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课题名称：4.4平行四边形的判定定理第2课时
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能综合运用平行四边形的所有判定定理解决几何证明、图形判定和作图问题,能根据题目条件合理选择判定定理；
02
理解并掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理,能规范完成定理的推理论证过程,理解定理的几何本质；
01
经历定理的猜想、证明与应用过程,进一步体会互逆思想和转化思想,提升几何综合推理和规范书写能力；
03
培养几何问题的分析与探究能力,感受平行四边形判定体系的完整性,增强运用数学知识解决综合几何问题的信心.
04
复习回顾
1.平行四边形的性质从对角线角度有什么特征？我们已经学过哪些平行四边形的判定定理,分别是从哪个角度探究的？
1.对角线性质:平行四边形的对角线互相平分；
已学判定定理:一组对边平行且相等、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,均从边的角度探究.
情景问题
2.结合“性质与判定互逆”的思想,平行四边形对角线性质的逆命题是什么？这个逆命题是否成立？请结合三角形全等的知识说说你的证明思路.
2.逆命题:对角线互相平分的四边形是平行四边形；
成立,证明思路:设四边形对角线交于点,由、,结合对顶角相等,可证两组三角形全等,推出两组对边分别相等,再根据边的判定定理即可证明.
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理3
平行四边形具有对角线互相平分的性质,它的逆命题成立吗？
猜想:判定一个四边形是平行四边形,还有以下的定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
验证:已知:如图,在四边形中,对角线与相交于点,且.
求证:四边形是平行四边形.
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理3
证明:在与中,
,
.
.
同理,.
四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
探究新知
方法总结：
平行四边形的判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言:
,
四边形是平行四边形
探究新知
探究二：平行四边形判定定理的应用
分析:不难发现,四边形与有相同的对角线.连结,交于点,则.因此只要证明,就能证明.根据定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”就能证明四边形是平行四边形.
例2:已知:如图,在中,是对角线上的两点,且.
求证:四边形是平行四边形.
探究新知
探究二：平行四边形判定定理的应用
证明:如图,连结,交于点.
在中,(平行四边形的对角线互相平分).
(平行四边形的定义),.
又,
(平行四边形的对边相等),,
.
,即.
四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
探究新知
探究二：平行四边形判定定理的应用
变式:把例1中“”条件改为“和的平分线、分别与对角线相交于点”,结论还成立吗？
结论仍然成立,理由:四边形是平行四边形,
.
是角平分线,.
又(内错角相等),,
.结合与互相平分,得,
故四边形是平行四边形.
探究新知
方法总结：
1.核心思路:遇“共对角线的四边形判定”,优先利用“对角线互相平分”定理,通过证明线段相等推导对角线平分；
2.解题技巧:借助平行四边形性质、三角形全等转化线段关系,简化判定条件；
3.注意事项:明确定理适用前提是“四边形对角线相交”,区分“对角线平分”与“对角线相等/垂直”的不同作用.
探究新知
探究三：平行四边形判定和性质的综合运用
例3:已知:如图,在中,对角线相交于点,点在上,点在上,且.
(1)若,试求的取值范围；
(2)若,试求的度数；
(3)求证:四边形是平行四边形.
探究新知
探究三：平行四边形判定和性质的综合运用
解(1):四边形是平行四边形,
,
.
(2)解:,
,
四边形是平行四边形,
.
探究新知
探究三：平行四边形判定和性质的综合运用
(3)证明:四边形是平行四边形,
.
,
,
四边形是平行四边形.
探究新知
探究三：平行四边形判定和性质的综合运用
探究活动:任意画一个三角形和三角形一条边上的中线.比较这条中线的2倍与三角形另外两边的和的大小,你发现了什么？再画几个三角形试一试,你发现的结论仍然成立吗？试证明你的发现.
结论为“三角形一条边上的中线的2倍小于另外两边的和”.
探究新知
探究三：平行四边形判定和性质的综合运用
证明:如图，延长中线至,使,连结.
是中线,
.
又,
,
.
在△ 中,,即,
故中线的2倍小于另外两边的和.
探究新知
方法总结：
1.综合解题步骤:先分析题型特征(计算类用性质,判定类选定理),再结合条件选择辅助线(延长中线、连接对角线)；
2.思想方法:运用“倍长中线法”构造平行四边形,实现线段等量转化；综合运用三角形三边关系、全等性质与平行四边形判定,突破多知识点融合难点；
3.定理选择技巧:已知边的关系选边类判定,已知对角线关系选对角线判定,灵活切换提升解题效率.
