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4.4平行四边形的判定定理第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.4平行四边形的判定定理第1课时 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心素养要求,引导学生探究并掌握“一组对边平行且相等”“两组对边分别相等”的平行四边形判定定理,能规范完成定理的推理论证;能运用判定定理解决简单的几何证明和图形判定问题,发展逻辑推理能力、几何直观和抽象概括能力；体会“性质与判定互逆”的数学思想，能区分平行四边形的性质与判定的应用场景；为后续学习其他判定定理和特殊平行四边形判定奠定基础，契合新课标“注重几何推理与思想方法渗透”的导向。
教材分析 本节课是平行四边形的核心内容，承接平行四边形的性质，开启平行四边形判定的探究，是性质的逆用与拓展。教材以晾衣架的实际情境引题，先探究“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理并完成证明，再通过例题实现定理应用，随后提出“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的定理让学生自主证明。内容设计遵循“性质逆推—猜想—证明—应用”的逻辑，突出“互逆”思想，既完善了平行四边形的知识体系，又为后续对角线判定定理的学习搭建了探究框架，具有承上启下的关键作用。
学情分析 学生已熟练掌握平行四边形的定义和性质，具备三角形全等的证明能力和基本的几何推理素养，能理解“性质”是由图形推特征，对“判定”由特征推图形的互逆思维有初步认知。但学生难以自主从性质逆推得出判定猜想，定理证明中对辅助线的添加思路需引导；部分学生易混淆平行四边形的性质与判定的应用场景，在证明中错用定理；同时，对“一组对边平行且相等”的表述和符号运用不熟练，几何语言的规范书写仍有欠缺。
教学目标 1.理解并掌握“一组对边平行且相等”“两组对边分别相等”的平行四边形判定定理，能规范完成定理的推理论证过程； 2.能正确运用平行四边形的判定定理解决四边形的判定、几何证明等问题，区分判定与性质的不同应用场景； 3.经历“性质逆推—猜想—证明—应用”的探究过程，体会互逆思想和转化思想，提升逻辑推理和几何语言表达能力； 4.培养合作探究意识，感受数学知识的逻辑性和关联性，增强运用几何知识解决问题的信心。
教学重点 1.掌握“一组对边平行且相等”“两组对边分别相等”的平行四边形判定定理； 2.能运用判定定理进行平行四边形的判定和简单的几何证明。
教学难点 从平行四边形的性质逆推得出判定猜想，能规范添加辅助线完成判定定理的证明，并灵活区分运用性质与判定定理解决几何问题。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习问题 1.平行四边形的核心性质有哪些？从边的角度进行梳理，并用几何语言表述； 2.我们知道“平行四边形的两组对边分别平行且相等”，这是由平行四边形这个图形得到边的特征，若反过来，一个四边形满足“两组对边分别相等”，它是不是平行四边形？满足“一组对边平行且相等”呢？请结合三角形全等的知识说说你的猜想依据。 答案 1.边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等；在中，. 2.猜想：两种情况都能判定是平行四边形；依据：连接四边形的一条对角线，可将四边形分成两个三角形，利用边的相等关系证明三角形全等，进而推出内错角相等，得到对边平行，结合平行四边形定义即可判定。 回顾平行四边形边的核心性质，引导学生逆向思考“边满足何种条件可判定为平行四边形”，铺垫互逆思想。 复述边的性质，尝试提出判定猜想，关联三角形全等知识构建推理思路。 衔接平行四边形性质旧知，以“逆推”引发探究兴趣，为判定定理的猜想与证明搭建逻辑桥梁。
探究活动一：平行四边形的判定定理1 你见过如图所示的晾衣架吗？如果依次连结四个端，点，得到的四边形一定是平行四边形吗？ 命题“平行四边形的一组对边平行且相等”是真命题吗？写出它的逆命题。这个逆命题是真命题吗？（请与你的同伴交流） 是真命题，它的逆命题是：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，也是真命题。 我们知道，根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形。除此之外，我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 已知：如图，在四边形中，. 求证：四边形是平行四边形。 分析：因为，根据平行四边形的定义，只要 再证明即可。而要证明，可连结，证明相应的内错角相等。 证明：如图，连结. 因为, 所以. 又因为, 可证, 所以, 所以. 所以四边形是平行四边形（根据什么？）. 想一想：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 不一定，例如：等腰梯形满足：一组对边平行，另一组对边相等；但它不是平行四边形（只有一组对边平行）. 结合晾衣架情境引导学生验证猜想，示范“连接对角线”转化为三角形全等的证明方法，规范推理步骤。 动手操作验证，参与定理证明，理解“四边形→三角形”的转化思路，辨析易混命题。 