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数学中考总复习阶段检测(2)方程与不等式
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
与 2 的差不大于 0，用不等式表示为（ ）
A. B.
C. D.
不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
方程的解为（ ）
A. B. C. D.
将方程配方得（ ）
A. B.
C. D.
下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（ ）
A. B.
C. D.
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法判断
若不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A. 20 B. 24 C. -20 D. -24
若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.
（跨学科融合）已知物体自由下落的距离可以表示为，其中表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为 340 米 / 秒。若将一块石头从井口自由落下，7 秒后听到它落水的声音，测得米 / 秒，设石头下落的时间为秒，则可列得方程（ ）
A. B.
C. D.
数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线（为常数）与直线（为常数且）相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A. 方程的解是
B. 不等式与不等式的解集相同
C. 不等式组的解集是
D. 方程组的解是
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
方程的解为_________。
关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是________。
已知方程的一个根为，则方程的另一个根为________。
若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为________。
深圳宝安国际机场是深圳对外交往的重要平台，旅客从市民中心前往宝安机场有两条线路。路线一：走深南大道经宝安大道，全程是 30 千米，但交通比较拥堵；路线二：走深南大道转京港澳高速，全程是 36 千米，平均速度是路线一的倍，因此到宝安机场的时间比走路线一少用 5 分钟。设走路线一到达宝安机场需要分钟，则可列方程为________。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
解方程组：
解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来。
在如图所示的正方形数阵中规定运算：。若，求关于的分式方程的解。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
已知关于的一元二次方程。
（1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
（2）当时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长。
某商场进货员计划进货 “吉祥龙” 和 “如意龙” 两种公仔吉祥物，发现用 6000 元购进的 “吉祥龙” 的数量是用 2500 元购进的 “如意龙” 的数量的 2 倍，且每个 “吉祥龙” 的进价比 “如意龙” 贵了 5 元。
（1）一个 “吉祥龙”、一个 “如意龙” 的进价分别是多少元？
（2）为满足消费者的需求，该商场购进 “吉祥龙” 和 “如意龙” 两种公仔吉祥物共 200 个，“吉祥龙” 的售价定为 50 元，“如意龙” 的售价定为 40 元。若全部售出的总利润不低于 3400 元，则至少要购进多少个 “吉祥龙”？
项目式学习
主题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 1 如图1是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，其尺寸如图所示.
素材 2 利用闲置纸板箱拆解出的①（宽为a cm，长度50 cm），②（宽为a cm，长度100 cm）（a<50 cm）两种长方形纸板.
操作 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
长方形纸板①的制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 长方形纸板②制作方式：将纸板四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒.
目标 1 熟悉 材料 （1）按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝地放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板的宽a=　　　　　；
初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936 cm2，求储物盒的容积；
目标2 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702 cm2.如图3是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒.图3
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过 “数缺形时少直观，形少数时难入微”。数形结合是解决数学问题的重要思想方法。例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与 2 所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离。
【提出问题】已知在数轴上的位置如图 1 所示，则代数式的最小值是多少？
【探究问题】如图 1 可知，点，，分别表示的是，，，则。的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，。的最小值是 3。
【解决问题】
（1）求的最小值；
（2）利用上述思想方法解不等式：；
（3）当为何值时，代数式的最小值是 2。
（新定义）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。” 这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释。对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为 “相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为 “相伴方程”。
（1）判断分式方程与无理方程是否是 “相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的方程和，它们是 “相似方程” 吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于，的二元一次方程和（其中为整数）是 “相伴方程”，求的值。
答案
1.D　2.B　3.D　4.D　5.A　6.B　7.A　8.C　9.B　10.C
11.x=3　12.x≥3　13.4　14.
15.×=
16.解：，
②-①×3，得-14y=28，解得y=-2，
把y=-2代入①，得2x-6=-4，解得x=1，
∴原方程组的解是.
17.解：，
解不等式①，得x>-3，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集为-3不等式组的解集在数轴上表示为：
18.解：由题意得a-3=5b，
若a=-2，解得b=-1，则分式方程为=，
去分母得1=2x，解得x=，
检验：当x=时，x-1≠0，
故分式方程的解为x=.
19.（1）证明：Δ=［-（2m-3）］2-4×m×（-5）
=4m2-12m+9+20m=4m2+8m+9=4（m+1）2+5.
∵（m+1）2≥0，∴4（m+1）2+5>0，即Δ>0，
∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：当m=-2时，原方程可化为2x2-7x+5=0，
即（2x-5）（x-1）=0，解得x1=1，x2=，
∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且1+1=2<，∴腰的长不能为1，
∴等腰三角形的三边只能为1，，，
∴等腰三角形的周长为1++=6.
20.解：（1）设一个“吉祥龙”的进价是x元，则一个“如意龙”的进价是（x-5）元，
由题意得=×2，解得x=30，
经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，
∴x-5=25.
答：一个“吉祥龙”的进价是30元，一个“如意龙”的进价是25元.
（2）设要购进m个“吉祥龙”，则购进（200-m）个“如意龙”，
由题意得（50-30）m+（40-25）（200-m）≥3 400，
解得m≥80.
答：至少要购进80个“吉祥龙”.
21.解：（1）40 cm
（2）设裁去小正方形的边长为x cm，
由题意可列方程为（50-2x）（40-2x）=936，
解得x1=7，x2=38（不符合题意，舍去），
∴容积为V=936×7=6 552（cm3）.
答：储物盒的容积为6 552 cm3.
（3）设裁去的小长方形的宽为x cm，长为y cm，
根据题意得，解得，
∴裁去的小长方形的宽为11 cm，
当EF，HG之间两边恰好重合且无重叠部分时，收纳盒的高11<18，
∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒.
22.解：（1）如图1，设点A，B，P分别表示的是-3，4，x，则AB=7.
图1
∵|x-4|+|x+3|的几何意义是线段PB与PA的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB=7；
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB>7，
∴|x-4|+|x+3|的最小值是7.
（2）如图2，|x+2|+|x-3|=|x-（-2）|+|x-3|>5，表示数x的点到-2和3的距离之和大于5的x的取值范围，
图2
当点在-2和3之间时，距离之和为5，不符合题意；
当点在-2的左边或3的右边时，距离之和大于5，
则x的取值范围为x<-2或x>3.
（3）∵代数式|x+a|+|x-5|的最小值是2的几何意义是表示数-a的点到表示数5的点的距离为2，
又∵数轴上表示数3和数7的点到表示数5的点的距离都为2，
∴-a=3或7，即当a为-3或-7时，代数式的最小值是2.
23.解：（1）是相似方程，理由如下：
方程为+1=，
给方程两边同时乘以（1-x）（1+x），
得（1+x）+（1-x）（1+x）=2（1-x），
化简得x2-3x=0，解得x1=0，x2=3，
将方程=等号两边平方得x2-2=2x+1，
∴（x-3）（x+1）=0，
∵，∴x≥，
∴x1=-1（不符合题意，舍去），x2=3，
∵分式方程+1=与无理方程=有一个相同的解x=3，
∴分式方程+1=与无理方程=是“相似方程”.
（2）不是相似方程，理由如下：
∵4x2+9y2=8-12xy，∴（2x+3y）2=8，
∵2x+3y=4，∴（2x+3y）2=42=16≠8，
∴4x2+9y2=28和2x-3y=4没有相同解，不是“相似方程”.
（3）根据题意可得（k+1）x-4=x-3k，解得kx=4-3k，
当k=0时，不符合题意；
当k≠0时，则x==-3，
∵x，y，k都是整数，
∴k=±1，k=±2或k=±4.

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