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浙江省金华市永康市初中联盟2024--2025学年下学期七年级数学期中试卷
一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列生活中的现象属于平移的是（　　）
A．钟摆的运动
B．汽车雨刷的运动
C．过安检时传送带上行李箱的运动
D．骑自行车时前后轮的转动
2．下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等，两直线垂直 B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等 D．两直线平行，内错角相等
3．下列各组方程中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在所标识的角中，内错角是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，平行线，被直线所截，交点为，，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（　　）
A． B． C． D．
8．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．若展开合并后不含项，则常数的值为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（　　）度．
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果把方程写成用含的代数式表示的形式，那么　 　．
12．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种　 　 ，　 　
13．如图，将沿方向平移得到对应的，若，则长是　 　．
14．已知，，则　 　．
15．已知方程组的解为，则方程组的解为　 　．
16．如图，将一副三角板如图摆放，点在边上，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在第　 　秒时，三角板中恰有一边与边平行．
三、解答题（本题有8小题，共24分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．解方程组：
（1）
（2）
19．如图，已知，，求证：．
请你完成下面的证明过程，并在括号里填上理由：
证明：∵（已知），（_______），
∴（等量代换），
∴________（同位角相等，两直线平行），
∴________（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（_____）．
20．在计算时，甲错把看成了6，得到的结果是；乙错把看成了4，得到的结果是．
（1）求的值．
（2）计算的正确结果．
21．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
22．观察下列各式的规律，解答下列问题．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
（1）观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________．
（2）猜想：________．
（3）应用：当，时，求出的值．
（4）延伸：试求的值．
23．规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______．
（2）若方程中x，y的值满足表：
x 0
y 0 2
求方程的共轭二元一次方程．
（3）若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系．
24．如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
（1）若，，则 ．
（2）试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
（4）如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】A、钟摆的运动是旋转，故A不符合题意.B、汽车雨刷的运动是旋转，故B不符合题意.C、是平移，故C符合题意.D、 骑自行车时前后轮的转是旋转，故D不符合题意.
故选C.
【分析】平移指的是图形沿着某个方向移动一定的距离，平移前后对应点的连线是平行（或在同一条直线上）且相等的.
2．【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A. 同位角相等，两直线垂直，说法错误，故该选项不符合题意；
B. 同旁内角相等，两直线平行，说法错误，故该选项不符合题意；
C. 两直线平行，同旁内角相等，说法错误，故该选项不符合题意；
D. 两直线平行，内错角相等，说法正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，需要熟练掌握相关定理才能正确解答。
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A. 该方程组是二元一次方程组，选项符合题意；
B.方程 ，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
C. 该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
D.方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，关键在于理解二元一次方程的基本特征：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。根据二元一次方程组的定义进行判断即可。
4．【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：和不符合内错角的定义，不是内错角，故选项A不符合题意；
和符合内错角的定义，是内错角，故选项B符合题意；
和不符合内错角的定义，不是内错角，故选项C不符合题意；
和不不符合内错角的定义，不是内错角，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样的位置关系的一对角叫做内错角． 根据定义逐一分析每个选项即可．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，此选项符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式的计算方法逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】根据垂直关系和平行线的性质进行分析解答。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，据此得关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：该班男生有人，女生有人．根据题意，，
故选：D
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
根据题意，得：，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查多项式乘法的展开规则，重点在于理解如何通过展开后不含某一项的条件来求解参数。解题的核心步骤是将多项式乘积展开后，令目标项的系数为零。
10．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；探索规律-图形的递变规律；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选：A．
【分析】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义。解题时，通过过点E作EF∥AB，利用平行线的内错角相等性质，可以推导出∠BEC=∠ABE+∠DCE。类似地，对于其他点E1、E2等，同样有∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1。
根据角平分线的定义，可以进一步得出∠BE1C=1/2∠ABE+1/2∠DCE=1/2(∠ABE+∠DCE)=1/2∠BEC。依此类推这样就得到了题目所求的结论。
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴用含的代数式表示的形式 ，则，
故答案为：．
【分析】把看作已知数求出，根据等式的性质，先把含y的项移到左边，再令含y的项系数化为1即可.
12．【答案】平行；相交
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行，相交．
故答案为：平行，相交
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．
13．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到对应的，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4cm．
【分析】新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等，据此得出BB'=CC'=1cm，进而根据BC'=BB'+B'C+CC'可求出答案.
