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人教版七（下）数学第十一章 不等式与不等式组 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．已知a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是（　　)
A．－＜a＜0 B．＜b＜1
C．－2＜2a＋4b＜1 D．－1＜4a＋2b＜0
【答案】C
【知识点】不等式的性质；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵a－b＋1＝0，
∴b＝a＋1.
∵ 0＜a＋b＋1＜1，
∴0＜a＋a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1.
∴－1＜a＜－，故选项A错误；
∵ b＝a＋1，－1＜a＜－，
∴0＜b＜，故选项B错误；
由－1＜a＜－，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2.
由0＜b＜，得0＜4b＜2，0＜2b＜1.
∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确；
－4＜4a＋2b＜－1，故选项D错误．
故答案为：C.
【分析】根据题意，借助不等式的基本性质对各选项逐一作出判断.
2．（2026八上·南湖期末）定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　)
A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可．
3．（2024八下·金沙期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】先根据新定义得到，再利用一元一次不等式求解法则进行计算即可．
4．（2025七下·通道期中）某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中55环，如果他要打破92环（10次射击）的纪录，第7次射击起码要超过（　　）
A．6环 B．7环 C．8环 D．9环
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设第7次射击的成绩为环，由于最后三次射击最多共中30环，要破纪录则需有：，
解得：，
∴第7次射击要超过7环才有可能破纪录．
故答案为：B．
【分析】根据本第8，9，10次的成绩最高都为10环，列出不等式，求解即可．
5．（2025七下·广州期中）如果不等式组无解，那么m的取值范围是
A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得，x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
故答案为：D．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组无解”可得m≥2，从而得解.
6．（2025·建邺模拟）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B选项错误，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】A、先利用等式的性质可得 ，再代入到不等式中得；
B、同A先得，再代入到不等式得；
C、由和可得；
D、同C可得．
7．（2020七下·海勃湾期末）若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．1
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：对不等式组 ，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得 ，
∵不等式组只有2个整数解，
∴这两个整数解只能是1，0，
∴ ，解得： ，
则整数a的值是0，1，2，3，和为6．
故答案为：C．
【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围，进而可确定a的整数值，进一步即可求出答案．
8．（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可.
9．（2022八上·九龙开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式组
，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故
又关于y的方程 解得
得到关于m的不等式组
解得
符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它们的和是-5
故答案为：B
【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。
10．（2023七下·阳新月考）关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：；
解②得：，
由题意知不等式组的解集为：，
由于不等式组只有两个整数解，则；
由得：，
∴，
解得：；
∵的值是整数，
∴或3，
∴或，
所以a的取值共有4个．
故答案为：B．
【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2025八下·四川期中）如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解之和为12，，
中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，，
当中含有的整数解为5，4，3，则；
当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，关键在于正确求解不等式组的解集。首先解不等式组得到解集为。根据题目条件，不等式组的所有整数解之和为12，需要分两种情况讨论： 当整数解为5、4、3时；当整数解为5、4、3、2、1、0、、时。通过这两种情况的讨论，即可得出最终的答案。
12．（2025八下·浙江月考）设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是　 　.
【答案】或
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设，
当时，则
则成立
即是方程的一个解；
当时
若，则为正整数，
即
解得不等式组无解；
若，则，
即方程无解；
当时，则，
当时，；
即
当时，
即
解得不等式组无解.
故答案为：或.
【分析】为便于计算，可设，其中是不超过的最大整数，此时再分类讨论，当时，再分别讨论当或时两种情况；当时；当时，再分别讨论当时或时两种情况，再分别把和代入到方程中，逐一计算议程或不等式（组）即可.
13．（2025八下·嘉兴月考）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
（1）当a=0时，得，不成立；
（2）当a＞0时，得
∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4，
∴
解得与a＞0不符；
∴当时，得，
同理∵不等式的整数解是1，2，3，4，
∴；
故答案为：
【分析】首先需要将不等式0≤ax+5≤4进行分解，得到关于ax的不等式。然后，根据a的正负情况进行讨论，分别求出a的取值范围。最后，通过整数解的条件，进一步确定a的具体范围。
14．（2024七下·玉州期末）点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解∶ ∵点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，
∴B的坐标为，
∵点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，
∴，
∴
∴
解得，
故答案为∶．
【分析】先利用点坐标平移的特征可得B的坐标为，再结合“点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离”可得，再求出x的取值范围即可.
