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江西宜春市2026届高三下学期模拟考试数学试卷
一、单选题
1．设，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（ ）
A． B． C． D．
6．设函数满足对任意的，都有，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上单调递增 D．在上单调递减
7．将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：，若它们的分位数是2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A．当时，为纯虚数 B．当时，
C．当时， D．当时，
二、多选题
10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．当时，
B．曲线在处的切线斜率为
C．方程在区间内恰有两个实根
D．当时，
11．定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ）
A．椭圆的离心率
B．的最小值为4
C．过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切
D．椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点
三、填空题
12．已知等比数列是正项数列，前n项和为，若，，则公比______.
13．已知向量满足，则的取值范围为____________．
14．已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______.
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积.
16．已知函数，.
(1)讨论函数的极值；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，，，，，，.
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值.
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）.
（i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围；
（ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处.
(1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率；
(2)记第n秒末点M回到原点的概率为.
（i）求，并利用公式求；
（ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的.
参考答案
1．C
2．A
3．D
4．A
5．A
6．B
7．C
8．B
9．BCD
10．BD
11．ACD
12．
13．
14．
15．（1）解：因为，
所以，
，
，
因为，所以，
所以，即，
又，则有，所以.
（2）解：因为，，，
所以在中，，
所以，即，
因为在中，，
所以，
因为，所以，
所以
，
所以.
16．（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，
即函数在上单调递增，所以函数无极值；
当时，由得；由得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，无极小值，
综上：当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
（2）依题可知：不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递减，则，
即函数在上单调递减，所以，
所以，
即实数的取值范围是.
17．（1）证明：连接AC，因为，，，所以，
则，而，，
所以，则，所以，
在中，，所以，
又平面，
所以平面，又平面ABCD，
所以平面平面ABCD.
（2）过点作于点，
由（1）知，，而，，，
则，即，
又，，，则，即，
以B为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
设，则，所以，
则，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，，所以，
平面PBC的法向量为，
由，
令，则，，所以，
所以，解得，所以，
由（1）知，平面，则平面APB的法向量为，
设直线BG与平面APB所成角为，
所以，
所以直线BG与平面APB所成角的正弦值为.
18．（1）因为，
所以点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆，
设曲线C的方程为，
所以，，，
所以，，，
所以曲线C的方程为.
（2）（i）设，则，
则；
，
所以在中，由角平分线定理得，
由，所以，所以t的取值范围为.
（ii），，由，得，，其中，，
则.
①当时，，，
直线的方程为，求得点N坐标为，
则，所以；
②当时，同理可得：；
③当时，设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
所以，，
所以，
则；
所以，点M的坐标为，
联立，得，
所以，，
所以，
则；
所以，点N的坐标为，
，
所以，
综上所述，.
19．(1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，
由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种，
其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点这四种情况.
则，
故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为.
（2）（i）点M在第4秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种，
左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种，
所以；
若点M在第2n秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等，
设左右各移动次，则上下各移动次，
所以
，
（ii）由可知：
，
则，
所以，
令，则，
即函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以，，
记为不超过x的最大整数，
则对任意的实数，当时，，即，
综上，当时，成立，所以点M是常返的.

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