课堂练习
1.下列说法中,错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
2.如图,四边形的对角线相交于点,则下列选项中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.
B.
C.
D.
D
C
课堂练习
3.如图,的对角线相交于点,分别是的中点,连结.求证:四边形是平行四边形.
证明:,.
又,
,.
,,
四边形是平行四边形.
课堂练习
证明:四边形是平行四边形,
.
分别是的中点,
,
四边形是平行四边形.
4.如图,在四边形中,与相交于点,,垂足分别为,且.求证:四边形是平行四边形.
课堂练习
证明:,.
又平分,,
,.
又,.
,
,
,
四边形是平行四边形.
5.如图,在四边形中,平分∠,于点,连结并延长,交于点,连结.求证:四边形是平行四边形.
课堂练习
证明:四边形是平行四边形,
,.
是的中点,.
在和中
,,
四边形是平行四边形.
6.如图,在中,是的中点,连结并延长,与的延长线相交于点F,连结AF.求证:四边形是平行四边形.
课堂练习
7.如图,在四边形中,对角线相交于点.若,则四边形的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
8.在四边形中,,为对角线的中点,过点作直线,交的延长线于点,交的延长线于点.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)如果四边形与四边形的周长分别是与,
求的周长.
D
课堂练习
解:(1),
四边形ABCD是平行四边形,.
为的中点,
.
在与中
,
,
四边形是平行四边形.
课堂练习
(2)∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形,
∴AD＋DC=8,CE＋AE=5,
∴△EDC的周长=AD＋DC＋CE＋AE=13.
课堂练习
9.如图,在中,是的中点,分别过点作射线的垂线,垂足分别为连结.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)若,在不添加辅助线的条件下,直接写出所有与面积相等的三角形.
课堂练习
解:(1)是的中点,.
,.
在和中
,.
又,四边形是平行四边形.
(2)与面积相等的三角形有.
课堂练习
10.如图,为的中线,为上一点,连结,交于点且.求证:.
证明:如答图,延长至点,使,连结.
是的中点,且,
四边形为平行四边形,
,.
,.
,
,
,.
课堂小结
知识点：
1.定理掌握:牢记“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,理解定理的推理论证逻辑,掌握几何语言表达.
2.体系构建:整合边类与对角线类判定定理,能根据题目条件快速选择合适定理,明确不同定理的适用场景.
3.综合应用:熟练运用判定定理与性质解决“判定+计算”综合题,掌握“倍长中线法”等辅助线添加技巧,提升几何综合推理能力.
4.思想渗透:深化互逆思想与转化思想的运用,形成“条件分析—定理选择—逻辑推导”的解题思维模式,为特殊平行四边形判定学习奠定基础.
知识梳理
课后提升
1.已知O为四边形ABCD对角线的交点,下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.OA=OB,OC=OD
B.AD∥BC,∠BAD=∠BCD
C.AB=BC,CD=DA
D.∠BAD=∠ABC,∠BCD=∠ADC
2.如图所示,OA=OC,BD=16cm,则当OB=　　　　cm时,四边形ABCD是平行四边形.
基础作业：
B
8
课后提升
基础作业：
3.若四边形的对角线互相平分,两个相邻的内角度数比为1∶2,则较大的内角是　　　　度.
4.如图,四边形的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,BC=9,AC=8,BD=14,则△AOD的周长为　　　　.
120
20
课后提升
基础作业：
证明:如图,连结,设与交于点,
,四边形是平行四边形,
,
,,,
四边形是平行四边形.
5.如图,在四边形ABCD中,点E、F为对角线BD上的两点,且DE=BF,连结AE、CF,且AE∥CF,AE=CF.求证:四边形ABCD为平行四边形.
课后提升
基础作业：
证明:,,
在和中,
,,
同法可证,,
,四边形是平行四边形.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,EF过O交AD于E,交BC于F,且OE=OF,请说明四边形ABCD是平行四边形.
课后提升
能力提升：
7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠CBD=90°,
BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.6　　　　B.12　　　　C.20　　　　D.24
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相平分,AB=15,AD=9,AC⊥BC,则BD的长为　　　　.
D
课后提升
提升作业：
证明:四边形为平行四边形,
,
分别是的中点,,
四边形是平行四边形.
9.如图,在中,对角线交于点,且点分别是的中点,连结.求证:四边形是平行四边形.
