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广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·惠来期末）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得：，
即或，
解得：或，
∴点P的坐标是或，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标的定义及“ 点P到两坐标轴的距离相等 ”列出方程，再求出a的值即可.
2．（2025八上·惠来期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】 二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、D选项；根据二次根式的除法法则“”及二次根式性质”“可判断B选项；根据二次根式乘法法则”“可判断C选项.
3．（2025八上·惠来期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．若，则且
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意；
、若，则，原选项是假命题，不符合题意；
、若，则且，原选项是真命题，符合题意；
故答案为：．
【分析】利用线段的性质、对顶角的定义、绝对值的性质、非负数之和为0的性质及真命题的定义逐项分析判断即可.
4．（2025八上·惠来期末）甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】方差；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，
，
射击成绩最稳定的是乙；
故答案为：B．
【分析】利用方差判断稳定性：方差越小，数据越稳定，比较大小即可选出答案．
5．（2025八上·惠来期末）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵解二元一次方程组时所画的图象交点为，
∴方程组的解为，
故答案为：A.
【分析】 先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
6．（2025八上·惠来期末）如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查角平分线的定义和三角形外角定理的综合应用，三角形外角定理指三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。首先观察，它是的外角，与它不相邻的两个内角是和，因此可根据外角定理求出；又因为CE是的平分线，根据角平分线定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，所以；再看，它是的外角，与它不相邻的两个内角是和，依据外角定理，，因此将已知的和的值代入，可求出。
7．（2025八上·惠来期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得出，
故选：D.
【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“ 如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房 ”列出方程组即可.
8．（2025八上·惠来期末）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢．观察四个图象，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用根据图形并结合常识可得当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢，再求解即可.
9．（2025八上·惠来期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
即a＜c＜b．
故选D．
【分析】本题考查正比例函数的图象与系数k的关系，k的符号决定函数图象所在的象限，k的绝对值大小决定直线的陡峭程度。根据正比例函数图象性质，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，由此可判断出，，；再观察直线的陡峭程度，直线越陡，说明|k|越大，从图象中可看出②对应的直线比③对应的直线陡，因此，又因为b和c均为正数，所以；综合以上分析，可得。
10．（2025八上·惠来期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八上·惠来期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，则代数式　 　．
【答案】2
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线经过点，
，
；
故答案为：
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标性质，若点在一次函数的图象上，则该点的坐标必然满足函数的解析式。已知直线经过点，将点的坐标代入函数解析式中，可得；为求出的值，将上述等式进行变形，把含a的项移到左边，得到。
12．（2025八上·惠来期末）关于x、y的方程组，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将两个方程相加得：，
则，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的解法及整体思想的运用，无需单独求出x和y的具体值，可通过方程变形直接得到的值。观察方程组的两个方程，发现第一个方程中x的系数为2、y的系数为1，第二个方程中x的系数为1、y的系数为2，将两个方程左右两边分别相加，左边合并同类项得，右边合并同类项得，即；对等式两边同时除以3，即可得到。
13．（2025八上·惠来期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是　 　度．
【答案】120
【知识点】邻补角；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的判定与性质及补角的定义，平行线的判定定理中“同位角相等，两直线平行”，性质定理中“两直线平行，内错角相等”。首先观察和，它们是直线a、b被直线d所截形成的同位角，因为，根据同位角相等两直线平行，可判定；再观察和（标记图中的邻补角为），它们是直线a、b被直线c所截形成的内错角，根据两直线平行内错角相等，可得；由于和是邻补角，邻补角的和为，因此。
14．（2025八上·惠来期末）若a、b均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为　 　．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：当时，代数式的值为0，
，
，
、b均为整数，
，，
，，
，
则的算术平方根为：，
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式的混合运算、整数的性质及算术平方根的定义，需先求出a和b的值，再计算的算术平方根。首先将代入代数式中，根据完全平方公式展开得，整理后为；将式子分为有理部分和无理部分，因为a、b均为整数，且代数式的值为0，所以无理部分的系数必须为0（否则无理数无法与有理数相加为0），有理部分的和也为0，即和；解第一个方程得，将代入第二个方程得，解得；计算，再根据算术平方根的定义，的算术平方根为。
15．（2025八上·惠来期末）一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是　 　．
【答案】或3或7
【知识点】平均数及其计算；中位数；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意得，这组数据的平均数为，
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
综上所述，x的值是或3或7．
故答案为：或3或7．
【分析】先求出平均数，再分类讨论：①当时，这组数据的中位数为，②当时，这组数据的中位数为，③当时，这组数据的中位数为，再分别列出方程求解即可.
