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中考数学仿真模拟预测卷（3）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
下列运动器械的平面图中，既是轴对称图形，又是中心对称的是（ ）
如题 3 图，第 9 届亚冬会 30 克银质纪念币是人民银行首次发行的正六边形贵金属纪念币，以独特的 “仿雪花结构” 展现中国冰雪文化，同时呼应本届亚冬会六大类赛事，则该正六边形的一个外角为（ ）
A. B. C. D.
如题 4-1 图，在 2025 年 9 月 3 日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵仪式上，拉彩雾的歼 - 10 表演机拉出 14 道相互平行的彩烟，象征中华民族 14 年抗战历程和 14 亿人民的复兴愿景。其队形示意图如题 4-2 图所示，已知，，为的角平分线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无实数根
如题 8 图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
观察下列数据：，，，，，。按此规律，第个数是（ ）
A. B. C. D.
如题 10 图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处。若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
化简：_____。
已知二次函数的顶点为，则该二次函数的解析式可以是_____（写出一个即可）。
近些年某市出台的 “助农计划” 增加了广大农户的收益。已知农户甲 2023 年纯收入为 2 万元，经 “助农计划” 帮扶，到 2025 年农户甲的纯收入增长到 3.92 万元，设农户甲 2023 年到 2025 年纯收入的年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____。
如题 14 图，在中，，，，为的中点，则的周长为_____。
如题 15 图，是正方形的外接圆，点为边上的一点，半径为，则图中阴影部分的面积为_____。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
计算：。
如题 17 图，是的直径，点为上一点，平分交于点，连接。若，，求的长。
蒸笼数量/ 个 1 2 3 4
总高度/cm 8 14.5 21 27.5
广东早茶是岭南饮食文化的瑰宝，而蒸笼（如题 18 图）则是承载这份美味的经典器皿。传统的竹制蒸笼在叠放时，上一个蒸笼的底部会严丝合缝地卡在下一个蒸笼的顶部边缘外，既稳固又保温。某茶楼使用的是规格相同的圆柱形小蒸笼，单个高度为。店员小明在整理时发现，当它们整齐叠放成一摞时，总高度与蒸笼的数量之间存在某种规律。他测量得到了如下数据：
（1）请依据小明的测量数据，求出总高度与蒸笼数量之间的函数关系式；
（2）已知该茶楼消毒柜一层的隔间高度为，请问最多可以将多少个这样的蒸笼整齐地叠放成一摞放入该隔间？
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
如题 19 图，在四边形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线交的延长线于点。
（1）有下列条件：
①点，点关于所在直线对称；
②平分，点为的中点；
③平分，。
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是菱形，且，，求线段的长。
2025 年全国运动会落地粤港澳大湾区，这是全运会首次由多城市联合承办，赛事设置了 “竞技项目 + 群众项目” 双轨体系，其中龙舟、武术等传统项目，攀岩等新增项目均纳入赛程。为响应国家 “全运惠民、全民参与” 的办赛理念，某校以 “全运会项目进校园” 为主题开展体育实践活动，为精准设计活动内容，学校德育处联合体育组随机抽取该校七、八年级若干名学生，开展关于 “全运会项目参与及兴趣” 的问卷调查，调查信息如下：
调查问卷
1.你每月参与全运会项目(含学校组织的体验活动、自主练习) 的次数(　　) (单选)
A.1≤x<3 B.3≤x<5 C.5≤x<7 D.x≥7
2.2025全运会设置了竞技、群众两类项目，你最想系统学习的全运会特色项目有(　　) (可多选) E.龙舟　　F.击剑　　G.攀岩　　H.武术
每月参与全运会项目的次数统计图
题20图
最想学习的全运会项目统计表
最想学习的全运会项目统计表
项目类别 群众类 竞技类 竞技类 群众类
具体项目 龙舟 击剑 攀岩 武术
百分比 65% 30% 55% 70%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与本次问卷调查的学生总人数；
（2）该校七、八年级共有 1200 名学生，估计每月参与全运项目次数不低于 5 次的学生人数；
（3）结合调查数据，写出一条关于学生参与或兴趣偏好的结论，并向学校提出一条助力 “全运项目进校园” 的可落实建议；
（4）从 2 名男生、1 名女生中，随机抽取 2 人担任 “全运项目校园宣传员”，求抽取的 2 人中恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率。
综合与实践。
杠杆是最古老的简单机械之一，在生活和生产中广泛应用。某小组发现：对于利用杠杆原理撬动石头的物理实验，结合数学知识能进行更精确地作图和更严谨地分析。请完成下列探究方案中的任务。
【知识背景】如题 21-1 图，撬动石头时，根据杠杆平衡原理有：，其中是在点施加的动力，是在点施加的阻力，其大小与石头重力相等，是动力臂（支点到动力作用线的垂直距离），是阻力臂（支点到阻力作用线的垂直距离）。