14．【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵，，∴
故答案为：．
【分析】逆用同底数幂相乘的运算法则（底数不变，指数相加）和幂的乘方运算法则（底数不变，指数相乘）进行求解即可。
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知方程组的解得到，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题目给出的方程组解的条件，可以列出以下两个方程：。通过求解这个简单的方程组，就能得到最终的答案。
16．【答案】6或15或24
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】
解：如图：当AE'BC时，
则∠CAE'＝∠C＝30°，
∴旋转的时间为：＝6（秒）；
如图，当E'D'BC时，BD与E'D'交于点F，
∴∠BFD'＝∠B＝60°，
∴∠E'AF＝∠BFD'－∠E'＝60°－45°＝15°，
∴∠EAE'＝90°－15°＝75°，
∴旋转的时间为：＝15（秒）；
如图，当AD'BC时，
则∠BAD'＝∠B＝60°，
∴∠EAE'＝360° 90° 90° 60°＝120°，
∴旋转的时间为：＝24（秒），
综上，在第6或15或24秒时，三角板中恰有一边与边平行．
故答案为：6或15或24．
【解析】本题需要分三种情况进行讨论：当AE'∥BC时、当E'D'∥BC时、当AD'∥BC时，对每种情况分别作出相应的图形，并利用平行线的性质来求解问题。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【知识点】整数指数幂的运算
【解析】【分析】（）利用积的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（）利用幂的乘方及单项式乘以单项式的运算法则进行运算，再合并结果即可；
（）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
18．【答案】（1）解：，把①代入②，得
∴
把代入①，得
∴方程组的解为
（2）解：，①②，得
∴
把代入①，得
∴
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）利用代入法计算即可；
（）利用加减法计算即可；
（1）解：，
把①代入②，得，
∴，
把代入①，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
①②，得，
∴，
把代入①，得，
∴，
∴方程组的解为．
19．【答案】 证明：∵（已知），（对顶角相等），∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解析】本题主要考查平行线的性质与判定。首先根据题目条件得出，从而推出。再利用平行线的性质结合已知条件，得到，最终可证明。
20．【答案】（1）解：根据题意：
∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是
∴
∴
∵乙错把看成了4，得到的结果是
∴，
∴
（2）解：根据，
可知：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解析】本题主要考查整式的乘法运算，解题关键在于正确进行计算。（1）根据题目条件求出代数式的值，将结果进行对比，分别确定和的值。
（2）将第一步求得的和代入代数式中，计算最终结果。
（1）解：根据题意：
，
∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是
∴，
∴，
，
∵乙错把看成了4，得到的结果是，
∴，
∴．
（2）解：根据，
可知：
21．【答案】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解得：．
答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨
（2）解：结合题意和（1）得：，∴，
∵、都是正整数，
∴或或．
答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题重点考查二元一次方程组和二元一次方程的实际应用能力，掌握二元一次方程组的解题方法是关键。
（1）根据题目条件建立方程组：
- 条件1：2辆A型车和1辆B型车可运10吨，对应方程
- 条件2：1辆A型车和2辆B型车可运11吨，对应方程
通过解这个方程组即可求出A、B型车的运载量。
（2）根据总运量需求建立方程：（其中m为A型车数量，n为B型车数量）需要求出这个方程的非负整数解，即可得到所有可行的租车方案。
（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解得：．
答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨．
（2）解：结合题意和（1）得：，
∴，
∵、都是正整数，
∴或或．
答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆．
22．【答案】（1）
（2）
（3）当，时，
即
∴
即当，时，的值为
（4）∵，∴
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）第5个等式为：
故答案为：
（2）猜想
故答案为：
【分析】（）根据已知等式写成第5个等式即可；
（）根据已知等式写出猜想即可；
（3）根据规律进行解答即可；
（4）根据（2）的结论求出，进而即可求解；
（1）解：第5个等式为：
故答案为：
（2）猜想
故答案为：
（3）当，时，
即
∴
即当，时，的值为．
（4）∵，
∴
23．【答案】（1），
（2）解：由题意，代入得，解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是。
（3）解：；理由如下：
将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】二元一次方程的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
故答案为：（1），。
【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）首先根据共轭二元一次方程和共轭方程组的特点，发现第一个方程x的系数是第二个方程y的系数，并且是1；而第一个方程y的系数是第二个方程x的系数；并且等式右边都是相同的数。这样列式计算即可；
（2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）将解代入共轭方程组中，得出，然后列出进行变形，即可得出m和n的关系。
（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
（2）解：由题意得，
解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：；
理由：将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
24．【答案】（1）
（2），理由，过作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：
（4）或．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴．
【分析】（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据（）中的结论即可求解；
（）分当点在的外侧与当点在的外侧两种情况进行分类讨论，然后根据平行理推论，平行线的性质即可求解；
（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由，
过作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：；
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴．
1 / 1浙江省金华市永康市初中联盟2024--2025学年下学期七年级数学期中试卷
一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列生活中的现象属于平移的是（　　）
A．钟摆的运动
B．汽车雨刷的运动
C．过安检时传送带上行李箱的运动
D．骑自行车时前后轮的转动
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】A、钟摆的运动是旋转，故A不符合题意.B、汽车雨刷的运动是旋转，故B不符合题意.C、是平移，故C符合题意.D、 骑自行车时前后轮的转是旋转，故D不符合题意.
