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数学中考总复习阶段检测（7）尺规作图及图形变换、统计与概率
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
（传统文化）中国有一句古话：民以食为天。如图是我们吃饭用的瓷碗，关于这个瓷碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都相同
下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
下列绿色能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
（跨学科融合）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，则人数最多的血型是（ ）
A. A 型 B. B 型 C. AB 型 D. O 型
从表示 “龙” 的英文单词 “loong” 中任选一个字母，选中字母 “o” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
如图，某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成折线统计图，则当移植 2000 棵树苗时，成活的数量约是（ ）
A. 1800 棵 B. 1600 棵 C. 1400 棵 D. 1200 棵
某市某一周内每天的最高气温汇总如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 26.5 和 28 B. 27 和 28 C. 1.5 和 3 D. 2 和 3
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
某校评选先进班集体，从 “学习”“卫生”“纪律”“活动参与” 四个方面考核打分，各项满分均为 100，所占比例如下表。八年级（2）班这四项得分依次为 80，90，84，70，则该班四项综合得分（满分 100）为（ ）
A. 81.5 B. 82.5 C. 84 D. 86
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例 40% 25% 25% 10%
如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转 30°，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为（ ）
A. 64° B. 50° C. 76° D. 66°
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第_______象限。
小亮发现自己所在乡约有 2 万人口，全乡九年级学生有 300 人，而全县人口约 35 万，由此他推断全县九年级学生约有 5250 人，但县教育局公布的全县九年级学生人数为 3000，与估计的数据有很大偏差，根据统计知识，你认为产生偏差的原因是__________。
学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小明与小红同车的概率是__________。
航空演练时，航空兵需空投物资到如图所示指定的区域（ ），若要使空投物资落在中心区域（ ）的概率为，则与的半径长之比为__________。
如图，函数的图象是第二、四象限的角平分线，将的图象以点为中心旋转 90° 与函数的图象交于点，再将的图象向右平移至经过点的位置，此时与轴交于点，则点的坐标为__________。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
如图，在中，。用尺规作图法作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。
如图，在中，。
（1）实践与操作：在上作一点，连接，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）应用与计算：在（1）的条件下，若，，求的长。
如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，。
（1）画出将向上平移 1 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后得到的；
（2）画出将绕原点顺时针方向旋转 90° 得到；
（3）在轴上存在一点，满足点到点与点的距离之和最小，请求出点的坐标。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等。
（1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为__________；
（2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率。
综合与实践。
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展 “利用树叶的特征对树木进行分类” 的实践活动。
【实践操作】10 位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各 1 片，通过测量得到这些树叶长（单位：cm）、宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图。
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
核桃树树叶的长宽比 3.11 3 0.07
枇杷树树叶的长宽比 2
【问题解决】
（1）填空：_____，_____，__________；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为枇杷树树叶的形状差别更大。”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现核桃树树叶的长约为宽的三倍。” 以上两位同学的说法中，合理的是哪位同学？请通过计算分析；
（3）若小明同学收集到一片长 13 cm、宽 6 cm 的树叶，试判断该树叶更有可能是核桃树树叶还是枇杷树树叶？请说明理由。
项目式学习。
通常，在路灯、台灯等点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影。
【画图操作】如图 1，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示。请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
【数学思考】如图 2，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，则表示与之间函数关系的图象大致为__________（填字母选项）；
【解决问题】如图 3，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长。已知小明的身高为 1.6 m，求灯杆的高度。
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
【知识初探】
（1）如图 1，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，点的对应点为点，折痕为，若为等边三角形，请猜想与的数量关系，并加以证明；
【类比探究】
（2）如图 2，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕为，若，。
①试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②若点为的中点，连接，求的长；
【深入探究】
（3）如图 3，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕上一点，连接，。若，，，请求出线段的长。
图1图2图3
【问题背景】如图，在矩形中，，，边绕点顺时针旋转（ ）得到，作平分交于点，连接。
【知识技能】
（1）①如图 1，若垂直平分，分别交，于点，，当落在上时，°，的长度为；
②如图 2，当点落在对角线上时，点到的距离为__________；
【深入探究】
（2）如图 3，若，请用含的代数式表示的值；
【拓展探索】
（3）若与矩形的对角线垂直，请求出的长。
参考答案
1.A　2.D　3.B　4.A　5.B　6.B　7.B　8.B　9.B　10.D　11.三　12.样本选取不合理　13.　14.　15.（2，0）
16.解：如图，射线BD即为所求.
17.解：（1）如图，点D即为所求.（作法不唯一）
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E，
∴DE⊥BC，点E为BC的中点，∴∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，
∴DE为△ABC的中位线，∴点D为AB的中点.
∵∠ACB=90°，∴CD=AB.
在Rt△ABC中，AB===，
∴CD=，即DC的长为.
18.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△A2B2O即为所求.
（3）如图，作点A1关于x轴的对称点A3，连接A2A3交x轴于点P，点P即为所求.