课后提升
10.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,　　　　.(选择①②③中的一项)
求证:四边形ABCD是平行四边形.
提升作业：
①②③均可，答案不唯一
课后提升
解:选择,证明如下:
,,
在与中,
,,
四边形是平行四边形.
提升作业：
课后提升
解:选择,证明如下:
同上可证四边形是平行四边形.
选择,证明如下:
,,
,
,,
∴四边形是平行四边形.
提升作业：
课后提升
提升作业：
11.如图,在中,对角线与相交于点,点在的延长线上,点在的延长线上,且,连结.
(1)求证:;
(2)连结,四边形是平行四边形吗 请说明理由.
课后提升
提升作业：
解:(1)证明:四边形是平行四边形,
,
,,
在和中,
.
课后提升
提升作业：
解:(2)如图,四边形AFCE是平行四边形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵DE=BF,
∴OD+DE=OB+BF,即OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
课后提升
拓展作业：
12.如图①,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O与AD,BC分别交于点E,F,GH过点O与AB,CD分别交于点G,H,连结EG,FG,FH,EH.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).
课后提升
拓展作业：
解:(1)证明:四边形是平行四边形,
,.
,,
,,
同理,四边形是平行四边形.
(2)、、、.
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分课时学案
课题 4.4平行四边形的判定定理第2课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解并掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，能规范完成定理的推理论证过程，理解定理的几何本质； 2.能综合运用平行四边形的所有判定定理解决几何证明、图形判定和作图问题，能根据题目条件合理选择判定定理； 3.经历定理的猜想、证明与应用过程，进一步体会互逆思想和转化思想，提升几何综合推理和规范书写能力； 4.培养几何问题的分析与探究能力，感受平行四边形判定体系的完整性，增强运用数学知识解决综合几何问题的信心。
重点 1.掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理并能规范证明； 2.能综合运用平行四边形的各类判定定理解决几何证明、作图等综合问题。
难点 能根据具体几何问题的条件，灵活选择合适的平行四边形判定定理解题，并能在复杂图形中准确梳理线段关系完成证明。
教学过程
导入新课 复习问题 1.平行四边形的性质从对角线角度有什么特征？我们已经学过哪些平行四边形的判定定理，分别是从哪个角度探究的？ 2.结合“性质与判定互逆”的思想，平行四边形对角线性质的逆命题是什么？这个逆命题是否成立？请结合三角形全等的知识说说你的证明思路。
新知讲解 探究活动一：平行四边形的判定定理3 平行四边形具有对角线互相平分的性质，它的逆命题成立吗？ 判定一个四边形是平行四边形，还有以下的定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 已知：如图，在四边形中，对角线与相交于点，且. 求证：四边形是平行四边形。 总结归纳： 探究活动二：平行四边形判定定理的应用 例2：已知：如图，在中，是对角线上的两点，且. 求证：四边形是平行四边形。 分析：不难发现，四边形与有相同的对角线.连结，交于点，则.因此只要证明，就能证明.根据定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”就能证明四边形是平行四边形。 变式：把例1中“”条件改为“和的平分线、分别与对角线相交于点”，结论还成立吗？ 方法总结： 探究活动三：平行四边形判定和性质的综合运用 例3：已知：如图，在 ABCD中，对角线相交于点，点在上，点在上，且. （1）若，试求的取值范围； (2）若，试求的度数； （3）求证：四边形是平行四边形。 探究活动：任意画一个三角形和三角形一条边上的中线。比较这条中线的2倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么？再画几个三角形试一试，你发现的结论仍然成立吗？试证明你的发现。 结论为“三角形一条边上的中线的2倍小于另外两边的和”。 总结归纳：
课堂练习 课堂练习 1.下列说法中，错误的是（ ） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 2.如图，四边形的对角线相交于点，则下列选项中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，的对角线相交于点,分别是的中点，连结.求证：四边形是平行四边形。 4.如图，在四边形中，与相交于点,，垂足分别为，且.求证：四边形是平行四边形。 5.如图，在四边形中，平分∠,于点，连结并延长，交于点，连结.求证：四边形是平行四边形。 6.如图，在中，是的中点，连结并延长，与的延长线相交于点F，连结AF.求证：四边形是平行四边形。 7.如图，在四边形中，对角线相交于点.若，则四边形的面积为（ ) A.6 B.12 C.20 D.24 8.在四边形中，,为对角线的中点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点. （1）求证：四边形是平行四边形。 （2）如果四边形与四边形的周长分别是与，求的周长。 9.如图，在中，是的中点，分别过点作射线的垂线，垂足分别为连结. （1）求证：四边形是平行四边形。 （2）若，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有与面积相等的三角形。 10.如图，为的中线，为上一点，连结，交于点且.求证：.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点：
