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中考数学仿真模拟预测卷（4）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
的相反数是（ ）
A. B. C. D.
若，则的余角的大小是（ ）
A. B. C. D.
平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
“天宫课堂”开课时，航天员从包含“浮力消失”“水膜张力”和“液体结晶”的三个实验中随机抽取一个进行演示，则抽到“水膜张力”的概率是（ ）
A. B. C. D.
如题5图，，将一直角三角板的直角顶点放在直线上，点放在直线上。已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
题5图
不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
如题7图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固。经测量的周长为20米，则加固木条所组成的
的周长为（ ）
A. 5米 B. 10米 C. 15米 D. 20米
题7图
如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 扩大到原来的4倍
在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如题9图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为160 cm，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为40 cm。若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（ ）
A. 80 cm B. 100 cm C. 120 cm D. 140 cm
题9图
已知二次函数的图象如题10图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
分解因式：________
计算：________
如题13图，为的平分线，过点作交于点，已知的长为3，则点到线段的距离为________
题13图
若是关于，的二元一次方程的一个解，则________
如题15图，的顶点在反比例函数的图象上，且，已知点的坐标为，则点的坐标为________
题15图
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
先化简，再求值：，其中。对于这道题，小华的解法如下：
解：原式=-· 第①步
=- 第②步
= 第③步
=， 第④步
当=-1时，原式=1-(-1) =-2. 第⑤步
小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程.
如题17图，在中，，平分交于点。
（1）尺规作图：过点作，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，，求线段的长。
题17图
2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动（满分100分），现从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下：
信息一：数据收集（单位：分）
七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96。
信息二：数据整理与分析
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 79
八年级 80 84 188.6
（1）填空：，，________；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀？请从两个不同的统计角度说明理由。
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
【探究背景】图形的旋转是初中几何图形变化中的一个重要内容，数学“冲刺组”的同学为进一步探究旋转的相关内容，利用几何画板绘制了如下图形进行动态操作：如题19-1图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得，点的对应点为点，点的对应点为点。
【特例感知】
（1）如题19-2图，连接，，当点恰好落在线段上时，判断四边形的形状，并证明；
【猜想证明】
（2）如题19-3图，连接，，在旋转的过程中，同学们发现和的比值始终为一个定值，请你求出这个比值。
广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速。某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务。现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：A型无人机：适用于城市内短途配送；B型无人机：适用于跨城际长途配送。
素材二：已知采购2架A型无人机和3架B型无人机总价为92万元；采购4架A型无人机和1架B型无人机总价为56万元。
素材三：该公司欲采购这两种无人机共44架。根据大湾区配送网络规划：①A型无人机数量不少于B型无人机的3倍，以确保城市内配送密度；②B型无人机至少采购5架，以满足跨城际配送需求。
任务一（1）确定A型无人机和B型无人机的单价；
任务二（2）请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金。
综合与实践
【主题】汽车盲区与行车安全实践探究
【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域。在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故。如题21-1图为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域。
素材二：如题21-2图，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度，双眼与车头连线上某点与地面距离，该点与车头水平距离，驾驶员与车头水平距离，点在上，。
素材三：如题21-3图，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为72 km/h的摩托车。如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2 s的反应时间。已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为32 m，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为42 m，小汽车车尾盲区为正后方长为5 m的矩形区域。
【问题解决】
（1）①如题21-2图，求车头盲区的长度；②在处有一个高度为0.5 m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
（2）如题21-3图，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持________m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区。
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
已知抛物线（为常数且）。
（1）无论取何值，抛物线都过两个定点，（点在点的左侧），请求出这两个定点的坐标；
（2）若，当时，二次函数的最大值与最小值相差9，求的取值范围；
（3）将（1）中点与点之间的函数图象记作图象（包含点，），若将图象在轴上方的部分保持不变，下方的部分沿轴进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为，求的值。
【数学定义】在平面直角坐标系中，对于已知点，，，给出如下定义：若点恰好在以为直径的圆上，且满足，则称点为点与点的“圆生点”。
【问题背景】如题23-1图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，。
【初步探究】
（1）点的坐标为________，点的坐标为________；
（2）若已知坐标系中一点的坐标为，则该点与点的“圆生点”的坐标是________；
【问题解决】
（3）如题23-2图，作轴，作轴，与相交于点，点在射线上，点在轴上，若点恰好是点与点的“圆生点”，设，的面积为，请求出关于的关系式；
（4）若以轴上的一点为圆心，2为半径作，点为轴上的动点，在上存在点，使得点恰好为点与点的“圆生点”，请直接写出的取值范围。
答案解析
1.A　2.B　3.C　4.A　5.D　6.C　7.B　8.A　9.B　10.D
11.2a　12.　13.3　14.±2　15.