∴点A3的坐标为（4，-4），
又∵点A2的坐标为（3，1），
∴A2A3所在直线的解析式为y=-5x+16，
令y=0，则x=，∴点P的坐标为.
19.解：（1）
（2）姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，作树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人选到同一条绳子的结果数为3，所以两人选到同一条绳子的概率P==.
20.解：（1）2　3.1　2
（2）B同学的说法合理，分析如下：
m=×［（1.6-2）2+（2.3-2）2+（1.9-2）2+（2-2）2×3+（2.4-2）2+（1.8-2）2×2+（2.2-2）2］=0.054，
∵0.07>0.054，
∴核桃树树叶的形状差别更大，故A同学的说法不合理；
∵核桃树树叶的长宽比的平均数是3.11，中位数是3.1，众数是3，都约为3，即长是宽的3倍，
∴B同学的说法合理.
（3）该树叶更有可能是枇杷树树叶，理由如下：
∵13÷6≈2.17，∴长宽比接近2，和枇杷树树叶的长宽比更相近，∴该树叶更有可能是枇杷树树叶.
21.解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示：
【数学思考】D
【解决问题】∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△EFG∽△ABG，∴=，=，
又∵CD=EF，∴=，
∵DF=3 m，FG=4 m，BF=BD+DF=（BD+3）m，
BG=BD+DF+FG=（BD+7）m，∴=，
∴BD=9 m，∴BF=9+3=12（m），
∴=，解得AB=6.4 m.
∴灯杆AB的高度为6.4 m.
22.解：（1）AB=AD，证明如下：
∵△CEF为等边三角形，∴∠ECF=60°∴∠DCE=30°，
设DE=x，在Rt△DEC中，EC=2DE=2x，
∴CD===x.
∵矩形ABCD沿EF折叠，∴AE=EC=2x，
∴AD=AE+DE=2x+x=3x.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=x，
∴==，∴AB=AD.
（2）①△CEF为等腰直角三角形，理由如下：
∵△AEF沿EF折叠，点A与点C重合，
∴EF是线段AC的垂直平分线，∠ECF=∠A=45°，
∴∠EFC=90°，∴∠FEC=45°，∴∠FEC=∠FCE，
∴△CEF为等腰直角三角形.
②根据图形折叠的性质可知，CF=EF=AF=AC=1，
∵点D是EF的中点，∴DF=EF=，
∴CD===.
（3）如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DM⊥AG于点M，作DN⊥BC于点N，连接AD，
∵A，C两点关于折痕EF对称，∠ACD=45°，
∴DA=DC，∠ACD=∠DAC=45°，∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，AG⊥BC，∴点G为BC的中点，
∴BG=CG=BC=1，∴AG===2，
∵AG⊥BC，DM⊥AG，DN⊥BC，∴四边形DNGM为矩形，
∴∠NDM=90°=∠ADC，∴∠ADM=∠CDN.
在△ADM和△CDN中，，
∴△ADM≌△CDN（AAS），∴DM=DN，AM=CN，
∴四边形DNGM为正方形，∴DM=DN=NG=MG，
设DM=DN=NG=MG=x，则AM=NC=NG+GC=x+1，
∴AG=AM+MG=x+1+x=2x+1=2，解得x=，
∴BN=BG-NG=1-=，
∴BD===.
23.解：（1）①60　8-3　【提示】通过证明△ABB'是等边三角形即可求解.
②　【提示】作B'F⊥BC于点F，通过证明△ABC∽△BF'C即可求解.
（2）如图1，过点P作PE⊥AB于点E.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°=∠PEB.
在Rt△ABD中，AB=6，AD=BC=8，∴BD==10.
∵∠PBE=∠DBA，∴△PBE∽△DBA，
∴==，即 ==，
∴PE=x，BE=x，∴AE=6-x，
∵AP平分∠BAB'，∴∠BAP=∠B'AP，
∴tan∠B'AP=tan∠BAP==.
（3）①如图2，当AB'⊥BD交BD于点M时，
设BP=y=B'P，∵AB·AD=BD·AM，∴AM=，
∵AD=8，∴DM==，
∴BM=，B'M=AB'-AM=，∴PM=BM-BP=-y，
∵PM2+B'M2=B'P2，∴+=y2，
解得y=2，∴BP=2.
②如图3，当AB'⊥AC 时，则∠B'AC=90°，延长AP交CD于点Q，过点Q作QN⊥AC于点N，
∵∠BAD=90°，∴∠BAP+∠PAD=∠CAP+∠PAB'=90°，
又∵∠BAP=∠PAB'，∴∠PAD=∠CAP，
∵QN⊥AC，∠ADC=90°，∴QN=QD，
又∵AQ=AQ，∴Rt△ANQ≌Rt△ADQ（HL），
∴AN=AD=8，∴CN=AC-AN=2，
∵CQ2=NQ2+CN2，∴（6-DQ）2=DQ2+22，∴DQ=，
∵AB∥DQ，∴△ABP∽△QDP，
∴=，∴=，∴BP=.
综上所述，BP的长为2或 .

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