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2025八上·惠来期末）（1）计算：；
（2）解二元一次方程组：．
【答案】解：（1）原式；
（2）
①②得
解得
把代入①得
∴原二元一次方程组的解为．
【知识点】实数的绝对值；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，先算算术平方根，立方根，去绝对值，再算加法运算，即可得到答案；
（2）根据二元一次方程的解法，利用加减消元法，将①②消去，求得，进而求得方程组的解，得到答案.
17．（2025八上·惠来期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC △DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF
（2）解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180° ∠DEF ∠ACB
=180° 65° 35°
=80°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF，同时可证得BC=EF，再利用SAS证明△ABC △DEF，利用全等三角形的性质可证得∠ACB=∠F，据此可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，利用三角形的内角和定理可求出∠EOC的度数.
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC △DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180° ∠DEF ∠ACB
=180° 65° 35°
=80°．
18．（2025八上·惠来期末）已知与成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点在这个函数的图象上，求a的值．
（3）试判断点是否在此函数图象上，说明理由．
【答案】（1）解：设，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，即，
∴y与x的函数关系式为.
（2）解：将点代入得：，
解得：.
（3）解：当时，，
则点不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将点（a，-2）代入解析式可得，再求出a的值即可；
（3）将x=-2代入解析式求出y的值，再判断点是否在函数图象上即可.
19．（2025八上·惠来期末）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
【答案】（1）解：设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装15件，购进B型服装10件；
（2）解：根据题意：
（元）
答：美丽服装店一共可获利元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用1900元购进A，B两种新式服装共25件，建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据一共可获利每件A型服装挣的钱数销售数量每件B型服装挣的钱数销售数量，列式计算即可求出答案.
（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装15件，购进B型服装10件；
（2）解：根据题意：
（元）
答：美丽服装店一共可获利元．
20．（2025八上·惠来期末）为进一步巩固提升文明城市创建成果，常态长效推进文明城市建设，长安区某中学举办了“文明长安，你我同行”的知识竞赛．经过对100名竞赛者成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60～69分；C：70～79分；D：80～89分；E：90～100分），观察统计图，完成下列问题：
（1）成绩在59分及以下的有 　 　人，在80～89分的有 　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，成绩在“60～69分”部分所对应的圆心角的度数是多少？
【答案】（1）10；35
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：在扇形统计图中，“60-69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×=72°．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：成绩在59分及以下的有：100×10%=10（人），
在80～89分的有：100×35%=35（人）；
故答案为：10；35.
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据列出算式求出答案即可；
（2）利用（1）的结果作出条形统计图即可；
（3）先求出“60-69分”部分的百分比，再乘以360°可得答案.
（1）解：成绩在59分及以下的有：100×10%=10（人），
在80～89分的有：100×35%=35（人）；
故答案为：10；35；
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：在扇形统计图中，“60-69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×=72°．
21．（2025八上·惠来期末）综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数．
【实践探究】
（2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值．
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【答案】解：（1）；
(2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数，
，
解得，
(3)解：不是，理由如下，
，，
，
，即，
，
，
与不是关于1的平衡数．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】(1)解：由题意得，，，
与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，
故答案为：.