课后提升 基础达标： 1.已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA=OB,OC=OD B.AD∥BC,∠BAD=∠BCD C.AB=BC,CD=DA D.∠BAD=∠ABC,∠BCD=∠ADC 2.如图所示，OA=OC,BD=16cm，则当OB=　　　　cm时，四边形ABCD是平行四边形。 3.若四边形的对角线互相平分，两个相邻的内角度数比为1∶2，则较大的内角是　　　　度。 4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,BC=9,AC=8,BD=14，则△AOD的周长为　　　　. 5.如图，在四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上的两点，且DE=BF，连结AE、CF，且AE∥CF,AE=CF.求证：四边形ABCD为平行四边形。 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O,EF过O交AD于E，交BC于F，且OE=OF，请说明四边形ABCD是平行四边形。 能力提升： 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E,∠CBD=90°, BC=4,BE=ED=3,AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　) A.6　　　　B.12　　　　C.20　　　　D.24 8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，AB=15,AD=9,AC⊥BC，则BD的长为　　　　. 9.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，且点E,F分别是AO,CO的中点，连结BE,BF,DE,DF.求证：四边形BEDF是平行四边形。 10.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,　　　　.（选择①②③中的一项） 求证：四边形ABCD是平行四边形。 11.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BD的延长线上，点F在DB的延长线上，且DE=BF，连结AE,CF. （1）求证：△ADE≌△CBF; （2）连结AF,CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由。 拓展迁移： 12.如图①，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD,BC分别交于点E,F,GH过点O与AB,CD分别交于点G,H，连结EG,FG,FH,EH. （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图②，若EF∥AB,GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）. 图① 图②
参考答案：
复习问题：
1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；已学判定定理：一组对边平行且相等、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，均从边的角度探究。
2.逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；成立，证明思路：设四边形对角线交于点，由、，结合对顶角相等，可证两组三角形全等，推出两组对边分别相等，再根据边的判定定理即可证明。
探究一：
证明：在与中，
,
.
.
同理，.
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
探究二：
证明：如图，连结，交于点.
在中，（平行四边形的对角线互相平分）.
（平行四边形的定义）,
.
又,
（平行四边形的对边相等）,
,
.
，即.
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
变式：结论仍然成立。
理由：四边形是平行四边形，
.
是角平分线，
.
又（内错角相等）,
,
.
结合与互相平分，
得,
故四边形是平行四边形。
方法总结：
探究三：
解（1）:四边形是平行四边形，
,
.
(2）解：,
,
四边形是平行四边形，
.
（3）证明：四边形是平行四边形，
.
,
,
四边形是平行四边形。
探究活动：证明：如图，延长中线至，使，连结.
是中线，
.
又,
,
.
在中，，即,
故中线的2倍小于另外两边的和。
课堂练习：
1.D;2.C;
3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点，
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形。
4.证明：∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEO=∠DFO=90°.
又∵∠BOE=∠DOF,OE=OF,
∴△BEO≌△DFO(AAS),
∴BO=DO.
∵AE=CF,EO=FO,∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形。
5.证明：∵AD∥BE,
∴∠DAE=∠AEB.
又∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠AEB=∠BAE,∴AB=EB.
又∵BF⊥AE,∴AF=EF.
∵∠AFD=∠EFC,
∴△AFD≌△EFC(ASA),
∴DF=CF,
∴四边形ACED是平行四边形。
6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠FBE.
∵E是AB的中点，∴AE=BE.
在△ADE和△BFE中，
∵
∴△ADE≌△BFE(ASA),
∴DE=FE,
∴四边形AFBD是平行四边形。
7.D;
8.解：(1)∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形，∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO.
∵O为AC的中点，
∴AO=CO.
在△AEO与△CFO中，
∵
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形。
（2）∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，
∴AD+DC=8,CE+AE=5,
∴△EDC的周长=AD＋DC＋CE＋AE=13.
9.解：(1)∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
∵BE⊥AE,CF⊥AE,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴ED=FD.
又∵BD=CD,
∴四边形BECF是平行四边形。
（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC.
10.证明：如答图，延长AD至点G，使DG=AD，连结BG,CG.