经历“猜想—验证—证明”过程，夯实定理基础，突破“辅助线添加”与“易混命题辨析”难点。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：平行四边形判定定理的应用 例1：已知：如图，在中，分别是,的中点。 求证：. 证明：在中， （平行四边形的一组对边平行且相等）, 又分别是的中点， 四边形是平行四边形（一组对边平行并且等的四边形是平行四边形）. （平行四边形的定义）. 方法总结： 1.核心思路：紧扣“一组对边平行且相等”的双重条件，结合中点、平行关系等推导边的等量与平行关系； 2.解题技巧：先识别或构造满足“平行且相等”的对边，再依据定理判定平行四边形，最后运用平行四边形性质推导结论； 3.注意事项：明确“平行”与“相等”需针对同一组对边，避免混淆不同对边的条件。 引导学生分析例题条件，点拨“中点”条件与判定定理的结合技巧，规范几何语言表达。 运用定理完成证明，总结“找平行且相等对边”的解题关键，提升应用能力。 巩固定理应用，强化“性质与判定”的区分使用，提升几何推理的严谨性。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：平行四边形的判定定理2 我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 你能完成这一定理的证明吗？ 已知：在四边形中，. 求证：四边形是平行四边形。 分析：因为，根据平行四边形的判定定理1，只要再证明即可。而要证明，可连结，证明相应的内错角相等。 证明：如图，连结. , , , , 四边形是平行四边形。 总结归纳： 1.证明方法：通过连接对角线将四边形转化为两个三角形，利用SSS证明全等，推导对边平行，结合定义完成判定； 2.应用要点：已知四边形两组对边分别相等时，直接运用定理判定，无需重复推导全等过程，简化推理步骤； 3.思想渗透：延续“转化思想”，强化“图形分解与重组”的几何解题意识。 引导学生自主类比定理1的证明思路，独立完成推导，强调SSS全等的应用逻辑。 自主证明定理，归纳定理核心条件，体会转化思想的复用价值。 培养自主推理能力，深化转化思想，完善平行四边形边类判定体系。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A.两组对边分别平行 B.一组对边平行，另一组对边相等 C.一组对边平行且相等 D.两组对边分别相等 2.小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A.①②B.①④C.②③ D.③④ 3.如图，AB⊥BD,CD⊥DB,AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形。 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°. （1）求∠D的度数。 （2）求证：四边形ABCD是平行四边形。 5.如图1是某小区的倾斜式停车位，图2是车位示意图，工作人员在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°. （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由。 （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积。 6.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC.添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A.AD=AB B.AB⊥BC C.AB=DC D.∠A=∠C 7.如图，在 ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ） A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 8.已知：如图，E,F分别是 ABCD的边AD,BC的中点，连结EF和BD，求证：EF和BD互相平分。 9.如图，已知△ABC是等边三角形，E为边AC上一点，连结BE.将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连结AF,CF.求证：四边形ABDF是平行四边形。 1.B;2.C; 3.证明：在和中， , , . 又, 四边形是平行四边形。 4.解：（1), . (2), , , , 四边形是平行四边形。 5.解：（1）四边形是平行四边形。理由如下： , . 又, 四边形是平行四边形。 （2）如图，过点作，交的延长线于点E. 由（1）可知，四边形是平行四边形， 米。 , , （米）. 在中，由勾股定理，得(米), （平方米）. 答：停车位的面积为平方米。 6.D;7.A; 8.证明：如图，连结. ∵四边形是平行四边形， . 是的中点， , 四边形是平行四边形， 和互相平分。 9.证明：是等边三角形， . 是由旋转得到， , , , 四边形是平行四边形。 视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.定理掌握：牢记两个边类判定定理，明确定理的题设与结论，理解“平行且相等”“两组分别相等”的核心条件。 2.