故选C.
【分析】平移指的是图形沿着某个方向移动一定的距离，平移前后对应点的连线是平行（或在同一条直线上）且相等的.
2．下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等，两直线垂直 B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A. 同位角相等，两直线垂直，说法错误，故该选项不符合题意；
B. 同旁内角相等，两直线平行，说法错误，故该选项不符合题意；
C. 两直线平行，同旁内角相等，说法错误，故该选项不符合题意；
D. 两直线平行，内错角相等，说法正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，需要熟练掌握相关定理才能正确解答。
3．下列各组方程中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A. 该方程组是二元一次方程组，选项符合题意；
B.方程 ，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
C. 该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
D.方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，关键在于理解二元一次方程的基本特征：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。根据二元一次方程组的定义进行判断即可。
4．如图所示，在所标识的角中，内错角是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：和不符合内错角的定义，不是内错角，故选项A不符合题意；
和符合内错角的定义，是内错角，故选项B符合题意；
和不符合内错角的定义，不是内错角，故选项C不符合题意；
和不不符合内错角的定义，不是内错角，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样的位置关系的一对角叫做内错角． 根据定义逐一分析每个选项即可．
5．下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，此选项符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式的计算方法逐项分析判断即可.
6．如图，平行线，被直线所截，交点为，，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】根据垂直关系和平行线的性质进行分析解答。
7．如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，据此得关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案.
8．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：该班男生有人，女生有人．根据题意，，
故选：D
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
9．若展开合并后不含项，则常数的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
根据题意，得：，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查多项式乘法的展开规则，重点在于理解如何通过展开后不含某一项的条件来求解参数。解题的核心步骤是将多项式乘积展开后，令目标项的系数为零。
10．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（　　）度．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；探索规律-图形的递变规律；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选：A．
【分析】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义。解题时，通过过点E作EF∥AB，利用平行线的内错角相等性质，可以推导出∠BEC=∠ABE+∠DCE。类似地，对于其他点E1、E2等，同样有∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1。
根据角平分线的定义，可以进一步得出∠BE1C=1/2∠ABE+1/2∠DCE=1/2(∠ABE+∠DCE)=1/2∠BEC。依此类推这样就得到了题目所求的结论。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果把方程写成用含的代数式表示的形式，那么　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴用含的代数式表示的形式 ，则，
故答案为：．
【分析】把看作已知数求出，根据等式的性质，先把含y的项移到左边，再令含y的项系数化为1即可.
12．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种　 　 ，　 　
【答案】平行；相交
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行，相交．
故答案为：平行，相交
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．
13．如图，将沿方向平移得到对应的，若，则长是　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到对应的，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4cm．
【分析】新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等，据此得出BB'=CC'=1cm，进而根据BC'=BB'+B'C+CC'可求出答案.
