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数学中考总复习阶段检测(3) 函数
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
下列各点中，在第四象限的是（ ）
A. (2,3) B. (2,-3) C. (-3,2) D. (-2,-3)
函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
若直线 （ 是常数，）经过第二、四象限，则 的值可以为（ ）
A. 2 B. 0.5 C. -2 D. 3
在直线 上的点是（ ）
A. (2,3) B. (2,-1) C. (3,0) D. (0,-3)
抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. (-7,6) B. (7,6) C. (3,-7) D. (3,6)
若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
（跨学科融合）一种弹簧秤最大能称不超过 10 kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为 12 cm，每挂重 1 kg 的物体，弹簧伸长 0.5 cm。在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
在二次函数的表达式 中，如果 ，，，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
“单词的记忆效率” 是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值。在如图 2×2 的正方形网格中，描述了某次单词复习中 ，，， 四位同学的单词的记忆效率与复习的单词个数的情况，其中 ，， 三位同学对应的点在同一个反比例函数图象上，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ）
A. B. C. D.
如图 1，在 中， 是直角， 是中位线，点 从点 出发，沿 的方向以 1.5 cm/s 的速度运动到点 ，图 2 是点 运动时， 的面积 随时间 变化的图象，则 的值为（ ）
A. 3 B. C. 4.5 D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
在平面直角坐标系中，点 到轴的距离是______
将抛物线 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后的抛物线解析式是______
直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当=__时，不等式 （写出一个即可）。
机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，假设其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数。已知一款机器狗载重后总质量 时，它的最快移动速度 ；当其载重后总质量 时，它的最快移动速度 _______。
（跨学科融合）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为_______。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
一次函数 的图象经过点，求这个一次函数的解析式。
如图，一次函数 与二次函数 的图象交于 ， 两点。
(1) 当 时，直接写出自变量 的取值范围为_______；
(2) 求二次函数的表达式。
如图，反比例函数 与正比例函数 的图象交于点 和点 ，点 是点 关于轴的对称点，连接 ，。
(1) 求该反比例函数的解析式；
(2) 求 的面积。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
打油茶是广西少数民族特有的一种民俗。某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为 50 元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量（盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示。
(1) 求 与 的函数解析式；
(2) 当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润。
（跨学科融合）综合与实践。
【实践操作】如图 1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相关数据，得到桌面所受压强与受力面积 的关系如下表所示（与长方体相同质量的长方体均满足此关系）。
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.4 a
桌面所受压强p（Pa） 100 200 400 500 800
【模型建立】(1) 根据数据，求桌面所受压强 与受力面积 之间的函数表达式及 的值；
【模型验证】(2) 现想将另一长、宽、高分别为 0.2 m，0.1 m，0.3 m，且与长方体相同质量的长方体按如图 2 所示的方式放置于该水平玻璃桌面上。若该玻璃桌面能承受的最大压强为 9 000 Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由。
如图 1 为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图 2）由两条曲线 ，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形 与四边形均为矩形，，，，，，以 的中点为原点， 所在直线为轴建立平面直角坐标系。
(1) 如图 2，求 所在图象的函数解析式；
(2) 如图 3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架 ，并加装了始终垂直于 的伸缩机械臂 用来雕刻 所在曲面的花纹，请问点 在 上滑动的过程中， 的最大值为多少？
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
（代数推理）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点 ，。
(1) 求 的值；
(2) 已知二次函数 的最大值为 。
① 求该二次函数的表达式；
② 若 ， 为该二次函数图象上不同的两点，且 ，求证：。
在平面直角坐标系中，已知抛物线 与轴相交于 ， 两点（点 在点 左侧），顶点为 ，连接 。
(1) 求该抛物线的函数解析式；
(2) 如图 1，若 是轴正半轴上一点，连接 ，。当点 的坐标为 时，求证：；
(3) 如图 2，连接 ，将 沿轴折叠，折叠后点 落在第四象限的点 处，过点 的直线与线段 相交于点 ，与轴负半轴相交于点 。当 时， 与 是否相等？请说明理由。
参考答案
1.B　2.D　3.C　4.B　5.A　6.B　7.B　8.C　9.C　10.D
11.2　12.y=（x-2）2+3
13.-2（答案不唯一，满足x<-1即可）　14.4　15.220
16.解：∵一次函数y=kx+5的图象经过点（1，7），
∴k+5=7，解得k=2，
∴这个一次函数的解析式为y=2x+5.