推理能力：掌握“连接对角线”的辅助线技巧，能规范完成定理的推理论证，区分性质与判定的逻辑方向（性质：图形→特征；判定：特征→图形）. 3.应用能力：能根据题目条件选择合适的判定定理，解决四边形判定、边与角的推导等问题，提升几何推理的灵活性。 4.思想渗透：体会互逆思想与转化思想在几何中的应用，构建“性质—判定—应用”的知识体系，为后续对角线判定定理学习奠定基础。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.4平行四边形的判定定理（第1课时） 一、核心定理（边类判定） 定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 二、证明关键 转化思想：四边形→三角形（连接对角线）→全等证明→平行关系 三、应用逻辑 已知边的条件（平行+相等/两组相等）→判定平行四边形→运用平行四边形性质 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是 (　　) A.AD=BC B.AB=CD C.AD∥BC D.∠A=∠C 2.如图，以线段AB的端点B为顶点作一个锐角∠ABC，点D为射线BC上任意一点，过点D作DF∥AB，在射线DF上截取DE=AB，连结AE，则四边形ABDE是　　　　，依据：　　　　　　　　　　　　. 3.如图，四边形ABCD中，AB=CD.若添加一个条件，得到四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是　　　　　　　　　　　　（不添加辅助线，给出一个符合题意的条件即可）. 4.在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC，若∠A=80°，则∠B=　　　　°. 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，则线段OA的长度等于　　　　. 6.如图，在 ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线BE,DF分别与边AD,BC交于点E,F.求证：四边形DEBF是平行四边形。 能力提升： 7.我们称四个顶点都恰好在格点的平行四边形为格点平行四边形，如图，A,B为4×4的正方形网格中的两个格点，则以A,B为顶点的格点平行四边形的个数是 (　　) A.10　　　　B.11　　　　C.12　　　　D.13 8.如图，将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm，得到三角形A'B'C'，已知∠ACB=90°,BC=3cm,AC=4cm，则阴影部分的面积为　　　　cm2. 9.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,E是边BC上一点，连结DE,AB=DE,DE=DC.求证：四边形ABED是平行四边形。 10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.试判断四边形ADCF的形状，并证明。 11.如图所示，在 ABCD中，E,F,G,H分别是四条边上的点，且AE=CF,BG=DH.求证：EF与GH互相平分。 拓展迁移：
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到点E，使CE=BC，连结AE交CD于点F，点F是CD的中点。求证： (1)△ADF≌△ECF; （2）四边形ABCD是平行四边形。 13.已知，四边形ABCD,AB=CD=BC，点E是BC的中点，连结AE,DE,∠AED=90°. （1）如图①，求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）如图②，连结AC,AC与DE交于F，若∠B=60°，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的等腰三角形（不包括等边三角形）. 图① 图②
1.A 2.平行四边形；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 解析　由作法可知AB∥DE,AB=DE，所以四边形ABDE是平行四边形。 3.（答案不唯一） 解析　在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 4.100 解析　∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°,∵∠A=80°,∴∠B=100°. 5.3 解析　∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）, ∴OA=AC=3. 6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC, ∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC, ∴∠ABE=∠ABC,∠CDF=∠ADC, ∴∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA), ∴BE=DF,AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,∴DE=BF, ∴四边形DEBF是平行四边形。 