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数学中考总复习阶段检测（4）三角形
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
如图，直线，直线与，相交，若图中，则（ ）
A. B. C. D.
下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
如图是第 24 届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解的《周髀算经》中的弦图。与该弦图有着密切关系的数学文化是（ ）
A. 无理数的发现 B. 圆周率的估算
C. 勾股定理的证明 D. 黄金分割比
下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
如图，校园内有一块等边三角形空地，已知，分别是边，的中点，量得。若想用围栏把四边形围成一个花园，则需要的围栏的长至少是（ ）
A. B. C. D.
如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
如图，在中，，，，则的值是（ ）
如图，南外大冲学区、文华学区、科华学区坐落于深圳南山科技园核心位置。其中，，，，若计划在的中点处建一个 5G 基站助力南外集团发展，其覆盖半径为 260 m，则这三个学区中在该 5G 基站覆盖范围内的是（ ）
A. 只有 B. 只有， C. 只有， D. ，，
（跨学科融合）如图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像。已知，离的水平距离为 6 cm，该凸透镜的焦距为 10 cm，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
两个相似图形的周长比为，则面积比为______。
将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为______。
如图，点在上，，添加一个条件：______，使得（答案不唯一）。
如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子顶端到地面的距离米，，则梯子长______米。
如图 1，在中，，，，是上一点，且，过点作交于点，将绕点顺时针旋转到图 2 的位置，则图 2 中的值为______。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
计算：。
如图，平面直角坐标系中，点，点，点为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，求点的坐标。
如图，，，是上一点，使得。
（1）求证：；
（2）若，，求的长。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
小亮和小林相约周六去登山，小亮从北坡山脚处出发，以的速度攀登，同时，小林从南坡山脚处出发。如图，已知小山北坡的坡度为，山坡长为，南坡的坡角是。问小林以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶？（将山路，看成线段，结果保留根号）
如图，是边长为 6 的等边三角形，点，在边上，若，，求的长。
综合与实践。
【问题情境】甲、乙两组计划开展测量某广场同一旗杆高度的实践活动。
【实际操作】他们分别制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量。为了减小测量误差，小组在测量时，对每个数据都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，以下是他们研究报告的部分记录内容。
课题 测量旗杆的高度
工具 测角仪，皮尺，镜子等
小组 甲组 乙组
测量说明 线段GH表示旗杆，测角仪高度AC=BD=1.5 m，测点A，B与H在地面同一直线上，A，B之间的距离可以测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上. 线段ED表示旗杆，镜子放在点C处，人的眼睛与地面的距离AB=1.5 m，在测量过程中保证人的眼睛恰好能在镜子中看到旗杆的顶端E.
测量示意图
测量数据 测量项目 ∠GCE的度数 ∠GDE的度数 A，B之间的距离 测量项目 B，C之间的距离 C，D之间的距离
平均值 26.6° 40° 平均值 2 m 26 m
【问题解决】
（1）若，之间的距离的两次测量值分别为和，则______。
（2）乙组这种测量方法的原理是我们所学的______；
（A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似）
（3）在（1）的条件下，请帮甲组求出旗杆的高度；（结果精确到 0.1；参考数据：，，，，，）
（4）经计算乙组测量的结果为 19.5 米，与甲组的数据有差异，老师说：“你们做得都很好，在我们这种测量条件下，出现误差是______事件，所以虽然数据存在差异，但数据都是可信的！”（填 “必然”“随机” 或 “不可能”）
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
如图，是边长为 4 的等边三角形，点，，分别在，，上运动，满足。
（1）求证：；
（2）设的长为，的面积为，求关于的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化。
综合探究。
【问题情境】在中，，，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接。
【特例感知】（1）如图 1，当时，求与的数量关系；
【尝试探究】（2）如图 2，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由；
【拓展应用】（3）如图 3，当且点，，三点共线时，若，，求的长。
参考答案
1.C　2.D　3.C　4.C　5.B　6.C　7.B　8.B　9.D　10.C
11.9∶4　12.75°　13.BC=BD（答案不唯一）　14.　15.
16.解：原式=4+2×-1-3=4+-1-3=.
17.解：∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，
∴AB===，
∵∠AOB=90°，点D为AB的中点，
∴OD=AB=，∴OC=，
∴点C的坐标为.
18.（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD.
（2）解：在Rt△ABE中，AB=4，AE=5，∴BE=3，
∵BC=5，∴EC=5-3=2，
由（1）得△ABE∽△ECD，
∴=，∴=，∴CD=.
19.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ACD中，tan C=i==，
∴∠ACD=30°，∴AD=AC=120 m.
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AB=AD÷sin 45°=120（m）.
小亮用的时间为240÷24=10（min），
若小林和小亮同时到达，
则小林的速度为120÷10=12（m/min）.
答：小林以12 m/min的速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.
20.解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠B=60°，
∵AH⊥BC，∴∠BAH=∠BAC=30°，
∴∠BAD+∠DAH=30°，
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠DAH=∠EAC，∴tan∠DAH=tan∠EAC=，
∵BH=AB=3，AH=AB·sin 60°=6×=3，
∴==，∴DH=，
∴BD=BH-DH=3-.
21.解：（1）14.5　（2）D
（3）设EG=x m，在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=40°，
∵tan 40°=，∴DE=，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=26.6°，
∵tan 26.6°=，∴CE=，
∵CD=CE-DE=AB=14.5 m，
∴-=14.5，解得x≈17.9，
∴GH=EG+EH=17.9+1.5=19.4（m）.
答：旗杆GH的高度约为19.4 m.
（4）必然
22.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=AC，
∵AD=CF，∴BD=AF，
在△ADF和△BED中，，
∴△ADF≌△BED（SAS）.
（2）解：如图，分别过点C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H，G.
∵在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，
∴CH=AC·sin 60°=2，S△ABC=AB·CH=4.
∵AD的长为x，则AD=BE=CF=x，AF=4-x，
∴FG=AF·sin 60°=（4-x），
∴S△ADF=AD·FG=x（4-x），
由（1）可知△ADF≌△BED，
同理可证△BED≌△CFE，
∴S△ADF=S△BED=S△CFE=x（4-x），
∵△DEF的面积为y，
∴y=S△ABC-3S△ADF=4-3×x（4-x）
=x2-3x+4.
（3）解：由（2）可知y=x2-3x+4，
∵a=>0，对称轴为直线x=-=2，
∴当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小；
当223.解：（1）当α=45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠FCE=45°，∴∠BCE=∠ACF，
∵==，∴△BCE∽△ACF，
∴==，∴BE=AF.
（2）BE=2AF·cos α，理由如下：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，∴BH=CH=BC，∠ABC=∠ACB=α，
∴cos α==，∴2cos α=.
同理可得，2cos α=，∴=，
∵∠FCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，∴==2cos α，
∴BE=2AF·cos α.
（3）如图，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF的延长线于点H，
∴∠BMD=∠H=90°，∴DM∥CH，
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴DB=DE，∴BM=EM，
∵∠FCE=∠FEC=30°，∴∠CFH=∠FCE+∠FEC=60°，
∴∠FCH=30°，∴EF=CF=2FH，
设BM=x，则BE=2x，
∵DM∥CH，==，
∴BH=5BM=5x，∴EH=BH-BE=3x，
∵EF=2FH，∴EF=CF=2x，FH=x.
∴CH=x.
在Rt△BHC中，由勾股定理得，BH2+CH2=BC2，
∴（5x）2+（x）2=（4）2，解得x=2，
∴BE=2x=4，
由（2）得AF=BE=.

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