15．（2024七下·雷州期末）关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为　 　．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2024七下·交口期末）已知关于的不等式组．
（1）当时，求该不等式组的解集．
（2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
（3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，不等式组为，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，为﹣1和0，
∴，
即，
解得，
∴的整数解为，，，
∴；
（3）解：，
整理方程组可得，，
得，，
解得，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为，
把以及代入不等式，得，
，
解得．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）把代入不等式组，再求解不等式组即可求解；
（）求出不等式组的解集，根据不等式组只有两个整数解确定的取值范围，继而可得的整数解，相加即可求出的值；
（）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解。
17．（2024八上·长春月考）我们用[a]表示小于等于 a的最大整数，例如：[[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3，请解决下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2） 若[x]=3，则x的取值范围是　 　；
（3）若[x-2]=-1，求x的取值范围.
【答案】（1）-5；2
（2）
（3）解：∵，
∴-1≤x-2<0，
∴-1+2≤x-2+2<0+2，
∴1≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）由题意得：[-5]=-5，，
故答案为：-5，2.
（2）∵[x]=3
∴x的取值范围是3≤x<4，
故答案为：3≤x<4.
（3）
【分析】（1）根据题目所给信息求解；
（2）已知[x]=3，根据定义确定x的取值范围；
（3）已知[x-2]=-1，先根据定义确定x-2的取值范围，再求解x的取值范围.
18．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客 60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.
（1）原计划租用 A 种客车多少辆 这次研学去了多少人
（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案
（3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆 300元，应该怎样租车才最合算
【答案】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人.
根据题意，得45x+30=60(x-6)，
解得x=26，
∴45x+30=45×26+30=1200.
答：原计划租用 A 种客车26 辆，这次研学去了1200人
（2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆，
根据题意，得，
解得5≤y≤7.
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴有3种租车方案：
方案1：租用 5 辆 B 种客车，20 辆 A 种客车；
方案2：租用 6 辆 B 种客车，19 辆 A 种客车；
方案3：租用 7 辆 B 种客车，18 辆 A 种客车
（3）解：选择方案1的总租金为300×5+220×20=5900(元)；
选择方案2的总租金为300×6+220×19=5980(元)；
选择方案3的总租金为300×7+220×18=6060(元)；
∵5900<5980<6060
∴租用 5 辆 B 种客车，20辆 A 种客车最合算
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解方程即可；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200，且租用的B种客车不超过7 辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
(3)利用总租金=每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需的总租金，比较后，即可得出结论.
19．（2025七下·长宁期中）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
20．（2024七下·曲靖期末）开学前，学校要购买、两种消毒液，用于校园消毒，迎接同学们的到来．若购买3桶A消毒液和2桶B消毒液，共需资金205元；若购买2桶A消毒液和3桶B消毒液，共需资金195元．
（1）每桶A消毒液、每桶B消毒液的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买、两种消毒液共30桶，其中A消毒液的数量至少比B消毒液的数量多5桶，且不超过B消毒液的数量的2倍．请问学校共有几种购买方案，并通过计算说明，哪一种购买方案能使总费用最少？并求出最少费用．
（3）开学后，李老师再次购买消毒液，回来说：“、两种消毒液都涨价了，两种消毒液涨价金额相同，且都是整数元．今天购买、两种消毒液共35桶，共需资金1505元．”请你算一算，、两种消毒液涨价金额可能是多少元？
【答案】（1）解：设每桶A消毒液的价格是元，每桶B消毒液的价格是元，
由题意可得∶，
解得，
答∶每桶A消毒液的价格为45元，每桶B消毒液的价格为35元；
（2）解：设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶．
由题意得∶，
解得，
取整数，即；
学校共有三种购买方案∶
方案1∶购买A种消毒液18桶，购买B种消毒液12桶；
方案2∶购买A种消毒液19桶，购买B种消毒液11桶；
方案3∶购买A种消毒液20桶，购买B种消毒液10桶；
方案1总费用是∶元；
方案2总费用是∶元；