∵D是BC的中点，且AD=DG,
∴四边形ABGC为平行四边形，
∴BG∥AC,BG=AC,
∴∠AGB=∠EAF.
∵AE=EF,
∴∠EFA=∠EAF.
∵∠EFA=∠BFG,
∴∠AGB=∠BFG,
∴BG=BF,∴BF=AC.
课后提升：
1.B
2.8
解析　当OB=8cm时，四边形ABCD是平行四边形。
理由如下：∵BD=16cm,OB=8cm,
∴OD=BD-OB=8cm,∴OB=OD,
∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形。
3.120
解析　因为四边形的对角线互相平分，
所以这个四边形是平行四边形，
设两个相邻的内角度数分别为x°,2x°,
则x+2x=180，解得x=60,
则较大内角的度数等于120°,
故答案为120.
4.20
解析　∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=9,∵AC=8,BD=14,
∴OA=AC=4,OD=BD=7,
∴△AOD的周长为9+4+7=20.
故答案为20.
5.证明：如图，连结AF、CE、AC，设AC与BD交于点O,
∵AE∥CF,AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形，
∴OA=OC,OF=OE,
∵BF=DE,∴BF+OF=DE+OE,∴OB=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形。
6.证明：∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA),∴AO=CO,
同法可证△EOD≌△FOB,∴OD=OB,
∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形。
7.D　∵∠CBD=90°,∴CE==5,
又∵AC=10,∴AE=5=CE,∴AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S ABCD=2S△CBD=2××(3+3)×4=24.
故选D.
8.6
解析　∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=9,
∵AC⊥BC,∴AC==12,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC=6,OB=OD,
∴OB=,
∴BD=2OB=6.
9.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD,
∵E,F分别是AO,CO的中点，∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形。
10.解：选择①AO=CO，证明如下：
∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,
在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形。
选择②BO=OD，证明如下：
同上可证四边形ABCD是平行四边形。
选择③∠BAD=∠BCD，证明如下：
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BCD+∠ADC=180°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形。
11.解：(1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF,
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
（2）如图，四边形AFCE是平行四边形。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD,
∵DE=BF,∴OD+DE=OB+BF，即OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形。
12.解：(1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
∵OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF,
同理OG=OH,∴四边形EGFH是平行四边形。
(2) GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH.
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4.4平行四边形的判定定理第2课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.4平行四边形的判定定理第2课时 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心素养要求，引导学生探究并掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，能规范完成定理推理论证；能综合运用平行四边形的所有判定定理解决几何证明、图形作图问题，发展逻辑推理能力、几何直观和作图能力；体会“性质与判定互逆”的数学思想，能根据题意选择合适的判定定理解题；深化对平行四边形判定体系的认知，为特殊平行四边形的判定学习奠定基础，契合新课标“强化几何推理与知识综合运用”的导向。
教材分析 本节课是平行四边形判定的延伸课，承接上一课时边的判定定理，核心探究对角线的判定定理，完善平行四边形的判定体系。教材以平行四边形对角线性质的逆命题为切入点，引导学生猜想并证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，再通过例题实现该定理与前序判定定理的综合应用，还设计了作图、探究活动深化定理理解。内容设计延续“性质逆推—猜想—证明—应用”的逻辑，突出判定定理的综合运用，既是对平行四边形判定知识的完善，也是培养学生几何综合解题能力的重要载体，为后续矩形、菱形判定学习搭建思维框架。
学情分析 学生已掌握平行四边形边的两个判定定理和所有性质，具备扎实的三角形全等证明能力和基本的几何综合推理素养，能理解性质与判定的互逆关系。但学生对对角线判定定理的探究需引导，综合运用不同判定定理时，难以根据题目条件快速选择合适的定理；在涉及对角线的证明中，易忽略连接对角线这一辅助线添加方法；部分学生在复杂图形中，无法准确梳理线段间的等量关系，几何解题的思路梳理能力仍有欠缺。