7.D　如图，以AB为对角线的格点平行四边形有11个， 以AB为边的格点平行四边形有2个，∴共有13个。 8.18 解析　由平移的性质得BB'=AA'=6cm,AA'∥BB', ∴四边形ABB'A'是平行四边形， ∴阴影部分的面积=6×4-×3×4=18(cm2). 9.证明：∵DE=DC,∴∠DEC=∠C, ∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE, ∵AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形。 10.解：四边形ADCF是平行四边形。 证明：∵E是AD的中点，∴AE=ED, ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE, 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD, ∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD,∴AF=CD, ∴四边形ADCF是平行四边形。 11.证明：如图，连结HE,EG,GF,FH. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD,AD=CB,∠A=∠C,∠B=∠D, 又∵AE=CF,DH=BG,∴BE=DF,AH=CG. 在△AEH和△CFG中， ∴△AEH≌△CFG(SAS),∴HE=GF. 同理可得△DHF≌△BGE,∴HF=GE, ∴四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）,∴EF与GH互相平分。 12.证明：(1)∵AD∥BC,∴∠DAF=∠E, ∵点F是CD的中点，∴DF=CF, 在△ADF与△ECF中， ∴△ADF≌△ECF(AAS). (2)∵△ADF≌△ECF,∴AD=EC, ∵CE=BC,∴AD=BC, ∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形。 13.解：(1）证明：∵E是BC的中点， ∴BE=CE=BC, ∵AB=CD=BC,∴BA=BE,CE=CD, 设∠AEB=α,∴∠BAE=∠AEB=α, ∴∠B=180°-∠BAE-∠BEA=180°-2α, ∵∠AED=90°, ∴∠CED=180°-∠AED-∠AEB=90°-α, ∴∠CDE=∠CED=90°-α, ∴∠C=180°-∠CDE-∠CED=2α, ∴∠B+∠C=180°-2α+2α=180°,∴AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC, ∵点E是BC的中点，∴BE=EC=BC, ∵AB=CD=BC,∴AB=BE=EC=CD, ∵∠B=60°,∴△ABE为等边三角形， ∴AB=AE=BE=CE=CD, ∴△AEC是等腰三角形，△ECD是等腰三角形， 易证△AEC≌△DCE,∴∠ACE=∠DEC,∴FE=FC, ∴△EFC是等腰三角形。 ∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF, ∴∠DAF=∠ADF,∴FA=FD,∴△AFD是等腰三角形。 ∴△AEC,△ECD,△EFC,△AFD是等腰三角形。
教学反思 本节课以平行四边形边的性质逆推导入，自然引出判定猜想，契合学生的认知规律，多数学生能掌握两个判定定理并完成简单证明。但教学中仍存在不足：一是部分学生无法自主添加对角线辅助线，对定理证明的推理思路理解不透彻；二是易混淆性质与判定定理，在证明中出现“由判定推性质”的逻辑错误；三是对“一组对边平行且相等”的符号表示和几何语言表述不规范。后续教学需强化辅助线添加的思路引导，设计性质与判定的对比辨析题，规范几何语言和书写格式，通过分层例题让学生明确判定定理的应用场景，切实提升逻辑推理能力。
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分课时学案
课题 4.4平行四边形的判定定理第1课时 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解并掌握“一组对边平行且相等”“两组对边分别相等”的平行四边形判定定理,能规范完成定理的推理论证过程； 2.能正确运用平行四边形的判定定理解决四边形的判定、几何证明等问题,区分判定与性质的不同应用场景； 3.经历“性质逆推—猜想—证明—应用”的探究过程,体会互逆思想和转化思想,提升逻辑推理和几何语言表达能力； 4.培养合作探究意识,感受数学知识的逻辑性和关联性,增强运用几何知识解决问题的信心.
重点 1.掌握“一组对边平行且相等”“两组对边分别相等”的平行四边形判定定理； 2.能运用判定定理进行平行四边形的判定和简单的几何证明.
难点 从平行四边形的性质逆推得出判定猜想,能规范添加辅助线完成判定定理的证明,并灵活区分运用性质与判定定理解决几何问题.
教学过程
导入新课 复习问题 1.平行四边形的核心性质有哪些？从边的角度进行梳理,并用几何语言表述； 2.我们知道“平行四边形的两组对边分别平行且相等”,这是由平行四边形这个图形得到边的特征,若反过来,一个四边形满足“两组对边分别相等”,它是不是平行四边形？满足“一组对边平行且相等”呢？请结合三角形全等的知识说说你的猜想依据.
