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2026年河南省名校之约中考数学模拟试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.几种气体的沸点标准大气压如下表：
气体 氢气 氮气 氧气 氦气
沸点温度
其中沸点最低的气体是( )
A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气
2.如图所示的立体图形中，其平面展开图错误的是( )
A. B.
C. D.
3.宋朝杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型转动木条，当增大时，则下列说法正确的是( )
A. 减小 B. 减小 C. 增大 D. 与的和不变
5.化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.已知关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7.现有四张航天相关卡片，如图所示，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张卡片，正面图案是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在格点上，点，分别是边，与网格对角线的交点，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化如图是和两种物质在水中的溶解度与温度之间的溶解度曲线，关于溶液浓度计算的相关信息见表下列说法不正确的是( )
信息窗
溶质质量溶剂质量溶液质量．
溶液浓度．
在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A. 和两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大
B. 时，溶解度较大的物质是
C. 时，将加入水中，充分溶解后，得到不饱和溶液
D. 将的饱和溶液降温至，溶液中溶质质量不变
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12.跳远运动员李阳对训练效果进行了次测试，成绩如下：，，，，单位：，这五次成绩的平均数为，方差为；如果李阳再跳一次，成绩为则李阳这次跳远成绩的方差 填“变大”、“不变”或“变小”．
13.按照一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是 ．
14.如图，已知在矩形中，，以点为圆心，长为半径作，交于点，以为直径的半圆恰好与边相切，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在等腰直角三角形中，，点在边上不与，重合，连结按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点，过点，作射线交于点若为等腰三角形，则的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
为了解中学生的视力情况，某市卫健局决定随机抽取本市部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
【整理数据】
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
及以下
及以上
合计
【分析数据】
在初中学生视力情况统计表中， ______， ______；
根据表格信息，初中学生视力的中位数为______，根据统计图信息，高中学生视力的众数为______；
【作出决策】
小红说：“初中学生的视力水平比高中学生的好”请你选择统计知识说明理由；
保护眼睛，明天更美好，请对视力保护提出一条合理化建议．
18.本小题分
如图，菱形的四个顶点均在格点网格线的交点上，对角线、相交于点，反比例函数的图象经过点．
求这个反比例函数的表达式．
请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象．
将菱形向左平移，当点落在此反比例函数的图象上时，平移的距离为______．
19.本小题分
如图，是以为直径的半圆上一动点，直线与过点的切线相交于点，连接．
请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线要求：不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，设的平分线交于点，连接．
求证：是的中位线；
若半径为，当四边形是正方形时，直接写出线段的长．
20.本小题分
下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．
如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？
【情境引入】
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”．
根据题意，例题中被覆盖的条件是______填序号；
种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元；
种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元；
小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价；
老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．
21.本小题分
为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速如图，电子眼位于点处，离水平地面的高度为米，区间测速的起点为引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为四点在同一平面．
求水平路段的长；精确到
已知测速路段坡比：，如果该路段限速千米小时即米秒，某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？参考数据：，，，，，，
22.本小题分
如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高锅口直径与锅盖直径视为相同，建立直角坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．
写出和的解析式：______；
如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为______；
如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由．
23.本小题分
【问题发现】
如图，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由．
【类比探究】
若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形∽矩形，，”，如图，点、、三点共线，点在线段上时，若，求的长．
【拓展延伸】
若将“正方形和正方形”改成菱形和菱形，且菱形∽菱形，如图，，，平分，点在射线上，在射线上截取，使得，连接，，当时，直接写出的长．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】变小
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.
解：原式
；
原式
．
17.解：，，
故答案为：，；
被调查的初中学生视力情况的样本容量为，
第个和第个数据为和，
中位数为，
被调查的高中学生视力情况中，出现的次数最多，
众数为．
故答案为：，；
初中学生的视力水平比高中学生的好，
被调查的高中学生视力情况的样本容量为，
第个和第个数据为和，
中位数为，
初中视力水平的中位数为，高中视力水平的中位数为，
所以初中学生的视力水平比高中学生的好；
建议该区中学生坚持每天做眼保健操，养成良好的用眼习惯．
18.解：反比例函数的图象经过点，将点的坐标代入得：
，
解得：，
反比例函数的表达式为；
在中，
当时，得：；
当时，得：，
当时，得：，
描点，连线，反比例函数的图象如图即为所求；
由图可知，，，
根据中点公式可得，
设向左平移个单位，则可得平移后的点的坐标，
把代入，得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
平移的距离为，
故答案为：．
19. 解：作图如图所示：
证明：是切线，
，
，
．
由可知：，
在和中，
，
≌，
，，
．
，
，
，
，
，
．
又，
是的中位线；
解：当四边形是正方形时，如图，
四边形是正方形，
，，
，．
由知：是的中位线，
，
．
线段的长为．
20.解：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”．
设种品牌足球的单价为元，
方程中，表示种品牌足球的单价，
种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元，
故被覆盖的条件为．
设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元；
设购买种品牌的足球个，
依题意，得，
解得，
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，
方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为元；
方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为元；
方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为元；
，
为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个．
21.解：在坡角点处时，电子眼的俯角为，
，
，
，
，
米，
答：路段的长约为米；
如图，过点作于点，于点，
则四边形是矩形，
，，
引桥坡度：，
，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：米，
米，
在面点处，此时电子眼的俯角为，
，
，
，
，
米，
米，
，
解得：，
米，
该车的平均速度为米秒米秒，
小汽车超速了．
22.解：设的解析式为，
经过点，，
，
解得：，
：，
设的解析式为，经过点，，，
解得：，
：，
故答案为：：，：；
水位高度是，
，
，
解得：，，
水面的直径为：，
故答案为：；
锅盖不能正常盖上．
理由：直径为，
半径为，
当时，，，
，
锅盖不能正常盖上．
23.解：如图，
设和的延长线交于，和交于，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，；
如图，
作于，
四边形是矩形，
，
，，
，
由得，
，
，
，
在中，，，
，
，
矩形∽矩形，
，，
，
∽，
，
；
如图，
当在上时，
连接，交于，作，交的延长线于，作，交于，
四边形是菱形，
，，
菱形∽菱形，
，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，
构造三角形如图，
令，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
当在的延长线上时，
由上可知：，
，
．
综上所述：或．
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