方案3总费用是∶元；
方案1能使总费用最少，且最少费用是1230元；
（3）解：设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，
则购买B种消毒液桶．
由题意可得∶，
，
均为正整数，
答∶A、B两种消毒液涨价金额可能是2元、4元或6元．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）等量关系式：购买3桶A消毒液的费用+购买2桶B消毒液的费用=205元；购买2桶A消毒液的费用+购买3桶B消毒液的费用元；据此列方程组，即可求解．
（2）设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶，然后根据题意列不等式组，求解即可解答；
（3）设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶，根据共需资金1505元列二元一次方程再根据均为正整数，即可解答．
（1）设每桶A消毒液的价格是元，每桶B消毒液的价格是元，
由题意可得∶，
解得，
答∶每桶A消毒液的价格为45元，每桶B消毒液的价格为35元；
（2）设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶．
由题意得∶，
解得，
取整数，即；
学校共有三种购买方案∶
方案1∶购买A种消毒液18桶，购买B种消毒液12桶；
方案2∶购买A种消毒液19桶，购买B种消毒液11桶；
方案3∶购买A种消毒液20桶，购买B种消毒液10桶；
方案1总费用是∶元；
方案2总费用是∶元；
方案3总费用是∶元；
方案1能使总费用最少，且最少费用是1230元；
（3）设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，
则购买B种消毒液桶．
由题意可得∶，
，
；
均为正整数，
答∶A、B两种消毒液涨价金额可能是2元、4元或6元．
21．（2024八上·天心开学考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含；
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
．
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取，、，，或整数可取、、、、、，．
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再结合A的中点值为，最后判断即可；
（2）先求出不等式组C和D的解集，再求出C的中点值为，结合D对于不等式组中点包含，可得，最后求出m的取值范围即可；
（3）先求出不等式组E和F的解集，再结合不等式组对于不等式组中点包含，可得，求出m的取值范围，再求出n的取值范围即可.
22．（2025八上·拱墅开学考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
【答案】（1）②
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，
∴
解得；
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
即
解得：，
即
综上：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】
（1）解：①，
解得：
②，
整理得： 解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”．
故答案为：②；
【分析】
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义即可求解；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出即可求解．
（1）解：①，
解得：
②，
整理得： 解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”．
故答案为：②；
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，
∴
解得；
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
即
解得：，
即
综上：
23．（2025七下·珠海期末）如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m，n满足．
（1）直接写出：______，______，点的坐标为______；
（2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围．
【答案】（1），4，
（2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于
；
，
又；
；
；
；
即.
（3）解：①当在轴右侧移动时，
如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，
结合平移可得：，
；
；
；
；
；
；
；
；
②当在轴左侧移动时，如图3所示，
同理可得：；
；
，
；
；
；
；
，
综上可知：或.
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
【分析】（1）绝对值和算术平方根具有非负性，二者之和为0，只能二者同时为0，所以，再解方程组即可；
（2）如图1，连接，设直线与轴相交于 ，观察图形，FH与FG之间没有明显的相等或倍数的数量关系，不妨试试求其具体长度，由；可得，由，可以得到，带入到上式，即可得到二者关系；
（3）①当在轴右侧移动时，如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，结合平移可得：，求解；结合，再解不等式组即可；②当在轴左侧移动时，如图3所示，同理可得：；同法进一步求解即可.
（1）解：由题意可得，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于
；
，
又；
；
；
；
即.
（3）解：①当在轴右侧移动时，
如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，
结合平移可得：，
；
；
；
；
；
；
；
；
②当在轴左侧移动时，如图3所示，
同理可得：；
；
，
；
；
；
；
，
综上可知：或.
