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数学中考总复习阶段检测（6）圆
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
如图，沿线段 将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（ ）
A. 三角形 B. 正方形 C. 扇形 D. 圆
如图，点 ，， 在 上，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
如图， 是 的直径，点 是 上一点，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
已知点 是 外的一点，且 的半径为 6，则 的长可能为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
如图， 是 的直径，，，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
如图， 是 的弦， 与 相切于点 ，连接 ，，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
如图，，， 是 的切线，切点分别是点 ，，。若 ，，则 的长是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
如图，圆弧形桥拱的跨度 为 24 m，拱桥所在圆的半径为 13 m，则拱高 为（ ）
A. 2 m B. 4 m C. 8 m D. 10 m
如图，小明做实验时发现，当三角板中 30° 角的顶点 在 上移动，三角板的两边与 相交于点 ， 时， 的长度不变。若 的半径为 4，则 的长等于（ ）
A. B. C. D.
（跨学科融合）如图，已知滑轮的半径为 10 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升 cm 时，半径 转过的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
如图，四边形 内接于 ， 是 延长线上一点，若 ，则 的度数是_________。
如图，已知 是 的直径，点 ， 在 上，且 ，，则 _________。
如图， 外接圆的圆心的坐标是_________。
如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 ，，，则 _________。
某款 “不倒翁”（如图 1）的主视图如图 2，， 分别与 所在圆相切于点 ，。若该圆半径是 10 cm，，则主视图的面积为_________。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
如图， 为 的直径，且圆上的点 与直线 恰使 。求证：直线 与 相切。
如图， 是 的直径， 是 的弦，。
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长。
如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ，，。
（1）求 的半径长；
（2）连接 ，作 于点 ，求 的长。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
如图，某中学在校园里建了一个读书亭，它的地基是半径为 4 m 的正六边形。
（1）求地基的边长；
（2）求地基的面积。
（传统文化）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器。它是根据日影的位置，反映当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器。小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察。如图，日晷的平面是以点 为圆心的圆，线段 是日晷的底座，点 为日晷与底座的接触点（即 与 相切于点 ）。点 在 上， 为某一时刻晷针的影长， 的延长线与 交于点 ，与 交于点 ，连接 ，，，，。
（1）求证：；
（2）求 的长。
综合与实践。
【实践主题】探究桌子的不同拼接方式产生的线段变化。
【实践素材】某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4 张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，其俯视图如图 1 所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为 80 cm，小圆的半径为 20 cm，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆经过圆心。
【实践操作】为了有效运用教室空间，活动小组提出了以下两种拼接此款桌子的方式（这两种方式皆是将 2 张桌子的一边完全贴合进行拼接）。
方式一：如图 2，将 2 张此款桌子拼接成 1 张 U 型圆环的大桌子，其中 ， 两点为拼成的大桌子中距离最远的两个桌角；
方式二：如图 3，将 2 张此款桌子拼接成 1 张 S 型圆环的大桌子，其中 ， 两点为拼成的大桌子中距离最远的两个桌角，且 与 2 张桌子的接缝 相交于点 ， 为 的中点。
【问题解决】
（1）求 的长度；
（2）请比较 与 的长短，并说明理由。
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 的切线交 的延长线于点 ， 于点 ，， 是 上的动点（不与点 ， 重合），连接 并延长到点 ，连接 。
（1）求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 ，求四边形 面积的最大值。
【证明体验】（1）如图 1， 是等腰 的外接圆，，在 上取一点 ，连接 ，，。求证：。
【思考探究】（2）如图 2，在（1）的条件下，若点 为 的中点，，，求 的值。
【拓展延伸】（3）如图 3， 的半径为 5，弦 ，弦 ，延长 交 的延长线于点 ，且 ，求 的值。
图 1 图 2 图 3
参考答案
1.C　2.C　3.D　4.D　5.D　6.B　7.B　8.C　9.B　10.B　11.105°　12.　13.（4，6）　14.　15.
16.证明：连接OD，
∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，
∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ADC=∠B，∴∠ODA+∠ADC=90°，
即∠CDO=90°，∴CD⊥OD，
∵OD是☉O的半径，∴直线CD与☉O相切.
17.解：（1）∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°.
（2）由（1）知∠B=30°，
∴在Rt△ADB中，BD=AD=×=3.
18.解：（1）连接OD，设☉O的半径长为r，
∵AB⊥CD，∴∠OED=90°，DE=CE=CD=×8=4，
在Rt△ODE中，∵OE=AO-AE=r-2，OD=r，DE=4，
∴（r-2）2+42=r2，解得r=5，即☉O的半径长为5.
（2）在Rt△BCE中，∵CE=4，BE=AB-AE=8，
∴BC===4，
∵OF⊥BC，∴BF=CF=BC=2，∠OFB=90°，
在Rt△OBF中，OF===.