14．已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵，，∴
故答案为：．
【分析】逆用同底数幂相乘的运算法则（底数不变，指数相加）和幂的乘方运算法则（底数不变，指数相乘）进行求解即可。
15．已知方程组的解为，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知方程组的解得到，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题目给出的方程组解的条件，可以列出以下两个方程：。通过求解这个简单的方程组，就能得到最终的答案。
16．如图，将一副三角板如图摆放，点在边上，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在第　 　秒时，三角板中恰有一边与边平行．
【答案】6或15或24
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】
解：如图：当AE'BC时，
则∠CAE'＝∠C＝30°，
∴旋转的时间为：＝6（秒）；
如图，当E'D'BC时，BD与E'D'交于点F，
∴∠BFD'＝∠B＝60°，
∴∠E'AF＝∠BFD'－∠E'＝60°－45°＝15°，
∴∠EAE'＝90°－15°＝75°，
∴旋转的时间为：＝15（秒）；
如图，当AD'BC时，
则∠BAD'＝∠B＝60°，
∴∠EAE'＝360° 90° 90° 60°＝120°，
∴旋转的时间为：＝24（秒），
综上，在第6或15或24秒时，三角板中恰有一边与边平行．
故答案为：6或15或24．
【解析】本题需要分三种情况进行讨论：当AE'∥BC时、当E'D'∥BC时、当AD'∥BC时，对每种情况分别作出相应的图形，并利用平行线的性质来求解问题。
三、解答题（本题有8小题，共24分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【知识点】整数指数幂的运算
【解析】【分析】（）利用积的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（）利用幂的乘方及单项式乘以单项式的运算法则进行运算，再合并结果即可；
（）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
18．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，把①代入②，得
∴
把代入①，得
∴方程组的解为
（2）解：，①②，得
∴
把代入①，得
∴
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）利用代入法计算即可；
（）利用加减法计算即可；
（1）解：，
把①代入②，得，
∴，
把代入①，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
①②，得，
∴，
把代入①，得，
∴，
∴方程组的解为．
19．如图，已知，，求证：．
请你完成下面的证明过程，并在括号里填上理由：
证明：∵（已知），（_______），
∴（等量代换），
∴________（同位角相等，两直线平行），
∴________（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（_____）．
【答案】 证明：∵（已知），（对顶角相等），∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解析】本题主要考查平行线的性质与判定。首先根据题目条件得出，从而推出。再利用平行线的性质结合已知条件，得到，最终可证明。
20．在计算时，甲错把看成了6，得到的结果是；乙错把看成了4，得到的结果是．
（1）求的值．
（2）计算的正确结果．
【答案】（1）解：根据题意：
∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是
∴
∴
∵乙错把看成了4，得到的结果是
∴，
∴
（2）解：根据，
可知：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解析】本题主要考查整式的乘法运算，解题关键在于正确进行计算。（1）根据题目条件求出代数式的值，将结果进行对比，分别确定和的值。
（2）将第一步求得的和代入代数式中，计算最终结果。
（1）解：根据题意：
，
∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是
∴，
∴，
，
∵乙错把看成了4，得到的结果是，
∴，
∴．
（2）解：根据，
可知：
21．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
【答案】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解得：．
答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨
（2）解：结合题意和（1）得：，∴，
∵、都是正整数，
∴或或．
答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题重点考查二元一次方程组和二元一次方程的实际应用能力，掌握二元一次方程组的解题方法是关键。
（1）根据题目条件建立方程组：
- 条件1：2辆A型车和1辆B型车可运10吨，对应方程
- 条件2：1辆A型车和2辆B型车可运11吨，对应方程
通过解这个方程组即可求出A、B型车的运载量。
（2）根据总运量需求建立方程：（其中m为A型车数量，n为B型车数量）需要求出这个方程的非负整数解，即可得到所有可行的租车方案。
（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解得：．
答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨．
（2）解：结合题意和（1）得：，
∴，
∵、都是正整数，
∴或或．
答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆．
22．观察下列各式的规律，解答下列问题．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
（1）观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________．
（2）猜想：________．
（3）应用：当，时，求出的值．
（4）延伸：试求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）当，时，
即
∴
即当，时，的值为
（4）∵，∴
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）第5个等式为：
故答案为：
（2）猜想
故答案为：
【分析】（）根据已知等式写成第5个等式即可；
（）根据已知等式写出猜想即可；
（3）根据规律进行解答即可；
（4）根据（2）的结论求出，进而即可求解；
（1）解：第5个等式为：
故答案为：
（2）猜想
故答案为：
（3）当，时，
即
∴
即当，时，的值为．
（4）∵，
∴
23．规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______．
（2）若方程中x，y的值满足表：
x 0
y 0 2
求方程的共轭二元一次方程．
（3）若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系．
【答案】（1），
（2）解：由题意，代入得，解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是。
（3）解：；理由如下：
将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】二元一次方程的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
故答案为：（1），。
【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）首先根据共轭二元一次方程和共轭方程组的特点，发现第一个方程x的系数是第二个方程y的系数，并且是1；而第一个方程y的系数是第二个方程x的系数；并且等式右边都是相同的数。这样列式计算即可；
（2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）将解代入共轭方程组中，得出，然后列出进行变形，即可得出m和n的关系。
（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
（2）解：由题意得，
解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：；
理由：将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
24．如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
（1）若，，则 ．
（2）试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
（4）如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
【答案】（1）
（2），理由，过作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：
（4）或．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴．
【分析】（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据（）中的结论即可求解；
（）分当点在的外侧与当点在的外侧两种情况进行分类讨论，然后根据平行理推论，平行线的性质即可求解；
（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由，
过作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：；
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交于，
∴，
∴，，
∵
∴．
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