新知讲解 探究活动一:平行四边形的判定定理1 你见过如图所示的晾衣架吗？如果依次连结四个端,点,得到的四边形一定是平行四边形吗？ 命题“平行四边形的一组对边平行且相等”是真命题吗？写出它的逆命题.这个逆命题是真命题吗？(请与你的同伴交流) 是真命题,它的逆命题是：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,也是真命题. 我们知道,根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形.除此之外,我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：如图,在四边形中,. 求证：四边形是平行四边形. 想一想：一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 探究活动二:平行四边形判定定理的应用 例1：已知：如图,在中,分别是,的中点. 求证：. 方法总结: 探究活动三:平行四边形的判定定理2 我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 你能完成这一定理的证明吗？ 已知：在四边形中,. 求证：四边形是平行四边形. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.下列条件中,不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A.两组对边分别平行 B.一组对边平行,另一组对边相等 C.一组对边平行且相等 D.两组对边分别相等 2.小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( ) A.①②B.①④C.②③ D.③④ 3.如图,AB⊥BD,CD⊥DB,AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形. 4.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°. (1)求∠D的度数. (2)求证：四边形ABCD是平行四边形. 5.如图1是某小区的倾斜式停车位,图2是车位示意图,工作人员在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°. (1)请判断四边形ABCD的形状,并说明理由. (2)若AD为6米,AB为2.8米,求停车位ABCD的面积. 6.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A.AD=AB B.AB⊥BC C.AB=DC D.∠A=∠C 7.如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形,则添加的条件不能是( ) A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 8.已知：如图,E,F分别是 ABCD的边AD,BC的中点,连结EF和BD,求证：EF和BD互相平分. 9.如图,已知△ABC是等边三角形,E为边AC上一点,连结BE.将AC绕点E旋转,使点C落在BC上的点D处,点A落在BC上方的点F处,连结AF,CF.求证：四边形ABDF是平行四边形.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列可添加的条件不正确的是 (　　) A.AD=BC B.AB=CD C.AD∥BC D.∠A=∠C 2.如图,以线段AB的端点B为顶点作一个锐角∠ABC,点D为射线BC上任意一点,过点D作DF∥AB,在射线DF上截取DE=AB,连结AE,则四边形ABDE是　　　　,依据:　　　　　　　　　　　　. 3.如图,四边形ABCD中,AB=CD.若添加一个条件,得到四边形ABCD是平行四边形,这个条件可以是　　　　　　　　　　　　(不添加辅助线,给出一个符合题意的条件即可). 4.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,若∠A=80°,则∠B=　　　　°. 5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相交于点O,若AC=6,则线段OA的长度等于　　　　. 6.如图,在 ABCD中,∠ABC和∠ADC的平分线BE,DF分别与边AD,BC交于点E,F.求证:四边形DEBF是平行四边形. 能力提升: 7.我们称四个顶点都恰好在格点的平行四边形为格点平行四边形,如图,A,B为4×4的正方形网格中的两个格点,则以A,B为顶点的格点平行四边形的个数是 (　　) A.10　　　　B.11　　　　C.12　　　　D.13 8.如图,将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm,得到三角形A'B'C',已知∠ACB=90°,BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为　　　　cm2. 9.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,E是边BC上一点,连结DE,AB=DE,DE=DC.求证:四边形ABED是平行四边形. 10.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连结CF.试判断四边形ADCF的形状,并证明. 11.如图所示,在 ABCD中,E,F,G,H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求证:EF与GH互相平分. 拓展迁移:
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到点E,使CE=BC,连结AE交CD于点F,点F是CD的中点.求证: (1)△ADF≌△ECF; (2)四边形ABCD是平行四边形. 13.已知,四边形ABCD,AB=CD=BC,点E是BC的中点,连结AE,DE,∠AED=90°. (1)如图①,求证:四边形ABCD是平行四边形; (2)如图②,连结AC,AC与DE交于F,若∠B=60°,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的等腰三角形(不包括等边三角形). 图① 图②
参考答案：
复习问题：1.边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等；在中,.
2.猜想：两种情况都能判定是平行四边形；依据：连接四边形的一条对角线,可将四边形分成两个三角形,利用边的相等关系证明三角形全等,进而推出内错角相等,得到对边平行,结合平行四边形定义即可判定.
探究一：
证明：如图4-33,连结AC.
因为AD∥BC,
所以∠ACB=∠CAD.
又因为AD=CB,AC=CA,
可证△ABC≌△CDA,
所以∠ACD=∠CAB,
所以AB∥CD.
所以四边形是平行四边形(根据什么？).
想一想：不一定,例如：等腰梯形满足：一组对边平行,另一组对边相等；但它不是平行四边形(只有一组对边平行).
探究二：
证明：在中,
(平行四边形的一组对边平行且相等),
又分别是的中点,
四边形是平行四边形(一组对边平行并且等的四边形是平行四边形).
(平行四边形的定义).
探究三：
证明：如图,连结.
,
,
,
,
四边形是平行四边形.
课堂练习：
1.B;2.C;
3.证明：在和中,
,
,
.
又,
四边形是平行四边形.
4.解：(1),
.
(2),
,
,
,
四边形是平行四边形.
5.解：(1)四边形是平行四边形.理由如下：
,
.