19.解：（1）如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC==60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=4 m，
即地基的边长为4 m.
（2）如图，过点O作OG⊥BC于点G，
∵△OBC是等边三角形，OB=4 m，
∴∠OBC=60°，
∴OG=OB·sin∠OBC=4×=2（m），
∴S△OBC=BC·OG=×4×2=4（m2），
∴地基的面积=6S△OBC=6×4=24（m2）.
20.（1）证明：连接OD，
∵BC与☉O相切于点D，∴OD⊥BC，
∵BD=CD，∴OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵OD⊥BC，∴∠ODC=∠OAC=90°，
在Rt△AOC和Rt△DOC中，，
∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），
∴∠ACO=∠DCO，∴∠B=∠ACO.
（2）解：∵∠BAC=90°，AC=CD=BD=3 dm，
∴sin B===，∴∠B=30°，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠AOC=60°，
∴OA=AC= dm，
∴AE=2OA=2 dm，
∴CE===（dm）.
21.解：（1）∵大圆的半径为80 cm，小圆的半径为20 cm，
∴EF=大圆的半径-小圆的半径=80-20=60（cm），
∵点G为EF的中点，∴GF=EF=30（cm）.
（2）CD>AB，理由如下：
由题意得，AB=大圆的直径=80×2=160（cm）.
如图，延长CH，EF交于点O，延长DK，FE交于点O'，
则OC=OE=O'D=O'F=80 cm，
∵EG=GF=30 cm，
∴OG=O'G=50 cm，
∵∠O=∠O'=90°，
∴CG=DG===10（cm），
∴CD=CG+DG=10+10=20（cm），
∵>8，∴20>160，即CD>AB.
22.（1）解：∵△ABC内接于☉O，P是上的动点（不与点B，C重合），∠BAC=60°，
∴四边形ABPC是☉O的内接四边形，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPF+∠BPC=180°，∴∠BPF=∠BAC=60°.
（2）证明：如图，连接OC，∵CD是☉O的切线，
∴∠OCD=90°，∴∠DCA+∠OCA=90°，
在△OCA中，OC=OA，∠BAC=60°，
∴△OCA是等边三角形，
∴∠OCA=60°，∴∠DCA=30°，
∴∠D+∠DCA=∠CAO=60°，
∴∠D=∠DCA=30°，∴AD=AC，
∴△DCA是等腰三角形.
∵AE⊥CD，∴AE平分∠DAC.
（3）解：由（2）得在Rt△DEA中，∠D=30°，AE=1，
∴AD=AC=2AE=2.
∵AB是直径，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC==2，
∴S△ABC==2，
如图，过点P作PG⊥CB于点G.
在△CBP中，P为动点，BC为底边，当PG垂直平分BC时，PG的值最大，
∵∠BAC+∠BPC=180°，∠BAC=60°，∴∠BPC=120°，
∵PG垂直平分BC，
∴CP=BP，CG=BC=，∴∠BCP=30°，
∴PG=CG·tan∠BCP=1，
∴S△BPC==，
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPC=2+=3，
即四边形ABPC面积的最大值为3.
23.（1）证明：∵AB=AC，∴=.∴∠APB=∠ABC.
∵∠ABC=∠ABP+∠CBP，∠ABP=∠PCA，∠CBP=∠PAC，
∴∠ABC=∠PAC+∠PCA.∴∠APB=∠PAC+∠PCA.
（2）解：如图1，延长BP至点D，使PD=PC，连接AD，
图1
∵点P为的中点，∴=.
∴PA=PC，∠ABP=∠CBP.∴PA=PD.
∴∠D=∠PAD.∴∠APB=∠PAD+∠D=2∠PAD.
∵AB=AC，∴=.∴∠APB=∠ABC.
∵∠ABC=∠ABP+∠CBP=2∠ABP，∴∠PAD=∠ABP.
∵∠D=∠D，∴△DAP∽△DBA，∴==.
∵∠D=∠PAD，∠PAD=∠ABP，
∴∠D=∠ABP，∴AD=AB=6.
设PA=x，则PD=x，BD=5+x，
∴=，∴x2+5x-36=0，
解得x=4或-9（不符合题意，舍去），∴PA=4.
（3）解：如图2，连接OP，OC，过点C作CH⊥BP于点H，
图2
∵☉O的半径为5，CP=5，∴OP=OC=PC=5，
∴△OPC为等边三角形.∴∠POC=60°.
∴∠PBC=∠POC=30°.
在Rt△BCH中，BH=BC·cos 30°=6×=3，
CH=BC=3.
在Rt△PCH中，PH==4，
∴PB=PH+BH=4+3.
∵四边形ABCP是☉O的内接四边形，易得∠PCE=∠BAP.
∵∠E=∠ABP，∴△EPC∽△BPA.∴=.
∴AP·PE=CP·PB=5（4+3）=20+15.

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