1 / 1人教版七（下）数学第十一章 不等式与不等式组 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．已知a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是（　　)
A．－＜a＜0 B．＜b＜1
C．－2＜2a＋4b＜1 D．－1＜4a＋2b＜0
2．（2026八上·南湖期末）定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　)
A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12
3．（2024八下·金沙期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·通道期中）某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中55环，如果他要打破92环（10次射击）的纪录，第7次射击起码要超过（　　）
A．6环 B．7环 C．8环 D．9环
5．（2025七下·广州期中）如果不等式组无解，那么m的取值范围是
A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
6．（2025·建邺模拟）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020七下·海勃湾期末）若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．1
8．（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022八上·九龙开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023七下·阳新月考）关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2025八下·四川期中）如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是　 　．
12．（2025八下·浙江月考）设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是　 　.
13．（2025八下·嘉兴月考）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为　 　．
14．（2024七下·玉州期末）点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是　 　．
15．（2024七下·雷州期末）关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．（2024七下·交口期末）已知关于的不等式组．
（1）当时，求该不等式组的解集．
（2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
（3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
17．（2024八上·长春月考）我们用[a]表示小于等于 a的最大整数，例如：[[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3，请解决下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2） 若[x]=3，则x的取值范围是　 　；
（3）若[x-2]=-1，求x的取值范围.
18．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客 60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.
（1）原计划租用 A 种客车多少辆 这次研学去了多少人
（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案
（3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆 300元，应该怎样租车才最合算
19．（2025七下·长宁期中）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
20．（2024七下·曲靖期末）开学前，学校要购买、两种消毒液，用于校园消毒，迎接同学们的到来．若购买3桶A消毒液和2桶B消毒液，共需资金205元；若购买2桶A消毒液和3桶B消毒液，共需资金195元．
（1）每桶A消毒液、每桶B消毒液的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买、两种消毒液共30桶，其中A消毒液的数量至少比B消毒液的数量多5桶，且不超过B消毒液的数量的2倍．请问学校共有几种购买方案，并通过计算说明，哪一种购买方案能使总费用最少？并求出最少费用．
（3）开学后，李老师再次购买消毒液，回来说：“、两种消毒液都涨价了，两种消毒液涨价金额相同，且都是整数元．今天购买、两种消毒液共35桶，共需资金1505元．”请你算一算，、两种消毒液涨价金额可能是多少元？
21．（2024八上·天心开学考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
22．（2025八上·拱墅开学考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
23．（2025七下·珠海期末）如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m，n满足．
（1）直接写出：______，______，点的坐标为______；
（2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵a－b＋1＝0，
∴b＝a＋1.
∵ 0＜a＋b＋1＜1，
∴0＜a＋a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1.
∴－1＜a＜－，故选项A错误；
∵ b＝a＋1，－1＜a＜－，
∴0＜b＜，故选项B错误；
由－1＜a＜－，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2.
由0＜b＜，得0＜4b＜2，0＜2b＜1.
∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确；
－4＜4a＋2b＜－1，故选项D错误．
故答案为：C.
【分析】根据题意，借助不等式的基本性质对各选项逐一作出判断.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可．
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】先根据新定义得到，再利用一元一次不等式求解法则进行计算即可．
4．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设第7次射击的成绩为环，由于最后三次射击最多共中30环，要破纪录则需有：，
解得：，
∴第7次射击要超过7环才有可能破纪录．
故答案为：B．
【分析】根据本第8，9，10次的成绩最高都为10环，列出不等式，求解即可．
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得，x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
故答案为：D．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组无解”可得m≥2，从而得解.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B选项错误，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】A、先利用等式的性质可得 ，再代入到不等式中得；
B、同A先得，再代入到不等式得；
C、由和可得；
D、同C可得．
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：对不等式组 ，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得 ，
∵不等式组只有2个整数解，
∴这两个整数解只能是1，0，
∴ ，解得： ，
则整数a的值是0，1，2，3，和为6．
故答案为：C．
【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围，进而可确定a的整数值，进一步即可求出答案．
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式组
，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故
又关于y的方程 解得
得到关于m的不等式组
解得
符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它们的和是-5
故答案为：B
【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：；
解②得：，
由题意知不等式组的解集为：，
由于不等式组只有两个整数解，则；
由得：，
∴，
解得：；
∵的值是整数，
∴或3，
∴或，
所以a的取值共有4个．
故答案为：B．
【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数．
11．【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解之和为12，，
中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，，
当中含有的整数解为5，4，3，则；
当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，关键在于正确求解不等式组的解集。首先解不等式组得到解集为。根据题目条件，不等式组的所有整数解之和为12，需要分两种情况讨论： 当整数解为5、4、3时；当整数解为5、4、3、2、1、0、、时。通过这两种情况的讨论，即可得出最终的答案。
12．【答案】或
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设，
当时，则
则成立
即是方程的一个解；
当时
若，则为正整数，
即
解得不等式组无解；
若，则，
即方程无解；
当时，则，
当时，；
即
当时，
即
解得不等式组无解.
