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吉林省长春市长春北湖学校2025-2026学年度下学期九年级第一次阶段性评价 数学学科试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．3 D．
4．解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
7．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题
9．单项式的系数是______．
10．计算______．
11．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为______．
12．如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）．
13．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交 的延长线于点F．若，则的长为______．
14．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论：
①；
②；
③C、G两点之间的最小值为；
④当最大时，．
上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题
15．先化简，再求值： 其中．
16．长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率．

17．在一次体育测试中，小红同学在进行女子800米测试时，先以3米/秒的平均速度跑了大部分路程，之后以5.5米/秒的平均速度逐渐冲刺到达终点，成绩为3分零30秒．问小红在冲刺阶段花了多少秒．
18．如图，在中，，为边上的中线，为外角的角平分线，点在射线上，．求证：四边形为矩形．
19．由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．

(1)图①中，画出的圆心；
(2)图②中，在边上找到一点，使得平分；
(3)图③中，在上找到一点（不与点重合），使得．
20．某学校开展劳动教育，同学们积极参与．数学社团的同学设计了一份调查问卷，并在活动前、后实施两次调查．活动前随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，绘制成如下的条形统计图（其中A组，B组，C组，D组，E组）．活动开展一个月后，数学社团再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按照同样的分组方法绘制成如下扇形统计图，发现活动后调查的数据C组人数与活动前B组人数相同．请根据图中信息解答下列问题：

(1)请将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中D组所对的圆心角的度数为______；
(3)活动前调查数据的中位数落在______组，活动后调查数据的中位数落在______组；
(4)若该校共有2400名学生，请根据活动后调查结果，估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数．
21．某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示．
(1)甲的工作效率是______件；图中的值为______；
(2)求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式；
(3)当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？
22．【知识背景】
如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号）
①；②； ③；④ ；⑤
【方法探索】
数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长．
老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程．
【运用创新】
如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ．
23．在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接，以为斜边作等腰直角（），使点R与点C在直线的同侧．
(1)边的长为_________．
(2)当点P为中点时，求点Q到直线的距离；
(3)当点R在的边上时，求的长；
(4)当点P到直线的距离是点R到直线的距离的3倍时，直接写出的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，求的值；
(3)作直线，当直线平分的面积时，求出的值；
(4)当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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