17.解：（1）-1（2）将点A（-1，0），B（2，-3）代入y2=ax2+bx-3，
得，解得，
∴二次函数的表达式为y2=x2-2x-3.
18.解：（1）把点A（-1，2）代入y=（k≠0），得2=，
∴k=-2，∴反比例函数的解析式为y=-.
（2）∵反比例函数y=（k≠0）与正比例函数y=mx（m≠0）的图象交于点A（-1，2）和点B，∴B（1，-2），
∵点C是点A关于y轴的对称点，∴C（1，2），∴AC=2，
由点A，B，C坐标可知AC⊥BC，
∴S△ABC=×2×（2+2）=4.
19.解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，
由题意得，解得，
∴y与x的函数解析式为y=-5x+500（50（2）设月销售利润为w元，则w=（x-50）（-5x+500）
=-5x2+750x-25 000=-5（x-75）2+3 125，
∵抛物线开口向下，且50∴当x=75时，w有最大值，是3 125.
答：当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3 125元.
20.解：（1）由表格可知，压强p是受力面积S的反比例函数，
设p=（k≠0），将（0.5，400）代入，得400=，
解得k=200，∴p=.
当p=800时，800=，∴a=0.25.
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（m2），
∴将长方体按所示方式放置于该水平玻璃桌面上，
p==10 000（Pa），
∵10 000>9 000，∴这种摆放方式不安全.
21.解：（1）∵AC=20 m，AB=2 m，BE=2 m，点O为AC中点，
∴AO=10 m，∴点E（-8，-2），
设EG所在图象的函数解析式为y=，
将点E（-8，-2）代入函数解析式中，
得-2=，解得k=16，
∴EG所在图象的函数解析式为y=.
（2）由题意可知，当点P位于线段EG的中点时，PQ取得最大值，
由题意，得点G的横坐标为-2，则纵坐标为=-8，
∴点G（-2，-8），∴EG的中点P为（-5，-5）.
根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线EG关于直线y=x对称，即直线y=x垂直平分线段EG，
∴P，Q两点都在直线y=x上，又点Q在曲线EG上，
联立，解得x=y=-4（正值舍去），∴点Q（-4，-4）.
∴PQ的最大值为=.
22.（1）解：二次函数y=ax2+bx-2的图象的对称轴为直线x=-，
∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，
∴2-=--1，∴-=，
∴=-3.
（2）①解：由（1）可得，b=-3a，
∴该函数的表达式为y=ax2-3ax-2，
∴函数图象的顶点坐标为，
∵函数的最大值为1-a2，
∴a<0，且-a-2=1-a2，
解得a=-1或a=4（舍去），
∴该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2.
②证明：∵点M（x1，m）在函数y=-x2+3x-2的图象上，
∴m=-+3x1-2，
由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线x=对称，不妨设x1∴-=
=
=
=
= =0，
∴=.
23.（1）解：∵顶点为M（2，d），∴-=2，
∴b=8，∴y=-2x2+8x+c，
将点A（1，0）代入y=-2x2+8x+c，
∴-2+8+c=0，解得c=-6，
∴抛物线的解析式为y=-2x2+8x-6.
（2）证明：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2，∴M（2，2），
过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（1，0），C，
∴AC=，AM=，CM=，
∵CM2=AC2+AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM=90°，
∴tan∠ACM==2，
在Rt△AMN中，MN=2，AN=1，∴tan∠MAN==2，
∴∠ACM=∠MAN=∠BAM.
（3）解：3S△ABD=2S△M'BD，理由如下：
∵M（2，2），∴M'（2，-2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则OE∥DH，
∴==，
当y=0时，-2x2+8x-6=0，解得x=1或x=3，
∴B（3，0），∴==，解得xD=，
设直线AM'的解析式为y=kx+m，将A（1，0），M'（2，-2）代入，
得，解得，
∴直线AM'的解析式为y=-2x+2，又点D在直线AM'上，
∴D，∴AD=，DM'=，
设点B到AM'的距离为h，
∴3S△ABD=3××h=h，
2S△M'BD=2××h=h，
∴3S△ABD=2S△M'BD.

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