故答案为：或.
【分析】为便于计算，可设，其中是不超过的最大整数，此时再分类讨论，当时，再分别讨论当或时两种情况；当时；当时，再分别讨论当时或时两种情况，再分别把和代入到方程中，逐一计算议程或不等式（组）即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
（1）当a=0时，得，不成立；
（2）当a＞0时，得
∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4，
∴
解得与a＞0不符；
∴当时，得，
同理∵不等式的整数解是1，2，3，4，
∴；
故答案为：
【分析】首先需要将不等式0≤ax+5≤4进行分解，得到关于ax的不等式。然后，根据a的正负情况进行讨论，分别求出a的取值范围。最后，通过整数解的条件，进一步确定a的具体范围。
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解∶ ∵点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，
∴B的坐标为，
∵点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，
∴，
∴
∴
解得，
故答案为∶．
【分析】先利用点坐标平移的特征可得B的坐标为，再结合“点在x轴的上方，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离”可得，再求出x的取值范围即可.
15．【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
16．【答案】（1）解：当时，不等式组为，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，为﹣1和0，
∴，
即，
解得，
∴的整数解为，，，
∴；
（3）解：，
整理方程组可得，，
得，，
解得，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为，
把以及代入不等式，得，
，
解得．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）把代入不等式组，再求解不等式组即可求解；
（）求出不等式组的解集，根据不等式组只有两个整数解确定的取值范围，继而可得的整数解，相加即可求出的值；
（）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解。
17．【答案】（1）-5；2
（2）
（3）解：∵，
∴-1≤x-2<0，
∴-1+2≤x-2+2<0+2，
∴1≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）由题意得：[-5]=-5，，
故答案为：-5，2.
（2）∵[x]=3
∴x的取值范围是3≤x<4，
故答案为：3≤x<4.
（3）
【分析】（1）根据题目所给信息求解；
（2）已知[x]=3，根据定义确定x的取值范围；
（3）已知[x-2]=-1，先根据定义确定x-2的取值范围，再求解x的取值范围.
18．【答案】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人.
根据题意，得45x+30=60(x-6)，
解得x=26，
∴45x+30=45×26+30=1200.
答：原计划租用 A 种客车26 辆，这次研学去了1200人
（2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆，
根据题意，得，
解得5≤y≤7.
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴有3种租车方案：
方案1：租用 5 辆 B 种客车，20 辆 A 种客车；
方案2：租用 6 辆 B 种客车，19 辆 A 种客车；
方案3：租用 7 辆 B 种客车，18 辆 A 种客车
（3）解：选择方案1的总租金为300×5+220×20=5900(元)；
选择方案2的总租金为300×6+220×19=5980(元)；
选择方案3的总租金为300×7+220×18=6060(元)；
∵5900<5980<6060
∴租用 5 辆 B 种客车，20辆 A 种客车最合算
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x+30)人根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解方程即可；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200，且租用的B种客车不超过7 辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
(3)利用总租金=每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需的总租金，比较后，即可得出结论.