教学目标 1.理解并掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，能规范完成定理的推理论证过程，理解定理的几何本质； 2.能综合运用平行四边形的所有判定定理解决几何证明、图形判定和作图问题，能根据题目条件合理选择判定定理； 3.经历定理的猜想、证明与应用过程，进一步体会互逆思想和转化思想，提升几何综合推理和规范书写能力； 4.培养几何问题的分析与探究能力，感受平行四边形判定体系的完整性，增强运用数学知识解决综合几何问题的信心。
教学重点 1.掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理并能规范证明； 2.能综合运用平行四边形的各类判定定理解决几何证明、作图等综合问题。
教学难点 能根据具体几何问题的条件，灵活选择合适的平行四边形判定定理解题，并能在复杂图形中准确梳理线段关系完成证明。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.平行四边形的性质从对角线角度有什么特征？我们已经学过哪些平行四边形的判定定理，分别是从哪个角度探究的？ 2.结合“性质与判定互逆”的思想，平行四边形对角线性质的逆命题是什么？这个逆命题是否成立？请结合三角形全等的知识说说你的证明思路。 答案 1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；已学判定定理：一组对边平行且相等、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，均从边的角度探究。 2.逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；成立，证明思路：设四边形对角线交于点，由、，结合对顶角相等，可证两组三角形全等，推出两组对边分别相等，再根据边的判定定理即可证明。 回顾平行四边形对角线的性质及边类判定定理，引导学生逆向思考对角线性质的逆命题，铺垫互逆思想。 复述旧知，提出对角线判定的猜想，关联三角形全等梳理证明思路。 衔接前序知识，以“逆推”引发探究兴趣，为对角线判定定理的推导搭建逻辑桥梁。
探究活动一：平行四边形的判定定理3 平行四边形具有对角线互相平分的性质，它的逆命题成立吗？ 猜想：判定一个四边形是平行四边形，还有以下的定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 已知：如图，在四边形中，对角线与相交于点，且. 求证：四边形是平行四边形。 证明：在与中， , . . 同理，. 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 总结归纳： 平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言： , 四边形是平行四边形 引导学生规范完成定理证明，强调“对角线互相平分”的条件本质，示范几何语言表达。 自主完成定理推导，理解“对角线平分”与“对边相等”的关联，掌握定理的几何表述。 经历“猜想—证明—归纳”过程，完善平行四边形判定体系，强化转化思想与推理严谨性。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：平行四边形判定定理的应用 例2：已知：如图，在中，是对角线上的两点，且. 求证：四边形是平行四边形。 分析：不难发现，四边形与有相同的对角线.连结，交于点，则.因此只要证明，就能证明.根据定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”就能证明四边形是平行四边形。 证明：如图，连结，交于点. 在中，（平行四边形的对角线互相平分）. （平行四边形的定义）, . 又, （平行四边形的对边相等）, , . ，即. 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 变式：把例1中“”条件改为“和的平分线、分别与对角线相交于点”，结论还成立吗？ 结论仍然成立。 理由：四边形是平行四边形， . 是角平分线， . 又（内错角相等）, , . 结合与互相平分， 得, 故四边形是平行四边形。 方法总结： 1.核心思路：遇“共对角线的四边形判定”，优先利用“对角线互相平分”定理，通过证明线段相等推导对角线平分； 2.解题技巧：借助平行四边形性质、三角形全等转化线段关系，简化判定条件； 3.注意事项：明确定理适用前提是“四边形对角线相交”，区分“对角线平分”与“对角线相等/垂直”的不同作用。 分析例题中“共对角线”的特征，点拨“证明线段相等→推导对角线平分”的思路，引导变式拓展。 运用定理完成证明，探究变式条件下的结论有效性，总结解题关键。 巩固定理应用，提升变式探究能力，突破“对角线关联线段”的解题难点。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：平行四边形判定和性质的综合运用 例3：已知：如图，在中，对角线相交于点，点在上，点在上，且. （1）若，试求的取值范围； (2）若，试求的度数； （3）求证：四边形是平行四边形。 解（1）:四边形是平行四边形， , . (2）解：, , 四边形是平行四边形， . （3）证明：四边形是平行四边形， . , , 四边形是平行四边形。 探究活动：任意画一个三角形和三角形一条边上的中线。比较这条中线的2倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么？再画几个三角形试一试，你发现的结论仍然成立吗？试证明你的发现。 结论为“三角形一条边上的中线的2倍小于另外两边的和”。 证明：如图，延长中线至，使，连结. 是中线， . 又, , . 在中，，即, 故中线的2倍小于另外两边的和。 总结归纳： 1.综合解题步骤：先分析题型特征（计算类用性质，判定类选定理），再结合条件选择辅助线（延长中线、连接对角线）； 2.思想方法：运用“倍长中线法”构造平行四边形，实现线段等量转化；综合运用三角形三边关系、全等性质与平行四边形判定，突破多知识点融合难点； 3.定理选择技巧：已知边的关系选边类判定，已知对角线关系选对角线判定，灵活切换提升解题效率。 引导学生整合所有判定定理，分析综合题中“计算+证明”的双重需求，点拨辅助线添加技巧。 综合运用判定与性质解决多问题型，梳理“条件→定理→结论”的逻辑链条。 强化知识综合运用能力，构建“判定—性质—应用”的完整认知，提升几何综合解题素养。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列说法中，错误的是（ ） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 2.如图，四边形的对角线相交于点，则下列选项中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，的对角线相交于点,分别是的中点，连结.