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中考数学仿真模拟预测卷（2）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
广东省 “南粤家政” 工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为 0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为 - 0.003，+0.002，-0.005，+0.004，其中最接近标准值的是（ ）
A. -0.003 B. +0.002 C. -0.005 D. +0.004
五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
已知，则分式的值为（ ）
A. B. C. D.
下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
依据《广东省海洋经济发展 “十四五” 规划》，2025 年全省海洋生产总值预计突破 1.8 万亿元，数据 1.8 万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（ ）
A. 出现点数为 2 的概率是
B. 出现点数为 0 是随机事件
C. 出现点数为奇数是不可能事件
D. 出现点数为偶数是必然事件
某智能电桩充电公司 2024 年第一季度净利润为 100 万元，第三季度净利润增长到 144 万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
如图，已知与位似，位似中心为点，且与的周长之比是 4∶3，则的值为（ ）
A. 4∶7 B. 7∶3 C. 4∶3 D. 16∶9
如图，点在轴的负半轴上，且，将线段绕点顺时针旋转 60° 得到线段，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
如图，用四个全等的直角三角形拼成 “赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点。若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
4 的算术平方根是___________.
若，则____0。
如图，，，，则__________°。
如图，是的直径，是的弦，若，，则________。
如图，在中，，，。动点，分别在边，上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为________
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
计算：。
先化简，再求值：，其中是方程的解。
在《阿基米德全集》的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理。如图，已知，是弦上一点。求作：弦
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点，垂足为点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接。
（2）引理的结论为。请完成下面的证明：
证明：连接，，，。
∵为的垂直平分线，
∴，∴，
又∵四边形为圆的内接四边形，
∴________________（填推理的依据），
∴，
又∵，∴，
又∵，∴________________________（填推理的依据），
∴，∴。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，点在射线上，点的坐标为。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，若，求点的坐标。
某校开展党史知识进校园活动，随机抽取了部分学生进行党史知识测试，并将测试结果分为：A 优秀，B 良好，C 合格，D 不合格。将测试的结果绘制成如图所示不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）该校共有 800 名学生，请你估计成绩为 “良好” 及以上的学生有多少名？
（3）在测试成绩为 “优秀” 的学生中有 4 名学生满分，他们中有 3 名男生和 1 名女生，学校想从这 4 人中任选 2 人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率。
综合与实践。
【了解定义】如图 1，在和中，，，点，在底的同侧。我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形。在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线。如图 1 中和是腰角，线段是轴线。
【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边。小明利用图 1 给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明。
（1）已知：如图 1，和是同位等腰三角形，连接。求证：，直线是线段的垂直平分线。
【探究运用】（2）如图 2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接。求证：和是同位等腰三角形。
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分）
【问题背景】已知在平面直角坐标系中有一个边长为 6 的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在点处。
【问题初探】
（1）如图 1，当时，求点的坐标；
（2）如图 2，连接，当时，
①求点的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
【拓广探索】
（3）当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围。
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线：过原点，顶点为，直线过原点和点。
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图 2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设其顶点为，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点。
①当时，求点的横坐标；
②若点的横坐标为，请猜想并写出与的关系（不写推理过程）；
③如图 3，若点在第一象限内，设与轴正半轴的夹角为，当时，求点的坐标。
参考答案
1.B　2.C　3.D　4.B　5.A　6.A　7.A　8.B　9.C　10.B　11.2　12.>　13.20°　14.2　15.1
16.解：原式=1+2 +2×+1=1+2 ++1=4.
17.解：原式=·+
= 1+=1，
由a2+3a+2=0，
解得a1= 1，a2= 2，
∵a≠0，a≠ 1，a≠1，
∴a= 2，
∴原式= 1= .
18.（1）解：如图，BF即为所求.
（2）DA　DC　∠DFB　圆内接四边形的对角互补　等弧所对的圆周角相等
19.解：（1）将点A（m，3）代入y=x，得3=m，可得m=2，
∴点A的坐标为（2，3），
设反比例函数的表达式为y=（k≠0），
把x=2，y=3代入y=，可得k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y=.
（2）如图，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，
设点B的坐标为，可得BH=b，CH=6 b，
在Rt△BCH中，tan∠BCO==3，
∴=3，解得b=4，经检验b=4是分式方程的解，
∴b=×4=6，∴点B的坐标为（4，6）.
20.解：（1）本次调查的学生人数为15÷30%=50（人），
∴C合格的人数为50 15 10 5=20（人），
补全条形统计图如图：
（2）800×=400（名）.
答：估计成绩为“良好”及以上的学生有400名.
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，
∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为=.
21.证明：（1）∵△ABC和△DBC是同位等腰三角形，
∴AB=AC，DB=DC.
∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC ∠DBC=∠ACB ∠DCB，
即∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线.