【任务探究】已知石头重力，杠杆与水平地面的夹角为，，。
任务一：确定阻力臂的长度
（1）尺规作图：在题 21-2 图中画出阻力臂，并计算阻力臂的长度；
任务二：确定最省力的方向
（2）请在题 21-2 图的点处画出使杠杆平衡所需的最小动力的方向，当阻力和阻力臂一定时，请从数学角度（结合杠杆原理）说明为什么这个方向的动力最小；
任务三：计算最小动力
（3）根据任务一和任务二的结果，计算最小动力的大小。
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
【知识储备】
（1）如题 22-1 图，已知线段，点为直线上的动点，则的最小值为_____，依据是_____。
【解决问题】
如题 22-2 图，在四边形中，，对角线，，如何求的最小值？
（2）小明同学解决此问题的方法是：如题 22-3 图，过点作，且，连接，。通过证明四边形为平行四边形，将求的最小值转化为求的最小值，即可得出结论。请你根据小明的方法，写出完整的解答过程。
【学以致用】
（3）如题 22-4 图，在四边形中，，对角线，求的最小值。
【拓展延伸】
（4）如题 22-5 图，在四边形中，，对角线，，请直接写出的最小值。（用含，，的式子表示）
已知抛物线和直线（其中），直线经过定点，与抛物线交于，两点（点在点的右侧）。
（1）求点的坐标；
（2）如题 23-1 图，当时，求证：以为直径的圆与直线：相切；
（3）如题 23-2 图，若点在线段上满足，求的值。
参考答案
1.C　2.D　3.C　4.A　5.A　6.D　7.B　8.B　9.C
10.D　【解答】如图，连接DM交EF于点N，
∵△EDF沿EF折叠得到△EMF，
∴EF垂直平分DM，∠EFM=∠EFD，
∴∠DNF=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AB=CD，
∴∠DNF=∠C=90°，
∴∠EFD=90°-∠MDC，∠DMC=90°-∠MDC，
∴∠EFD=∠DMC，
又∵∠EFM=∠EFD，∴∠EFM=∠DMC，
设BC=6x，则CM=BC=3x，CD=AB=4x，
在Rt△MDC中，根据勾股定理得MD==5x，
∴sin∠DMC===，∴sin∠EFM=sin∠DMC=.
11.　12.y=(x-2) 2+1(答案不唯一)
13.2(1+x) 2=3.92　14.9+3
15.π+2　【解答】如图，连接AC，OB.
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，
∴AC经过圆心O，∠AOB=∠BOC=90°，
∵AB∥DC，∴S△AEB=S△ACB，
∴S阴影=S扇形AOB+S△BOC，
又∵S扇形AOB==π，
S△BOC=OB·OC=×2×2=2，
∴S阴影=S扇形AOB+S△BOC=π+2.
16.解：原式=2×-+1-2……4分
=-+1+1-2……6分
=0.……7分
17.解：如图，连接OD，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°，……1分
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=45°，……2分
∵=，
∴∠ACD=∠ABD=45°，∠AOD=2∠ACD=90°，……4分
在Rt△BOD中，
OB=BD·cos∠ABD=2×=2，……5分
∴AB=2OB=4，……6分
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
BC===2.……7分
18.解：(1) 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0) ，
……1分
把(1，8) ，(3，21) 分别代入得，……2分
解得，……3分
∴y与x之间的函数关系式为y=x+.……4分
(2) 依题意得x+≤55，……5分
解得x≤，……6分
∵x取最大整数，∴x=8，
∴最多可以将8个这样的蒸笼整齐地叠放成一摞放入该隔间.……7分
19.解：(1) 选择条件①，证明如下：
∵点A，点C关于BD所在直线对称，
∴BD⊥AC，AO=CO，……1分
∵AD∥BE，∴∠ADO=∠CBO，
在△ADO和△CBO中，，
∴△ADO≌△CBO(AAS) ，……2分
∴AD=BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，……3分
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形.……4分
选择条件②，证明如下：
∵点O为BD的中点，∴BO=DO，
∵AD∥BE，
∴∠ADO=∠CBO，……1分
在△ADO和△CBO中，，
∴△ADO≌△CBO(ASA) ，……2分
∴AD=BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，……3分
∵BD平分∠ADC，∴∠ADO=∠CDO，
又∵∠ADO=∠CBO，
∴∠CDO=∠CBO，∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形.……4分
选择条件③，证明如下：
∵AC平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，……1分
在△BAC和△DAC中，，
∴△BAC≌△DAC(ASA) ，……2分
∴AB=AD，BC=CD，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，……3分
又∵AB=AD，BC=CD，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形.……4分