又,
四边形是平行四边形.
(2)如答图,过点作,交的延长线于点E.
第7题答图
由(1)可知,四边形是平行四边形,
米.
,
,
(米).
在中,由勾股定理,得(米),
(平方米).
答：停车位的面积为平方米.
6.D;7.A;
8.证明：如答图,连结.
第11题答图
∵四边形是平行四边形,
.
是的中点,
,
四边形是平行四边形,
和互相平分.
9.证明：是等边三角形,
.
是由旋转得到,
,
,
,
四边形是平行四边形.
作业设计：
1.A
2.平行四边形;有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
解析　由作法可知AB∥DE,AB=DE,所以四边形ABDE是平行四边形.
3.AB∥CD(答案不唯一)
解析　在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
4.100
解析　∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,∵∠A=80°,∴∠B=100°.
5.3
解析　∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形),
∴OA=AC=3.
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE=∠ABC,∠CDF=∠ADC,
∴∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=DF,AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,∴DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
7.D　如图,以AB为对角线的格点平行四边形有11个,
以AB为边的格点平行四边形有2个,∴共有13个.
8.18
解析　由平移的性质得BB'=AA'=6cm,AA'∥BB',
∴四边形ABB'A'是平行四边形,
∴阴影部分的面积=6×4-×3×4=18(cm2).
9.证明:∵DE=DC,∴∠DEC=∠C,
∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE,
∵AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形.
10.解:四边形ADCF是平行四边形.
证明:∵E是AD的中点,∴AE=ED,
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,
∵AD是BC边上的中线,∴CD=BD,∴AF=CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
11.证明:如图,连结HE,EG,GF,FH.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=CB,∠A=∠C,∠B=∠D,
又∵AE=CF,DH=BG,∴BE=DF,AH=CG.
在△AEH和△CFG中,
∴△AEH≌△CFG(SAS),∴HE=GF.
同理可得△DHF≌△BGE,∴HF=GE,
∴四边形EGFH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形),∴EF与GH互相平分.
12.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠DAF=∠E,
∵点F是CD的中点,∴DF=CF,
在△ADF与△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS).
(2)∵△ADF≌△ECF,∴AD=EC,
∵CE=BC,∴AD=BC,
∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
13.解:(1)证明:∵E是BC的中点,
∴BE=CE=BC,
∵AB=CD=BC,∴BA=BE,CE=CD,
设∠AEB=α,∴∠BAE=∠AEB=α,
∴∠B=180°-∠BAE-∠BEA=180°-2α,
∵∠AED=90°,
∴∠CED=180°-∠AED-∠AEB=90°-α,
∴∠CDE=∠CED=90°-α,
∴∠C=180°-∠CDE-∠CED=2α,
∴∠B+∠C=180°-2α+2α=180°,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,
∵点E是BC的中点,∴BE=EC=BC,
∵AB=CD=BC,∴AB=BE=EC=CD,
∵∠B=60°,∴△ABE为等边三角形,
∴AB=AE=BE=CE=CD,
∴△AEC是等腰三角形,△ECD是等腰三角形,
易证△AEC≌△DCE,∴∠ACE=∠DEC,∴FE=FC,
∴△EFC是等腰三角形.
∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF,
∴∠DAF=∠ADF,∴FA=FD,∴△AFD是等腰三角形.
∴△AEC,△ECD,△EFC,△AFD是等腰三角形.
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课题名称：4.4平行四边形的判定定理第1课时
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能正确运用平行四边形的判定定理解决四边形的判定、几何证明等问题,区分判定与性质的不同应用场景;
02
理解并掌握“一组对边平行且相等”“两组对边分别相等”的平行四边形判定定理,能规范完成定理的推理论证过程;
01
经历“性质逆推—猜想—证明—应用”的探究过程,体会互逆思想和转化思想,提升逻辑推理和几何语言表达能力;
03
培养合作探究意识,感受数学知识的逻辑性和关联性,增强运用几何知识解决问题的信心.
04
情景问题
1.平行四边形的核心性质有哪些？从边的角度进行梳理,并用几何语言表述;
1.边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等;
在中,.
情景问题
2.我们知道“平行四边形的两组对边分别平行且相等”,这是由平行四边形这个图形得到边的特征,若反过来,一个四边形满足“两组对边分别相等”,它是不是平行四边形？满足“一组对边平行且相等”呢？请结合三角形全等的知识说说你的猜想依据.