（2）如图，作射线AG交BC于点H，
∵AE⊥CD，垂足为E，∴∠AEG=∠CEF=90°，
∴∠GAE+∠AGE=90°，
∵∠ACE=45°，∴∠CAE=90° ∠ACE=45°，
∴∠CAE=∠ACE，∴AE=CE，
∵EF=EG，∴△AEG≌△CEF（SAS），
∴∠GAE=∠FCE.
∵∠AGE=∠CGH，
∴∠CGH+∠FCE=90°，
∴∠GHC=180° ∠CGH ∠FCE=90°，∴AH⊥BC，
∵AB=AC，∴BH=CH，∴GB=GC，
∴△ABC和△GBC是同位等腰三角形.
22.解：（1）如图1，连接OO'，交AM于点Q，过O'作O'N⊥OC于点N，
图1
∵将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O'处，
∴AO=AO'=6，OM=O'M，∠OAM=∠O'AM=30°，
∴OO'⊥AM，OQ=O'Q，
∴∠OAO'=60°，∴△OAO'是等边三角形，
∴OO'=AO=6，
∵∠AOM=90°，∠AOO'=60°，
∴∠O'ON=30°，
∴O'N=OO'=3，∴ON=O'N=3，
∴点O'的坐标（3，3）.
（2）①∵CO'∥AM，
∴∠AMO=∠MCO'，∠AMO'=∠MO'C，
∵∠AMO=∠AMO'，
∴∠MCO'=∠MO'C，
∴MC=MO'，
∴MC=MO'=OM，
∵OM+MC=OC=6，
∴OM=OC=3，
∴M（3，0）.
②如图2，连接OB，交AM于点Q，交AO'于点P，过Q作QD∥OA，交AO'于点D，作O'E⊥OC于点E，
图2
由①得tan∠AMO==2=tan∠O'CE=，
设CE=x，则ME=3 x，O'E=2x，
在Rt△O'EM中，由勾股定理得O'M2=ME2+O'E2，
∴32=（3 x）2+（2x）2，
解得x=或x=0（不合题意，舍去），
∴O'E=2x=，OE=6 x=，∴O'，
设AO'的函数解析式为y=kx+b，
将点A，O'的坐标分别代入y=kx+b，
得，解得，
∴AO'的函数解析式为y= x+6，
同理可得AM的函数解析式为y= 2x+6，OB的函数解析式为y=x，
联立AM，OB的函数解析式，得，解得，
∴Q（2，2），∴xD=2，yD= ×2+6=，
∴D，同理可得P，
∴S△AQP=××=，
∴△AO'M与△AOB重叠部分的面积为.
（3）线段CO'的取值范围为66≤CO'<6.
【解析】如图3，连接AC，
图3
∵将△AOM沿直线AM对折，使点O落在点O'处，
∴AO=AO'，
∵CO'≥AC AO'，O'在以A为圆心，AO为半径的圆弧上运动，
当A，O'，C三点共线时，CO'取得最小值，
在Rt△AOC中，
由勾股定理得AC==6，AO'=AO=6，
∴CO'的最小值为66，
综上所述，线段CO'的取值范围为66≤CO'<6.
23.解：（1）∵抛物线C1：y=a（x 2）2 2过原点（0，0），
∴将（0，0）代入抛物线的解析式可得0=a（0 2）2 2，
即4a 2=0，解得a=，
∴抛物线C1的解析式为y=（x 2）2 2=x2 2x，
由抛物线C1的解析式y=（x 2）2 2可知顶点P的坐标为（2， 2），
设直线l的解析式为y=kx（k≠0），
将P（2， 2）代入y=kx可得 2=2k，解得k= 1，
∴直线l的解析式为y= x.
（2）①∵抛物线C1的顶点P（2， 2）沿射线OP平移得到抛物线C2的顶点A（t， t）（t>2），
∴抛物线C2的解析式为y=（x t）2 t，
当t=10时，抛物线C2的解析式为y=（x 10）2 10，
联立抛物线C1与C2的解析式得，
解得，∴点B的坐标为.
②t=2n.　【解析】联立抛物线C1与C2的解析式得，
解得x=，
∵点B的横坐标为n，∴n=，即t=2n.
③设抛物线C2的解析式为y=（x t）2 t，
由②知点A的横坐标是点B的横坐标的两倍，
则点A的坐标为（t， t），点B的横坐标为，
将x=代入y=x2 2x，
得y=t=·t==，
∴点B的坐标为（t>8），
如图3，过点B作BD⊥y轴于点D，∴∠BDO=90°，
∴tan∠DOB====.
作OC⊥OA交直线AB于点C，
∵直线OA的解析式为y= x，
∴直线OC的解析式为y=x，
设直线AB的解析式为y=k1x+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y= x+，
联立直线AB和直线OC的解析式为 x+=x，
解得x=，
∴点C的坐标为，
∴OC==，
OA==t，
∴tan∠OAB===，
∵∠DOB=∠OAB=α，
∴tan∠DOB=tan∠OAB，∴=，
解得t1=8+4，t2=8 4（舍去），
∴点B的坐标为（4+2，6+4）.

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