16.解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的.……1分
原式=-·=-……2分
=……4分
=，……5分
当x=-1时，原式==-.……7分
17.解：(1) 如图，DE即为所求.……1分
……3分
(2) ∵DE∥BC，∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB=90°，∠EDC=∠DCB.……4分
在Rt△ADE中，∠A=30°，∴DE=AD=2，
∴AE===2.……5分
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠EDC，
∴CE=DE=2，……6分
∴AC=AE+CE=2+2.……7分
18.解：(1) 79.5　96　195……4分(最后一空2分，其余各1分)
(2) 我认为八年级的成绩更加优秀.……5分
理由：从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级；从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀.(答案不唯一，言之有理即可) ……7分
19.(1) 解：四边形ABCD为正方形，证明如下：……1分
∵△ABC绕点C顺时针旋转得△CDE，
∴△ABC≌△EDC，∴AB=DE，BC=CD，AC=CE.
又∵CD⊥AE，∴AD=DE，
∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD为菱形，……3分
又∵∠B=90°，
∴四边形ABCD为正方形.……4分
(2) 解：∵∠B=90°，AB=BC，∴∠BCA=45°，
∵△ABC≌△EDC，∴∠BCA=∠DCE=45°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，……5分
∵BC=CD，AC=CE，∴=，
∴△BCD∽△ACE，……7分
∴=，
在Rt△ABC中，cos∠BCA=cos 45°==，……8分
∴=.……9分
20.解：(1) 设A型无人机的单价为x万元/架，B型无人机的单价为y万元/架，……1分
根据题意得，解得.……3分
答：A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架.……4分
(2) 设购买A型无人机a架，则购买B型无人机(44-a) 架，购买资金为w万元，
根据题意得，解得33≤a≤39，……6分
w=7.6a+25.6(44-a) =-18a+1 126.4，……7分
∵-18<0，∴w随a的增大而减小，
∴当a=39时，w有最小值，
此时w=-18×39+1 126.4=424.4(万元) ，……8分
44-a=5(架) .
答：最省钱的购买方案为购买A型无人机39架，B型无人机5架，购买资金为424.4万元.……9分
21.解：(1) ①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE=2 m，DE=0.5 m，
∴BD=BE-DE=2-0.5=1.5(m) ，
∴△FCD∽△FAB，∴=，且FB=FD+BD=FD+1.5，
∴=，
解得FD=3 m，经检验，FD=3是原方程的解，
∴FD=3 m，∴EF=FD-DE=3-0.5=2.5(m) .……3分
②不能观察到物体，理由如下：
如图，过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7(m) ，FD=3 m，MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3(m) ，
∵∠FMN=∠FDC=90°，∠F=∠F，
∴△FMN∽△FDC，∴=，……5分
∴MN==≈0.57(m) ，……6分
∵0.57>0.5，∴不能观察到物体.……7分
(2) 39……9分
【解答】摩托车的速度为72 km/h=20 m/s，
∴摩托车在1.2 s的反应时间里的行驶路程为20×1.2=24(m) ，
由题意可得24+42-32+5=39 m，∴摩托车应与小汽车至少保持39 m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
22.解：(1) ∵抛物线y=ax2-(3a-1) x-2=ax2-3ax+x-2=a(x2-3x) +x-2，
若抛物线过定点，则x2-3x=0，……1分
∴x1=3，x2=0，……2分
当x=3时，y=x-2=1，当x=0时，y=x-2=-2，
∴点A的坐标为(0，-2) ，点B的坐标为(3，1) .……3分
(2) 若a=-1，抛物线的解析式为y=-x2+4x-2，
则抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，2) .