2.猜想：两种情况都能判定是平行四边形;
依据：连接四边形的一条对角线,可将四边形分成两个三角形,利用边的相等关系证明三角形全等,进而推出内错角相等,得到对边平行,结合平行四边形定义即可判定.
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理1
你见过如图所示的晾衣架吗？如果依次连结四个端,点,得到的四边形一定是平行四边形吗？
是平行四边形
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理1
命题“平行四边形的一组对边平行且相等”是真命题吗？写出它的逆命题.这个逆命题是真命题吗？(请与你的同伴交流)
是真命题,它的逆命题是：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,也是真命题.
探究新知
方法总结：
我们知道,根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形.除此之外,我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理1
分析:因为,根据平行四边形的定义,只要再证明即可.而要证明,可连结,证明相应的内错角相等.
已知：如图,在四边形中,.
求证：四边形是平行四边形.
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理1
证明：如图,连结.
因为,
所以.
又因为,
可证,
所以,
所以.
所以四边形是平行四边形(根据什么？).
平行四边形的定义
探究新知
探究一：平行四边形的判定定理1
不一定,例如：等腰梯形满足：一组对边平行,另一组对边相等;但它不是平行四边形(只有一组对边平行).
想一想：一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
探究新知
探究二：平行四边形判定定理的应用
证明：在中,
(平行四边形的一组对边平行且相等),
又分别是的中点,
四边形是平行四边形(一组对边平行并且等的四边形是平行四边形).
(平行四边形的定义).
例1:已知：如图,在中,分别是,的中点.
求证：.
探究新知
方法总结：
1.核心思路：紧扣“一组对边平行且相等”的双重条件,结合中点、平行关系等推导边的等量与平行关系;
2.解题技巧：先识别或构造满足“平行且相等”的对边,再依据定理判定平行四边形,最后运用平行四边形性质推导结论;
3.注意事项：明确“平行”与“相等”需针对同一组对边,避免混淆不同对边的条件.
探究新知
探究三：平行四边形的判定定理2
我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
你能完成这一定理的证明吗？
已知：在四边形中,.
求证：四边形是平行四边形.
探究新知
探究三：平行四边形的判定定理2
分析:因为,根据平行四边形的判定定理1,只要再证明即可.而要证明,可连结,证明相应的内错角相等.
证明：如图,连结.
,
,
,
,
四边形是平行四边形.
探究新知
方法总结：
1.证明方法：通过连接对角线将四边形转化为两个三角形,利用证明全等,推导对边平行,结合定义完成判定;
2.应用要点：已知四边形两组对边分别相等时,直接运用定理判定,无需重复推导全等过程,简化推理步骤;
3.思想渗透：延续“转化思想”,强化“图形分解与重组”的几何解题意识.
课堂练习
1.下列条件中,不能判定一个四边形是平行四边形的是( )
A.两组对边分别平行 B.一组对边平行,另一组对边相等
C.一组对边平行且相等 D.两组对边分别相等
2.小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
B
C
课堂练习
证明:在和中,
,
,
.
又,
四边形是平行四边形.
3.如图,.求证:四边形是平行四边形.
课堂练习
解：(1),
.
(2),
,
,
,
四边形是平行四边形.
4.如图,在四边形ABCD中,ABDC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°.
(1)求∠D的度数.
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
解：(1)四边形是平行四边形.理由如下：
,
.
又,
四边形是平行四边形.
5.如图1是某小区的倾斜式停车位,图2是车位示意图,工作人员在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°.
(1)请判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)若AD为6米,AB为2.8米,求停车位ABCD的面积.
课堂练习
(2)如图,过点作,交的延长线于点E.
由(1)可知,四边形是平行四边形,
米.
,
,
(米).
在中,由勾股定理,得(米),
(平方米).
答：停车位的面积为平方米.
课堂练习
6.如图,在四边形中,已知.添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是( )
A. B. C. D.
7.如图,在中,是对角线上的两点,如果添加一个条件使四边形是平行四边形,则添加的条件不能是( )
A. B. C. D.
D
A
课堂练习
证明：如图,连结.
四边形是平行四边形,
.
是的中点,
,
四边形是平行四边形,
和互相平分.