【分析】（1）利用“平衡数”的定义列出算式求解即可；
（2）利用“平衡数”的定义列出方程组，再求解即可；
（3）利用“平衡数”的定义列出算式求解即可.
22．（2025八上·惠来期末）如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点，
且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿
轴向右移动，设动点D的移动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式．
【答案】解：把代入得，，
解得，，
（2）由（1）得，直线AB解析式为：，
当x=0时，y=6，B点坐标为（0，6），
∴OB=6，
当OD=OB=6时，△COD≌△AOB，
AD=OA+OB=9，
∴t=9，此时D点坐标为（6，0）；
（3）∵C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
当0≤t＜3时，OA=3，AD=t ，
∴OD=3-t，
S=，
当t≥3时，OD=t-3，
S=，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)本题考察待定系数法求一次函数解析式，已知直线经过两个点，将点的坐标代入解析式即可求解。直线经过A(-3，0)和(1，8)，将这两个点的坐标代入解析式，得到方程组；用第二个方程减去第一个方程，消去b得，解得，将代入得，即，。
(2)本题考察全等三角形的判定与动点运动规律，全等三角形需满足对应边相等、对应角相等。由(1)得直线AB的解析式为，令，解得，因此B点坐标为(0，6)，则；要使，观察图形可知，，根据全等三角形的判定（SAS），需；动点D从A(-3，0)沿x轴向右移动，速度为每秒1个单位，AD的长度为，因此移动时间秒，此时D点的横坐标为，纵坐标为0，即D点坐标为(6，0)。
(3)本题考察动点问题中的分段函数，需根据动点D的位置分情况讨论三角形面积。由C点坐标(0，3)得，的面积（OD为底边，OC为高）；当时，D点在A点和原点之间，OD的长度为，因此；当时，D点在原点右侧，OD的长度为，因此；综合两种情况，得到S与t的分段函数关系式。
23．（2025八上·惠来期末）综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
1 / 1广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·惠来期末）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　）
A． B．
C． D．或
2．（2025八上·惠来期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·惠来期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．若，则且
4．（2025八上·惠来期末）甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2025八上·惠来期末）若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·惠来期末）如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·惠来期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·惠来期末）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·惠来期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
10．（2025八上·惠来期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八上·惠来期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，则代数式　 　．
12．（2025八上·惠来期末）关于x、y的方程组，则的值为　 　．
13．（2025八上·惠来期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是　 　度．
14．（2025八上·惠来期末）若a、b均为整数，当时，代数式的值为0，则的算术平方根为　 　．
15．（2025八上·惠来期末）一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2025八上·惠来期末）（1）计算：；
（2）解二元一次方程组：．
17．（2025八上·惠来期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
18．（2025八上·惠来期末）已知与成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点在这个函数的图象上，求a的值．
（3）试判断点是否在此函数图象上，说明理由．
19．（2025八上·惠来期末）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
20．（2025八上·惠来期末）为进一步巩固提升文明城市创建成果，常态长效推进文明城市建设，长安区某中学举办了“文明长安，你我同行”的知识竞赛．经过对100名竞赛者成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60～69分；C：70～79分；D：80～89分；E：90～100分），观察统计图，完成下列问题：
（1）成绩在59分及以下的有 　 　人，在80～89分的有 　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，成绩在“60～69分”部分所对应的圆心角的度数是多少？
21．（2025八上·惠来期末）综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数．
【实践探究】
（2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值．
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
22．（2025八上·惠来期末）如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点，
且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿
轴向右移动，设动点D的移动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式．
23．（2025八上·惠来期末）综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得：，
即或，
解得：或，
∴点P的坐标是或，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标的定义及“ 点P到两坐标轴的距离相等 ”列出方程，再求出a的值即可.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】 二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、D选项；根据二次根式的除法法则“”及二次根式性质”“可判断B选项；根据二次根式乘法法则”“可判断C选项.
