这两种颜色的玫瑰花中随机选三朵，请问小明选到的玫瑰花颜色一样的概率是_____。
如题 15 图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
计算：。
如题 17 图，已知点，在上，连接，。
（1）尺规作图：过点作的切线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）延长与切线交于点，若，求的长。
开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为 “华侨文化的典范之作” 与 “世界建筑艺术博物馆”。如题 18 图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点处）看碉楼顶部的仰角是，看碉楼底部的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，，，结果保留一位小数）。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
课间体育运动有助于初中生强身健体、释压提效、促进团队协作、保持阳光心态。某校为了充分调动同学们进行大课间锻炼的积极性，计划在新学期设置四个新项目让同学们进行自选锻炼，这四个新项目分别是 “A. 足球绕杆”“B. 竞速跳绳”“C. 三步上篮”“D. 有氧慢跑”。为了了解同学们对以上锻炼项目的感兴趣程度，随机对校内一部分初中生进行问卷调查（参加调查的学生只能选一个最感兴趣的项目），并将得到的数据绘制成如题 19 图所示的扇形统计图与条形统计图。
（1）这次校内参加问卷调查的总人数为_____人，扇形统计图中_____；
（2）补全条形图，并计算扇形统计图中 “有氧慢跑” 所占的圆心角的度数；
（3）若某班大课间锻炼中有 5 人表现最突出，其中有两男一女擅长竞速跳绳，有一男一女擅长足球绕杆，班主任决定分别从这两项中各随机选出 1 人参加校园大课间锻炼展示。请用画树状图或列表法求出选出一男一女的概率。
防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫孳生地。已知队每小时检查的户数比队多 4 户，队检查 120 户的时间与队检查 90 户的时间相等。
（1）求队、队的每小时检查的户数；
（2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共 17 吨，需要租用 10 辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走。型、型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？
车型 运货量（吨 / 车） 运货费用（元 / 车）
型 2 50
型 1.5 40
综合与实践。
【数学文化】
勾股定理是中国数学家商高最早在公元前 1000 年独立的发现，后由东吴数学家赵爽在注解《周髀算经》中首次用弦图割补法系统证明了勾股定理，这是中国现存最早的完整证明。勾股定理充分显示了古人的卓越智慧，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
【数学探究】
我校研学小组在了解勾股定理的发展历史后对勾股定理的证明产生了浓厚的兴趣：设直角三角形较短的直角边为 “勾”，记为，较长的直角边为 “股”，记为，斜边为 “弦”，记为。
（1）如题 21-1 图是传说中毕达哥拉斯的证法图，四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个较大正方形：大正方形的面积为_____（用，表示）；中间较大正方形的面积为；根据图形得，即。
（2）如题 21-2 图是赵爽弦图，四个全等的直角三角形可以围成一个正方形，中空的部分是一个小正方形，请你模仿题 21-1 图的思路列式得出结论。
【探究拓展】
（3）如题 21-4 图，分别以的边，，为边画等边三角形，设三个等边三角形的面积分别为，，，请探究，，之间的数量关系，并运用勾股定理证明；
（4）如题 21-5 图，分别以的边，为直径画半圆，再以斜边为直径画半圆且过点，若，，则所得两个月型图案面积之和（即）为_____。
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
如题 22 图，已知反比例函数图象经过点，点，关于轴对称，连接，，将绕点顺时针旋转得到。
（1）证明：点在反比例函数图象上；
（2）设直线交轴于点，交轴于点，已知。
①当时，连接，求的面积；
②若，当时，求的取值范围。
【问题背景】
为了探究一个三角形绕着某个固定顶点旋转过程中不同线段之间的关系，九年级同学们在综合实践课中进行了动手操作，发现一个三角形在绕着一个顶点的旋转过程中会出现不同的相似三角形。已知纸片，，，，将绕点顺时针旋转得到。
【构建联系】
（1）如题 23-1 图，连接，，请直接写出_____。
【拓展探究】
（2）如题 23-2 图，连接，延长交于点，交于点。
①当经过中点时，请探究与的位置关系，并求的长；
②在动手操作过程中，设旋转角为，请用表示。
【深入探究】
（3）在动手操作过程中，设旋转角为，连接，，试探究，，三点能否构成直角三角形？若能，请直接写出直角三角形中的长；若不能，请说明理由。
参考答案
1.C　2.B　3.A　4.C　5.D　6.B　7.D　8.A　9.B
10.C　【解答】根据题意A(1，4) ，B(4，1) ，C(-4，-1) ，
∴根据勾股定理得OA=OB=OC，
易证∠CAB=90°，
∵由勾股定理知AB==3，
AC==5，
∴在Rt△ACB中，tan∠ACB==.
11.-　12.y=x2+2x(答案不唯一) 　13.1　14.