(2) ∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=AC，AD=BC=CD=5，
∴BE=BC+CE=5+3=8，……5分
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，
在Rt△CED中，由勾股定理得DE===4，……6分
在Rt△BED中，由勾股定理得BD===4，……7分
∵S菱形ABCD=DE·BC=AC·BD=OC·BD，……8分
即DE·BC=OC·BD，
∴OC===.……9分
20.解：(1) 28÷14%=200(人) .……1分
答：参与本次问卷调查的学生总人数为200.……2分
(2) 1 200×=780(人) .……3分
答：估计每月参与全运项目次数不低于5次的学生人数为780人.……4分
(3) 学生对群众类项目的兴趣高于竞技类项目，其中武术的兴趣占比最高.建议学校可优先开设武术的体验课程，利用大课间组织武术基础动作练习，提升学生参与度.(答案不唯一) ……6分
(4) 由题意可列树状图如下：
……8分
共有6种等可能结果，记“抽取的2人中恰好是1名男生和1名女生”为事件A，它有4种等可能结果，∴P==.……9分
21.解：(1) 如图1，OC即为所求，
图1
……2分
∵OC⊥AC，DA⊥AC，
∴∠OCA+∠DAC=90°+90°=180°，∴OC∥AD，
∵∠DAO=30°，
∴∠COA=30°，……3分
在Rt△OAC中，OC=OA·cos∠COA=×=(m) ，
∴阻力臂L阻的长度为 m.……4分
(2) 如图2，F动即为所求，
图2
……5分
根据杠杆平衡原理F动L动=F阻L阻 ，当阻力F阻和阻力臂L阻一定时，F动=，F动与L动成反比，L动越大，F动越小.……6分
动力臂L动是支点O到动力作用线的距离，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当动力方向不垂直于OB时，L动(3) 当动力臂最长时，L动=OB=2.5 m，
已知F阻=G=1 000 N，L阻= m，
根据杠杆平衡原理：F动L动=F阻L阻，
∴F动===100(N) ，
∴最小动力F动为100 N.……9分
22.解：(1) 6……1分
两点之间，线段最短……2分
(2) 过点D作DE∥AB，截取DE=AB，连接CE，AE，
∴AB+CD=DE+CD，
根据两点之间，线段最短，DE+CD的最小值为CE，……3分
∵DE∥AB，DE=AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴BD∥AE，AE=BD，
∴∠CAE=∠AOB=90°，……4分
在Rt△CAE中，由勾股定理得CE===，
∴AB+CD的最小值为.……5分
(3) 如图1，过点D作DE∥AB，截取DE=AB，连接CE，AE，
图1
∴AB+CD=DE+CD，
根据两点之间，线段最短，DE+CD的最小值为CE，……6分
∵DE∥AB，DE=AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，∴BD∥AE，BD=AE，
∴∠CAE=∠AOB=60°，……7分
又∵AC=BD，∴AC=AE，
∴△CAE为等边三角形，……8分
∴CE=AC=AE=5，
∴AB+CD的最小值为5.……9分
(4) AB+CD的最小值为.……13分
【解答】如图2，过点C作CE∥AB，截取CE=AB，连接BE，DE，
图2
∴AB+CD=CE+CD，
根据两点之间，线段最短，CE+CD的最小值为DE，
∵CE∥AB，CE=AB，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC∥BE，AC=BE=a，∴∠DBE=∠AOB=β，
如图2，过点D作CF⊥BE于点F，
在Rt△BDF中，BF=BD·cos∠DBE=bcos β，
DF=BD·sin∠DBE=bsin β，
∴EF=BE-BF=a-bcos β，
在Rt△DEF中，由勾股定理得
DE==
=，
∴AB+CD的最小值为.
23.(1) 解：把x=1代入y=k+2得y=2.……1分
∴点P的坐标为(1，2) .……2分
(2) 证明：把k=-1代入y=k+2得y=-x+3.
∵直线与抛物线交于M，N两点，
∴联立得，解得或，
∵点N在点M的右侧，
∴N(3，0) ，M(0，3) ，……3分
∴OM=ON=3，
又∵∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，……4分
在Rt△MON中，MN==3，
∵MN为圆的直径，
∴半径r==，……5分
如图1，过点N作NA⊥直线l于点A，直线l与x轴交于点B，
图1
把y=0代入y=-x+6得x=6，
∴BN=6-3=3，
∵y=-x+3与y=-x+6平行，
∴∠ABO=∠MNO=45°，……6分
在Rt△ABN中，AN=BN·sin∠ABO=，
∵平行线间距离相等，∴圆心到直线l的距离d=AN=，
……7分
∴圆心到直线l的距离d等于半径r，
∴以MN为直径的圆与直线l：y=-x+6相切.……8分
(3) 解：如图2，过点P作y轴的平行线CD，过点M作MC⊥CD于点C，过点N作ND⊥CD于点D，
图2
∵MC⊥CD，ND⊥CD，∴∠C=∠D=90°，
∴MC∥ND，
∴△MCP∽△NDP，……9分
∴==，
∴==，
∴xN+3xM=4①，……10分
∵直线y=k(x-1) +2与抛物线交于M，N两点，
∴由得k(x-1) +2=-x2+2x+3，
整理得x2+(k-2) x-k-1=0，
∴xN+xM=-=2-k②，……11分
xN·xM==-k-1③，……12分
由①②得，……13分
代入③得·=-k-1，
解得k2=，
∵k<0，
∴k=-=-.……14分

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