3．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意；
、若，则，原选项是假命题，不符合题意；
、若，则且，原选项是真命题，符合题意；
故答案为：．
【分析】利用线段的性质、对顶角的定义、绝对值的性质、非负数之和为0的性质及真命题的定义逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】方差；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，
，
射击成绩最稳定的是乙；
故答案为：B．
【分析】利用方差判断稳定性：方差越小，数据越稳定，比较大小即可选出答案．
5．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵解二元一次方程组时所画的图象交点为，
∴方程组的解为，
故答案为：A.
【分析】 先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查角平分线的定义和三角形外角定理的综合应用，三角形外角定理指三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。首先观察，它是的外角，与它不相邻的两个内角是和，因此可根据外角定理求出；又因为CE是的平分线，根据角平分线定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，所以；再看，它是的外角，与它不相邻的两个内角是和，依据外角定理，，因此将已知的和的值代入，可求出。
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得出，
故选：D.
【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“ 如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房 ”列出方程组即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢．观察四个图象，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用根据图形并结合常识可得当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢，再求解即可.
9．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
即a＜c＜b．
故选D．
【分析】本题考查正比例函数的图象与系数k的关系，k的符号决定函数图象所在的象限，k的绝对值大小决定直线的陡峭程度。根据正比例函数图象性质，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，由此可判断出，，；再观察直线的陡峭程度，直线越陡，说明|k|越大，从图象中可看出②对应的直线比③对应的直线陡，因此，又因为b和c均为正数，所以；综合以上分析，可得。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
11．【答案】2
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线经过点，
，
；
故答案为：
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标性质，若点在一次函数的图象上，则该点的坐标必然满足函数的解析式。已知直线经过点，将点的坐标代入函数解析式中，可得；为求出的值，将上述等式进行变形，把含a的项移到左边，得到。
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将两个方程相加得：，
则，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的解法及整体思想的运用，无需单独求出x和y的具体值，可通过方程变形直接得到的值。观察方程组的两个方程，发现第一个方程中x的系数为2、y的系数为1，第二个方程中x的系数为1、y的系数为2，将两个方程左右两边分别相加，左边合并同类项得，右边合并同类项得，即；对等式两边同时除以3，即可得到。
13．【答案】120
【知识点】邻补角；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的判定与性质及补角的定义，平行线的判定定理中“同位角相等，两直线平行”，性质定理中“两直线平行，内错角相等”。首先观察和，它们是直线a、b被直线d所截形成的同位角，因为，根据同位角相等两直线平行，可判定；再观察和（标记图中的邻补角为），它们是直线a、b被直线c所截形成的内错角，根据两直线平行内错角相等，可得；由于和是邻补角，邻补角的和为，因此。
14．【答案】
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：当时，代数式的值为0，
，
，
、b均为整数，
，，
，，
，
则的算术平方根为：，
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式的混合运算、整数的性质及算术平方根的定义，需先求出a和b的值，再计算的算术平方根。首先将代入代数式中，根据完全平方公式展开得，整理后为；将式子分为有理部分和无理部分，因为a、b均为整数，且代数式的值为0，所以无理部分的系数必须为0（否则无理数无法与有理数相加为0），有理部分的和也为0，即和；解第一个方程得，将代入第二个方程得，解得；计算，再根据算术平方根的定义，的算术平方根为。
15．【答案】或3或7
【知识点】平均数及其计算；中位数；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意得，这组数据的平均数为，
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
综上所述，x的值是或3或7．
故答案为：或3或7．
【分析】先求出平均数，再分类讨论：①当时，这组数据的中位数为，②当时，这组数据的中位数为，③当时，这组数据的中位数为，再分别列出方程求解即可.
16．【答案】解：（1）原式；
（2）
①②得
解得
把代入①得
∴原二元一次方程组的解为．
【知识点】实数的绝对值；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，先算算术平方根，立方根，去绝对值，再算加法运算，即可得到答案；
（2）根据二元一次方程的解法，利用加减消元法，将①②消去，求得，进而求得方程组的解，得到答案.