15.6+2　【解答】如图，作点F关于BD的对称点F'，
∴GF=GF'，且AF'=2，F'为定点，
在菱形ABCD中，AB=CB=6，∠A=∠C=60°，
∵BE=FC=2，∴EC=4，
∴在△CEF中，过点F作FH⊥BC，
∵∠C=60°，CF=2，
∴CH=1，FH=，∴EH=4-1=3，
∴FE==2，
∵△EFG周长为EF+GF+GE，
且GF+GE=GF'+GE，
当E，G，F'三点共线时，GF'+GE最小，此时GF'+GE=F'E，
∵AF'=BE=2，且菱形ABCD中，AF'∥BE，
∴四边形AF'EB为平行四边形，
∴F'E=AB=6，
∴△EFG周长的最小值为EF+F'E=6+2.
16.解：原式=2+1+2--……4分
=5-.……7分
17.解：(1) 如图1，直线l即为所求.……3分
图1
(2) 如图2，延长OB与切线l交于点C，
图2
∵AC与☉O相切，
∴OA⊥AC，……4分
∵在☉O中，OA=OB=BC=2，
∴在Rt△OAC中，cos∠AOC===，
∴∠AOC=60°，……5分
∴的长为=π.……7分
18.解：已知AB垂直于地面，CD⊥AB，CD=10.5 m，
∠ACD=53.2°，∠BCD=45°，……1分
在Rt△CDB中，∠BCD=45°，
∴tan∠BCD==1，
∴BD=CD=10.5 m，……3分
在Rt△ACD中，∠ACD=53.2°，
∴tan∠ACD=≈1.34，
∴AD=1.34CD=14.07(m) ， ……5分
∴AB=BD+AD=10.5+14.07=24.57≈24.6(m) .……6分
答：估算此碉楼的高度AB为24.6 m.……7分
19.解：(1) 120　35　……2分
(2) 根据(1) 知参加问卷调查的总人数为120人，因此对“三步上篮”感兴趣的人数=120-24-42-36=18人，如图补全条形图，有氧慢跑所占圆心角的度数=×360°=108°.……5分
(3) 设擅长竞速跳绳的两男一女为A1，A2，B1，设擅长足球绕杆的一男一女为A3，B2，
画树状图如下：
…… 7分
由树状图得，共有6种等可能结果，其中结果是表示一男一女的有3种，…… 8分
因此P==.　……9分
20.解：(1) 设B队每小时检查x户，则A队每小时检查(x+4) 户，
……1分
根据题意得=，……2分
解得x=12.……3分
检验：把x=12代入最简公分母x(x+4) ≠0，……4分
∴x=12是原分式方程的解，
∴A队每小时检查12+4=16(户) .
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户.……5分
(2) 设租用M型货车m辆，则租用N型货车(10-m) 辆，
根据题意得2m+1.5(10-m) ≥17，
解得m≥4，
∴4≤m≤10，且m为正整数，……6分
设总费用为W元，
∴W=50m+40(10-m) =10m+400，……7分
∵10>0，∴W随m的增大而增大，
∴当m=4时，W有最小值，此时需N型货车：10-m=10-4=6 (辆) ，Wmin=10×4+400=440(元) .
……8分
答：租用4辆M型货车、6辆N型货车时，总费用最低，最低总费用是440元.……9分
21.解：(1) (a+b) 2　2ab　a2 +b2=c2……2分
(2) 根据题21-2图得，以c为边长的正方形的面积为c2，
四个全等的直角三角形的面积之和为4×ab=2ab，……3分
中间小正方形的面积为(b-a) 2，
∴c2=(b-a) 2+2ab=a2+b2 .……4分
(3) S3=S1+S2，证明如下：……5分
根据题意得△ABD∽△EBC，△ABD∽△AFC，
∵AB=c，AC=b，BC=a，
∴S△ABD∶S△EBC∶S△AFC=c2∶a2∶b2，
∴设S△ABD=c2x，S△EBC=a2x，S△AFC=b2x，
∴S△EBC+S△AFC=a2x+b2x=(a2+b2) x， S△ABD=c2x，
……6分
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴a2+b2=c2，
∴S△EBC+S△AFC=S△ABD，即S1+S2=S3.……7分
(4) ……9分
22.(1) 证明：∵点A在y=(k>0) 上，
∴设点A(a>0) ，……1分
∵点A，B关于y轴对称，
∴B，
∵OB绕点O顺时针旋转90°得到OC，
∴根据旋转的性质得C，……2分
∴xC·yC=k，
∴点C在反比例函数y=图象上.……3分
(2) 解：①根据轴对称及旋转的性质得OA=OB=OC，
如图，过点O作OF⊥AC，得到AF=CF，证AB交y轴于点H.