求证：四边形是平行四边形。 4.如图，在四边形中，与相交于点,，垂足分别为，且.求证：四边形是平行四边形。 5.如图，在四边形中，平分∠,于点，连结并延长，交于点，连结.求证：四边形是平行四边形。 6.如图，在中，是的中点，连结并延长，与的延长线相交于点F，连结AF.求证：四边形是平行四边形。 7.如图，在四边形中，对角线相交于点.若，则四边形的面积为（ ) A.6 B.12 C.20 D.24 8.在四边形中，,为对角线的中点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点. （1）求证：四边形是平行四边形。 （2）如果四边形与四边形的周长分别是与，求的周长。 9.如图，在中，是的中点，分别过点作射线的垂线，垂足分别为连结. （1）求证：四边形是平行四边形。 （2）若，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有与面积相等的三角形。 10.如图，为的中线，为上一点，连结，交于点且.求证：. 1.D;2.C; 3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD. ∵E,F分别是OB,OD的中点， ∴OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形。 4.证明：∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠BEO=∠DFO=90°. 又∵∠BOE=∠DOF,OE=OF, ∴△BEO≌△DFO(AAS), ∴BO=DO. ∵AE=CF,EO=FO,∴AO=CO, ∴四边形ABCD是平行四边形。 5.证明：∵AD∥BE, ∴∠DAE=∠AEB. 又∵AE平分∠BAD, ∴∠DAE=∠BAE, ∴∠AEB=∠BAE,∴AB=EB. 又∵BF⊥AE,∴AF=EF. ∵∠AFD=∠EFC, ∴△AFD≌△EFC(ASA), ∴DF=CF, ∴四边形ACED是平行四边形。 6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∴∠DAE=∠FBE. ∵E是AB的中点，∴AE=BE. 在△ADE和△BFE中， ∵ ∴△ADE≌△BFE(ASA), ∴DE=FE, ∴四边形AFBD是平行四边形。 7.D; 8.解：(1)∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形，∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO. ∵O为AC的中点， ∴AO=CO. 在△AEO与△CFO中， ∵ ∴△AEO≌△CFO(AAS), ∴EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形。 （2）∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形， ∴AD+DC=8,CE+AE=5, ∴△EDC的周长=AD＋DC＋CE＋AE=13. 9.解：(1)∵D是BC的中点， ∴BD=CD. ∵BE⊥AE,CF⊥AE, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中， ∵ ∴△BED≌△CFD(AAS), ∴ED=FD. 又∵BD=CD, ∴四边形BECF是平行四边形。 （2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC. 10.证明：如答图，延长AD至点G，使DG=AD，连结BG,CG. ∵D是BC的中点，且AD=DG, ∴四边形ABGC为平行四边形， ∴BG∥AC,BG=AC, ∴∠AGB=∠EAF. ∵AE=EF, ∴∠EFA=∠EAF. ∵∠EFA=∠BFG, ∴∠AGB=∠BFG, ∴BG=BF,∴BF=AC. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.定理掌握：牢记“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，理解定理的推理论证逻辑，掌握几何语言表达。 2.体系构建：整合边类与对角线类判定定理，能根据题目条件快速选择合适定理，明确不同定理的适用场景。 3.综合应用：熟练运用判定定理与性质解决“判定+计算”综合题，掌握“倍长中线法”等辅助线添加技巧，提升几何综合推理能力。 4.思想渗透：深化互逆思想与转化思想的运用，形成“条件分析—定理选择—逻辑推导”的解题思维模式，为特殊平行四边形判定学习奠定基础。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.4平行四边形的判定定理（第2课时） 一、核心定理（对角线类） 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 几何语言：,四边形是平行四边形。 二、判定体系整合 边1.一组对边平行且相等； 2.两组对边分别相等对角线对角线互相平分
三、核心思想与技巧 思想：互逆思想、转化思想（构造全等/平行四边形）； 技巧：倍长中线法、全等转化线段关系。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA=OB,OC=OD B.AD∥BC,∠BAD=∠BCD C.AB=BC,CD=DA D.∠BAD=∠ABC,∠BCD=∠ADC 2.如图所示，OA=OC,BD=16cm，则当OB=　　　　cm时，四边形ABCD是平行四边形。 3.若四边形的对角线互相平分，两个相邻的内角度数比为1∶2，则较大的内角是　　　　度。 4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,BC=9,AC=8,BD=14，则△AOD的周长为　　　　. 5.如图，在四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上的两点，且DE=BF，连结AE、CF，且AE∥CF,AE=CF.求证：四边形ABCD为平行四边形。 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O,EF过O交AD于E，交BC于F，且OE=OF，请说明四边形ABCD是平行四边形。 能力提升： 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E,∠CBD=90°, BC=4,BE=ED=3,AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　) A.6　　　　B.12　　　　C.20　　　　D.24 8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，AB=15,AD=9,AC⊥BC，则BD的长为　　　　. 