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数学中考总复习阶段检测阶段检测（5）四边形
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
五边形的外角和等于（ ）
A. B. C. D.
下列多边形中，内角和等于的是（ ）
如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A. 平分 B. C. D.
如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
如图，在矩形中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 5 C. D. 6
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
如图，在正方形外侧作等边三角形，，相交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
如图，在边长为 2 的正方形中，点为边的中点，延长至点，使，以为边作正方形，点在边上，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数为_________。
如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的大小是_________。
如图，在中，过点作，交的延长线于点，若，则的度数为_________。
如图，将一张长为、宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_________。
如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点为上一动点，则的最小值是_________。
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
如图，的对角线，相交于点，点，在上，且。求证：。
如图，在平行四边形中，，，垂足分别为点，，且。求证：平行四边形是菱形。
如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形。
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明为矩形。
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，。
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长。
（传统文化）壮族帽子是壮族文化的重要组成部分，承载着丰富的象征意义和文化内涵。将如图 1 的壮族帽子抽象成如图 2 的几何图形，我们发现：如果将两个全等的矩形与矩形按照图 3 叠放，，相交于点，，相交于点，再沿着对角线折叠可得图 2。
（1）求证：；
（2）若，求度数；
（3）求证：四边形是菱形。
综合与实践。
折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关问题。数学活动课上，同学们以 “矩形的折叠” 为主题开展了数学活动。
【操作】如图 1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点。
【猜想】
【验证】（1）请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
∴______________________________________，
∵四边形是矩形，∴（矩形的对边平行），
∴
∴__________________=__________________（等量代换），
∴（__________________）
【应用】如图 2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为。
（2）猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长。
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
综合运用。
如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形。四边形的面积为，运动时间为。
（1）的长为_________，的长为_________（用含的代数式表示）；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值。
【探究发现】（1）如图 1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点。求证：。
【类比迁移】（2）如图 2，矩形的对角线相交于点，且，。在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点。若，求的长。
【拓展应用】（3）如图 3，四边形和四边形都是平行四边形，点为对角线与的交点，且，，，是直角三角形，其中。在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点。当与重叠部分的面积是的面积的时，请求出的长。
参考答案
1.B　2.B　3.C　4.D　5.C　6.D　7.D　8.B　9.B　10.C
11.6　12.132　13.50°　14.24　15.2
16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AF=CE，∴OE=OF，
在△BEO和△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF.
17.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
18.（1）①（或②）
（2）（选择①为例）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，∴∠A+∠D=180°，
在△ABM和△DCM中，，
∴△ABM≌△DCM（SAS），∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，∴ ABCD为矩形.
19.（1）证明：∵在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠OAM=∠OCN，∠AMO=∠CNO，
在△AOM和△CON中，，
∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM=CN，
∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形.
（2）解：∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM=MC=AD-DM=4-DM，
在矩形ABCD中，AB=CD=2，∠D=90°，
∴在Rt△CDM中，MC2=CD2+DM2，
即（4-DM）2=22+DM2，解得DM=.
20.（1）证明：∵矩形ABCD≌矩形EFGH，
∴CD=AB=CF，AF=AD=BC，∠D=∠B=∠F=90°，
∴△ACB≌△CAF（SAS）.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，
∵∠ACB=35°，∴∠BAC=90°-35°=55°，
∵△ACB≌△CAF，∴∠ACB=∠CAF=35°，
∴∠BAM=∠BAC-∠CAF=55°-35°=20°.
（3）证明：∵矩形ABCD≌矩形EFGH，
∴AB=AH，BC=CH，∠B=∠H=90°，
∴△ABC≌△AHC（SAS），∴∠ACB=∠ACH，
∵△ACB≌△CAF，∴∠MCA=∠MAC，
∴∠ACH=∠CAM，∴CN∥AM，
同理AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形，
∵∠MCA=∠MAC，∴CM=AM，
∴四边形AMCN是菱形.
21.解：（1）∠CMD'　∠MCN　两直线平行，内错角相等
∠CMD'　∠MCN　等角对等边
（2）EC=2MN；理由如下：
∵由四边形ABEM折叠得到四边形A'B'EM，
∴∠AME=∠A'ME，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AME=∠MEN，
∴∠A'ME=∠MEN，∴MN=EN，
由（1）知MN=CN，∴MN=EN=CN，即EC=2MN.