∵A，C，O(0，0) ，
∴F，
∴直线OF的解析式为y=x，
∴OF平分∠EOD，
∴∠EOF=∠DOF=45°，
又∵OF⊥AC，
∴∠DEO=∠EDO=45°，
∴OE=OD，△EOD为等腰直角三角形，……4分
∴OF=EF，
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB⊥y轴，AB∥x轴，BO=AO，AH=BH，
∴∠EAH=∠EDO=45°，……5分
∴△AEH为等腰直角三角形，且AH=BH=AB，……6分
设AH=BH=x，AE=x，
∵AC=2AB，∴AB=2x，AC=4x，AF=CF=AC，
∴AF=AB=2x，AE+AF=EF=FO=x+2x，……7分
∵在Rt△AOF中，AO2=AF2+FO2，
∴(2x) 2+(x+2x) 2=() 2，
解得x2=，……8分
∴S△AOC=AC·OF=×4x·(x+2x) =x2
=×=，……9分
②当∠AOC=30°，根据(2) ①得到∠DEO=∠EDO=45°，AO=CO，
∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAO=∠DCO，∴△EAO≌△DCO，
∴∠EOA=∠DOC==30°，
∵AO=BO=，在Rt△HAO中，∠HOA=30°，
∴AH=，OH=，
∴A.……10分
∴k=xA·yA==.……11分
如图，当∠AOC=60°，以AC为对角线构造正方形，
∴∠NAC=∠NCA=45°，
∴AN∥x轴，NC∥y轴，
根据(2) ①得到OA=OC，OA=，
∴△ACO为等边三角形，
∵OF⊥AC，∴∠AOF=∠COF=30°，
∴OF=，AF=，∴ON=+，
∵yOF=x，∠FOD=45°，∴N，
∵AN=AF=1，∴A，……12分
∴k=xA·yA=×=，
∴k的取值范围为≤k≤.……13分
23.(1) ……1分
【解答】∵AC⊥BC，AC=6 cm，BC=8 cm，
∴根据勾股定理得AB=10 cm，
∵Rt△ABC绕点A顺时针旋转过程得到Rt△AED，
∴Rt△ABC≌Rt△AED，
∴AD=AC，AE=AB，∠CAD=∠BAE，
∴=，
∴△ADC∽△AEB，
∴==.
(2) 解：①DM∥AE，理由如下：……2分
∵在Rt△ABC中，M是AB的中点，
∴AM=CM=5 cm，∴∠MAC=∠MCA，
∵Rt△ABC≌Rt△AED，
∴AD=AC=6 cm，∠MAC=∠DAE，
∴∠ADC=∠MCA，
∴∠ADC=∠DAE，
∴DM∥AE.……3分
∵∠ACM=∠DCA，∠MAC=∠ADC，
∴△CAM∽△CDA，
∴AC2=CM·CD，……4分
∴6×6=5CD，
∴CD=，……5分
∴DM=CD-CM=-5=(cm) .……6分
②在Rt△ABC旋转过程中，Rt△ABC≌Rt△AED，
如图1，连接AH，
图1
∴∠E=∠B，AD=AC，∠CAD=α，
又∠AFE=∠HFB，
∴△AFE∽△HFB，
∴==，……7分
∵∠ADH=∠ACH=90°，AD=AC，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴∠HAC=，……8分
在Rt△ACH中，AC=6 cm，
∵tan∠HAC=，
∴CH=6tan，
∴BH=8-6tan，……9分
∴===-tan.……10分
(3) 解：B，D，E三点能构成直角三角形，在旋转过程中，EB= cm或4 cm或8 cm或12 cm.……14分
【解答】①如图2，当点D在△ABC内，BD⊥BE，
图2
∵由旋转的性质得AE=AB，过A作AF⊥BE，AF与ED交于N，
∴EF=FB，FN∥BD，∴EN=ND，
∴FN是△EBD的中位线，∴BD=2FN，
易证△ADN∽△EFN，且AD=6 cm，ND=4 cm，
∴==，
设FN=2x，EF=3x(x>0) ，
∴BD=4x，EB=6x，
在Rt△EBD中，+=82，
∴x2=，
∴x=(舍去负值) ，
∴EB=6x= cm.……11分
②如图3，当点D在AB上时，AD与AB重合，ED⊥BD，
图3
BD=10-6=4(cm) ，DE=8 cm，∴EB=4 cm.……12分
③如图4，当D在BA的延长线时，BD⊥DE，
图4
BD=16 cm，DE=8 cm，∴EB=8 cm.……13分
④如图5，当BE⊥DE时，AE=AB，过A作AF⊥BE，且AD⊥DE，
图5
得到矩形ADEF，即AD=EF=BF=6 cm，
EB=12 cm.……14分

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