9.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，且点E,F分别是AO,CO的中点，连结BE,BF,DE,DF.求证：四边形BEDF是平行四边形。 10.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,　　　　.（选择①②③中的一项） 求证：四边形ABCD是平行四边形。 11.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BD的延长线上，点F在DB的延长线上，且DE=BF，连结AE,CF. （1）求证：△ADE≌△CBF; （2）连结AF,CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由。 拓展迁移： 12.如图①，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD,BC分别交于点E,F,GH过点O与AB,CD分别交于点G,H，连结EG,FG,FH,EH. （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图②，若EF∥AB,GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）. 图① 图② 1.B 2.8 解析　当OB=8cm时，四边形ABCD是平行四边形。 理由如下：∵BD=16cm,OB=8cm, ∴OD=BD-OB=8cm,∴OB=OD, ∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形。 3.120 解析　因为四边形的对角线互相平分， 所以这个四边形是平行四边形， 设两个相邻的内角度数分别为x°,2x°, 则x+2x=180，解得x=60, 则较大内角的度数等于120°, 故答案为120. 4.20 解析　∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=9,∵AC=8,BD=14, ∴OA=AC=4,OD=BD=7, ∴△AOD的周长为9+4+7=20. 故答案为20. 5.证明：如图，连结AF、CE、AC，设AC与BD交于点O, ∵AE∥CF,AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形， ∴OA=OC,OF=OE, ∵BF=DE,∴BF+OF=DE+OE,∴OB=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形。 6.证明：∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO, 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO(ASA),∴AO=CO, 同法可证△EOD≌△FOB,∴OD=OB, ∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形。 7.D　∵∠CBD=90°,∴CE==5, 又∵AC=10,∴AE=5=CE,∴AC与BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S ABCD=2S△CBD=2××(3+3)×4=24. 故选D. 8.6 解析　∵对角线AC与BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=9, ∵AC⊥BC,∴AC==12, ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC=6,OB=OD, ∴OB=, ∴BD=2OB=6. 9.证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD, ∵E,F分别是AO,CO的中点，∴OE=OF, ∴四边形BEDF是平行四边形。 10.解：选择①AO=CO，证明如下： ∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO, 在△AOB与△COD中， ∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 选择②BO=OD，证明如下： 同上可证四边形ABCD是平行四边形。 选择③∠BAD=∠BCD，证明如下： ∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠BCD+∠ADC=180°,∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形。 11.解：(1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF, 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF(SAS). （2）如图，四边形AFCE是平行四边形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD, ∵DE=BF,∴OD+DE=OB+BF，即OE=OF, ∴四边形AFCE是平行四边形。 12.解：(1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO. ∵OA=OC,∠AOE=∠COF, ∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF, 同理OG=OH,∴四边形EGFH是平行四边形。 (2) GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH.
教学反思 本节课以性质逆推为复习导入，自然引出对角线判定定理的猜想，多数学生能掌握该定理并完成证明，也能进行简单的定理应用。但教学中仍存在不足：一是部分学生在综合题中，无法根据题干条件快速筛选合适的判定定理，解题思路较为零散；二是复杂图形中，学生对辅助线（如连接对角线）的添加时机把握不准；三是几何证明的步骤书写仍有疏漏，等量关系的推导逻辑衔接不顺畅。后续教学需设计判定定理的选择类习题，引导学生总结不同条件下的定理选用技巧，增加复杂图形的拆分分析训练，强化几何证明的书写规范，通过分层综合题提升学生的几何解题能力。
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