①若-1当x=-1时，函数取得最小值，为-7，
∴-t2+4t-2-(-7) =9，
解得t=2；……4分
②若2当x=-1或5时，函数取得最小值，为-7，
∵2-(-7) =9，∴符合题意.……5分
③若t>5，当x=2时，函数取得最大值，为2，
当x=t时，函数取得最小值，为-t2+4t-2<-7，
∴此时最大值与最小值的差恒大于9，不符合题意.……6分
综上，t的取值范围为2≤t≤5.……7分
(3) ∵A(0，-2) ，
∴将点A沿x轴进行翻折后得到的对称点的坐标为A'(0，2) ，
∴点A'到直线y=3的距离为1.
∵图象G1上仅存在两个点到直线y=3的距离为，
∴图象G1上仅存在两个点的纵坐标为或.……8分
①当a>0时，开口向上，则图象G1的顶点的纵坐标为，
∴原抛物线的顶点的纵坐标为-，
∴=-，
解得a=，
∵0<<3，∴a>，
∴a=；……10分
②当a<0时，开口向下，则图象G1的顶点的纵坐标为，
∴原抛物线的顶点的纵坐标为，
∴=，
解得a=，
∵<3，∴a<-，∴a=.……12分
综上，a的值为或.……13分
23. (1) (4，0) 　(0，4) ……1分
(2) 或 ……5分
(3) 解：当点D在点B右侧时，如图1，过D作DH⊥BC于点H，
图1
∵AO=BO，∠AOB=∠OBC=∠OAC=90°，
∴四边形OACB为正方形，∴∠ABC=45°，
∴在Rt△BDH中，BH=DH=BD·sin 45°=n，
由(1) 可得BC=4，∴CH=BC-BH=4-n，……6分
在Rt△CDH中，
DC2=DH2+CH2=+=n2-4n+16，
∵点D恰好是点C与点E的“圆生点”，
∴DE=DC，∠EDC=90°，
∴S=DC2=n2-2n+8；……8分
当点D在点B左侧时，如图2，过D作DI⊥BC交CB延长线于点I，
图2
同理可得DI=BI=n，∴CI=BC+BI=4+n，
在Rt△CDI中，CD2=DI2+CI2=+=n2+4n+16，
∴S=DC2=n2+2n+8.……10分
综上，S关于n的关系式为S=n2-2n+8或S=n2+2n+8.……11分
(4) 4-2≤m≤4+2或-4-2≤m≤-4+2.……14分
【解答】如图3，当G在AF上方时，点F是点A与点G的“圆生点”
图3
过点G作GK⊥y轴于点K，易证△AOF≌△FKG，
∴OA=FK，OF=KG，
设F(0，t) ，∵A(4，0) ，
∴OK=OF+KF=4+t，OF=KG=t，
∴G(t，4+t) ，即点G在直线y=x+4上，
∴直线y=x+4与y轴交于点B(0，4) ，
当GB与☉M相切于点G时，MB=2，
∴M(0，4-2) 或M(0，4+2) ，
如图4，结合图形可得4-2≤m≤4+2；
图4 图5
如图5，当G在AF下方时，同理得-4-2≤m≤-4+2.
综上，4-2≤m≤4+2或-4-2≤m≤-4+2.

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