17．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC △DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF
（2）解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180° ∠DEF ∠ACB
=180° 65° 35°
=80°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF，同时可证得BC=EF，再利用SAS证明△ABC △DEF，利用全等三角形的性质可证得∠ACB=∠F，据此可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，利用三角形的内角和定理可求出∠EOC的度数.
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC △DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180° ∠DEF ∠ACB
=180° 65° 35°
=80°．
18．【答案】（1）解：设，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，即，
∴y与x的函数关系式为.
（2）解：将点代入得：，
解得：.
（3）解：当时，，
则点不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将点（a，-2）代入解析式可得，再求出a的值即可；
（3）将x=-2代入解析式求出y的值，再判断点是否在函数图象上即可.
19．【答案】（1）解：设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装15件，购进B型服装10件；
（2）解：根据题意：
（元）
答：美丽服装店一共可获利元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用1900元购进A，B两种新式服装共25件，建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据一共可获利每件A型服装挣的钱数销售数量每件B型服装挣的钱数销售数量，列式计算即可求出答案.
（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装15件，购进B型服装10件；
（2）解：根据题意：
（元）
答：美丽服装店一共可获利元．
20．【答案】（1）10；35
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：在扇形统计图中，“60-69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×=72°．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：成绩在59分及以下的有：100×10%=10（人），
在80～89分的有：100×35%=35（人）；
故答案为：10；35.
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据列出算式求出答案即可；
（2）利用（1）的结果作出条形统计图即可；
（3）先求出“60-69分”部分的百分比，再乘以360°可得答案.
（1）解：成绩在59分及以下的有：100×10%=10（人），
在80～89分的有：100×35%=35（人）；
故答案为：10；35；
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：在扇形统计图中，“60-69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×=72°．
21．【答案】解：（1）；
(2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数，
，
解得，
(3)解：不是，理由如下，
，，
，
，即，
，
，
与不是关于1的平衡数．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】(1)解：由题意得，，，
与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，
故答案为：.
【分析】（1）利用“平衡数”的定义列出算式求解即可；
（2）利用“平衡数”的定义列出方程组，再求解即可；
（3）利用“平衡数”的定义列出算式求解即可.
22．【答案】解：把代入得，，
解得，，
（2）由（1）得，直线AB解析式为：，
当x=0时，y=6，B点坐标为（0，6），
∴OB=6，
当OD=OB=6时，△COD≌△AOB，
AD=OA+OB=9，
∴t=9，此时D点坐标为（6，0）；
（3）∵C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
当0≤t＜3时，OA=3，AD=t ，
∴OD=3-t，
S=，
当t≥3时，OD=t-3，
S=，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)本题考察待定系数法求一次函数解析式，已知直线经过两个点，将点的坐标代入解析式即可求解。直线经过A(-3，0)和(1，8)，将这两个点的坐标代入解析式，得到方程组；用第二个方程减去第一个方程，消去b得，解得，将代入得，即，。
(2)本题考察全等三角形的判定与动点运动规律，全等三角形需满足对应边相等、对应角相等。由(1)得直线AB的解析式为，令，解得，因此B点坐标为(0，6)，则；要使，观察图形可知，，根据全等三角形的判定（SAS），需；动点D从A(-3，0)沿x轴向右移动，速度为每秒1个单位，AD的长度为，因此移动时间秒，此时D点的横坐标为，纵坐标为0，即D点坐标为(6，0)。
(3)本题考察动点问题中的分段函数，需根据动点D的位置分情况讨论三角形面积。由C点坐标(0，3)得，的面积（OD为底边，OC为高）；当时，D点在A点和原点之间，OD的长度为，因此；当时，D点在原点右侧，OD的长度为，因此；综合两种情况，得到S与t的分段函数关系式。
23．【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
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