19．【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
20．【答案】（1）解：设每桶A消毒液的价格是元，每桶B消毒液的价格是元，
由题意可得∶，
解得，
答∶每桶A消毒液的价格为45元，每桶B消毒液的价格为35元；
（2）解：设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶．
由题意得∶，
解得，
取整数，即；
学校共有三种购买方案∶
方案1∶购买A种消毒液18桶，购买B种消毒液12桶；
方案2∶购买A种消毒液19桶，购买B种消毒液11桶；
方案3∶购买A种消毒液20桶，购买B种消毒液10桶；
方案1总费用是∶元；
方案2总费用是∶元；
方案3总费用是∶元；
方案1能使总费用最少，且最少费用是1230元；
（3）解：设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，
则购买B种消毒液桶．
由题意可得∶，
，
均为正整数，
答∶A、B两种消毒液涨价金额可能是2元、4元或6元．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）等量关系式：购买3桶A消毒液的费用+购买2桶B消毒液的费用=205元；购买2桶A消毒液的费用+购买3桶B消毒液的费用元；据此列方程组，即可求解．
（2）设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶，然后根据题意列不等式组，求解即可解答；
（3）设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶，根据共需资金1505元列二元一次方程再根据均为正整数，即可解答．
（1）设每桶A消毒液的价格是元，每桶B消毒液的价格是元，
由题意可得∶，
解得，
答∶每桶A消毒液的价格为45元，每桶B消毒液的价格为35元；
（2）设学校决定购买A种消毒液桶，则购买B种消毒液桶．
由题意得∶，
解得，
取整数，即；
学校共有三种购买方案∶
方案1∶购买A种消毒液18桶，购买B种消毒液12桶；
方案2∶购买A种消毒液19桶，购买B种消毒液11桶；
方案3∶购买A种消毒液20桶，购买B种消毒液10桶；
方案1总费用是∶元；
方案2总费用是∶元；
方案3总费用是∶元；
方案1能使总费用最少，且最少费用是1230元；
（3）设两种消毒液涨价金额是元，李老师今天购买A种消毒液桶，
则购买B种消毒液桶．
由题意可得∶，
，
；
均为正整数，
答∶A、B两种消毒液涨价金额可能是2元、4元或6元．
21．【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含；
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
．
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取，、，，或整数可取、、、、、，．
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再结合A的中点值为，最后判断即可；
（2）先求出不等式组C和D的解集，再求出C的中点值为，结合D对于不等式组中点包含，可得，最后求出m的取值范围即可；
（3）先求出不等式组E和F的解集，再结合不等式组对于不等式组中点包含，可得，求出m的取值范围，再求出n的取值范围即可.
22．【答案】（1）②
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，
∴
解得；
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
即
解得：，
即
综上：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】
（1）解：①，
解得：
②，
整理得： 解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”．
故答案为：②；
【分析】
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义即可求解；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出即可求解．
（1）解：①，
解得：
②，
整理得： 解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”．
故答案为：②；
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，
∴
解得；
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
即
解得：，
即
综上：
23．【答案】（1），4，
（2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于
；
，
又；
；
；
；
即.
（3）解：①当在轴右侧移动时，
如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，
结合平移可得：，
；
；
；
；
；
；
；
；
②当在轴左侧移动时，如图3所示，
同理可得：；
；
，
；
；
；
；
，
综上可知：或.
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
【分析】（1）绝对值和算术平方根具有非负性，二者之和为0，只能二者同时为0，所以，再解方程组即可；
（2）如图1，连接，设直线与轴相交于 ，观察图形，FH与FG之间没有明显的相等或倍数的数量关系，不妨试试求其具体长度，由；可得，由，可以得到，带入到上式，即可得到二者关系；
（3）①当在轴右侧移动时，如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，结合平移可得：，求解；结合，再解不等式组即可；②当在轴左侧移动时，如图3所示，同理可得：；同法进一步求解即可.
（1）解：由题意可得，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于
；
，
又；
；
；
；
即.
（3）解：①当在轴右侧移动时，
如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，
结合平移可得：，
；
；
；
；
；
；
；
；
②当在轴左侧移动时，如图3所示，
同理可得：；
；
，
；
；
；
；
，
综上可知：或.
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