（3）∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠，
∴∠D=∠D'=90°，DC=D'C=2，MD=MD'=4，
设MN=NC=x，∴ND'=MD'-MN=4-x，
在Rt△ND'C中，∠D'=90°，
∴ND'2+D'C2=NC2，∴（4-x）2+22=x2，
解得x=，∴MN=，∴EC=2MN=5.
22.解：（1）（4-x）　x
（2）当0∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，
∴∠QCO=∠NAO，∠CQO=∠ANO，
∵点O是对角线AC的中点，∴CO=AO，
在△QCO和△NAO中，，
∴△QCO≌△NAO（AAS），∴CQ=AN.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=CD=AD=4 cm，
∵BQ=2x cm，∴CQ=BC-BQ=（4-2x）cm，
∴AN=（4-2x）cm，
∴DM=CD-CM=（4-x）cm，DN=AD-AN=2x cm，
∴S△APN=AP·AN=x（4-2x）=2x-x2，
同理S△CMQ=2x-x2，S△BPQ=4x-x2，S△DMN=4x-x2，
∴y=S正方形ABCD-S△APN-S△CMQ-S△BPQ-S△DMN
=42-2（2x-x2）-2（4x-x2）
=16-4x+2x2-8x+2x2=4x2-12x+16；
当2图1
同上△MCO≌△PAO，△QCO≌△NAO，
∴MO=PO，QO=NO，∴四边形PQMN是平行四边形，
∵AP=x cm，AN=CQ=（2x-4）cm，
∴PN=AP-AN=x-（2x-4）=（-x+4）cm，
∴y=AD·PN=4（-x+4）=-4x+16.
综上所述，y=.
（3）当四边形PQMN是轴对称图形时，x的值是或.
【解答】由（2）知，四边形PQMN为平行四边形，当其为轴对称图形时，四边形PQMN为矩形或菱形.
图2
①当点P在AB上，点Q在BC上，且四边形PQMN是矩形时，如图2，可通过对称性与等腰直角三角形的性质证得矩形，此时PB=QB，
即4-x=2x，解得x=，
当四边形PQMN是菱形时，则PQ=MQ，
∴（4-x）2+（2x）2=x2+（4-2x）2，
解得x=0（不符合题意，舍去）；
②当点P在AB上，点Q在CD上且四边形PQMN为矩形时，如图3，此时PB=CQ，
图3
4-x=2x-4，解得x=，
当四边形PQMN是菱形时，则PN=PQ=4 cm，
即-x+4=4，解得x=0（不符合题意，舍去）.
综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，x=或.
23.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC=90°，∠OCM=∠ODN=45°，OC=OD，
由旋转可知∠C'OA'=90°，∴∠C'OA'=∠DOC=90°，
∴∠C'OA'-∠CON=∠DOC-∠CON，∴∠MOC=∠NOD，
∴△OMC≌△OND（ASA）.
（2）解：如图，过点O作AB的平行线交AD于点E，交BC于点P，过点N作NQ⊥EP于点Q，
∵四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是矩形，AB=6，AD=12，DN=1，
∴∠OPM=∠OQN=∠MON=90°，EQ=DN=1，
∴OE=OP=AB=3，NQ=CP=AE=BP=BC=6，
∴∠POM+∠QON=∠QON+∠QNO=90°，QO=OE-EQ=3-1=2，
∴∠POM=∠QNO，∴△POM∽△QNO，
∴=，∴=，∴PM=1，
∴CM=CP-PM=6-1=5.
（3）解：过点O作BC的垂线交BC于点H，
设∠DBC=α，则∠ADC=α+90°=∠A'OC'，
设∠BOM=β，则∠NOD=180°-β-（α+90°）=90°-α-β，
∴∠OMH=α+β，∠OND=90°-∠NOD=90°-（90°-α-β）=α+β，
∴∠OMH=∠OND，
∵∠OHM=∠ODN=90°，∴△OMH∽△OND，
∵AB=CD=3，BC=3，四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是平行四边形，△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴BD===6，∴OB=OD=3，
∵∠OBH=∠CBD，∠OHB=∠CDB=90°，
∴△OBH∽△CBD，
∴==，∴BH=2OH，
∵OH2+BH2=OB2，∴OH2+4OH2=32，
∴OH=，∴BH=2OH=，
设MH=m，则BM=BH-MH=-m，
∵△OMH∽△OND，∴=，
∴=，∴ND=m，
∵ ABCD与 A'B'C'O重叠部分的面积是 ABCD的面积的，平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，
∴S△BOM+S△ODN=S△BCD，
∴××+×3×m=××3×6，
∴m=，∴ND=m=，
∴ON===.

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