8.已知：如图,分别是的边的中点,连结和,求证：和互相平分.
课堂练习
证明:是等边三角形,
.
是由旋转得到,
,
,
,
四边形是平行四边形.
9.如图,已知是等边三角形,为边上一点,连结.将绕点旋转,使点落在上的点处,点落在上方的点处,连结.求证:四边形是平行四边形.
课堂小结
知识点：
1.定理掌握：牢记两个边类判定定理,明确定理的题设与结论,理解“平行且相等”“两组分别相等”的核心条件.
2.推理能力：掌握“连接对角线”的辅助线技巧,能规范完成定理的推理论证,区分性质与判定的逻辑方向(性质：图形→特征;判定：特征→图形).
3.应用能力：能根据题目条件选择合适的判定定理,解决四边形判定、边与角的推导等问题,提升几何推理的灵活性.
4.思想渗透：体会互逆思想与转化思想在几何中的应用,构建“性质—判定—应用”的知识体系,为后续对角线判定定理学习奠定基础.
知识梳理
课后提升
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列可添加的条件不正确的是 (　　)
A.AD=BC B.AB=CD C.ADBC D.∠A=∠C
2.如图,以线段AB的端点B为顶点作一个锐角∠ABC,点D为射线BC上任意一点,过点D作DFAB,在射线DF上截取DE=AB,连结AE,则四边形ABDE是　 　　　 ,依据:　　　　　　　　　　　　.
基础作业：
A
平行四边形
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
课后提升
基础作业：
3.如图,四边形ABCD中,AB=CD.若添加一个条件,得到四边形ABCD是平行四边形,这个条件可以是　　　　　　　　　　　　(不添加辅助线,给出一个符合题意的条件即可).
4.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,若∠A=80°,则∠B=　　　　°.
5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相交于点O,若AC=6,则线段OA的长度等于　　　　.
课后提升
基础作业：
证明:四边形是平行四边形,
,
平分平分,
,
,,
,,,
四边形是平行四边形.
6.如图,在中,和的平分线分别与边交于点.求证:四边形是平行四边形.
课后提升
能力提升：
7.我们称四个顶点都恰好在格点的平行四边形为格点平行四边形,如图,为的正方形网格中的两个格点,则以A,B为顶点的格点平行四边形的个数是 (　　)
A.10　　　　B.11　　　　C.12　　　　D.13
8.如图,将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm,得到三角形A'B'C',已知∠ACB=90°,BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为　　　　cm2.
D
课后提升
能力提升：
证明:,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形.
9.如图,在四边形中,,是边上一点,连结,.求证:四边形是平行四边形.
课后提升
能力提升：
解:四边形是平行四边形.
证明:是的中点,,
,,
在和中
,,
是边上的中线,,,
四边形是平行四边形.
10.如图,在中,是边上的中线,是的中点,过点作的平行线交的延长线于点,连结.试判断四边形的形状,并证明.
课后提升
能力提升：
证明:如图,连结.四边形为平行四边形,
,
又,.
在和中
,.
同理可得,,
四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形),
与互相平分.
11.如图所示,在中,分别是四条边上的点,且.求证:与互相平分.
课后提升
拓展作业：
证明:(1),,
点是的中点,,
在与中
.
12.如图,在四边形中,,延长到点,使,连结交于点,点是的中点.求证:(1);
(2)四边形是平行四边形.
课后提升
拓展作业：
证明: (2),
,
,
,
,
四边形是平行四边形.
12.如图,在四边形中,,延长到点,使,连结交于点,点是的中点.求证:(1);
(2)四边形是平行四边形.
课后提升
拓展作业：
13.已知,四边形ABCD,AB=CD=BC,点E是BC的中点,连结AE,DE,∠AED=90°.
(1)如图①,求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)如图②,连结AC,AC与DE交于F,若∠B=60°,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的等腰三角形(不包括等边三角形).
课后提升
解:(1)证明:是的中点,
,
,,
设,,
,
,
,
,
,
,,
四边形是平行四边形.
课后提升
(2)四边形是平行四边形,
,
点是的中点,
,
,
,
,
为等边三角形,
,
是等腰三角形,是等腰三角形,
课后提升
(2)易证,
,
,
是等腰三角形.
,
,
,
,
是等腰三角形.
是等腰三角形.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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