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浙江省宁波市鄞州区曙光宋中应麟等联考2024-2025学年 七年级下学期数学期中卷
一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是代数式，不是二元一次方程；
B、是二元一次方程；
C、是二元二次方程，不是二元一次方程；
D、是二元二次方程，不是二元一次方程.
故答案为：B．
【分析】含有两个未知数，且未知数项的最高次数为1的整式方程就是二元一次方程，据此逐一判断得出答案.
2．如图，下列说法错误的是（　　）．
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【答案】B
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：由图形可得：
∠1与∠2是内错角，故A选项正确；
∠1与∠4既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故B选项错误；
∠2与∠4是内错角，故C选项正确；
∠2与∠3是同旁内角，故D选项正确，
故选：B．
【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义进行判断：当两条直线被第三条直线所截时，
- 同位角位于截线的同一侧且在被截线的同一方向上；
- 内错角位于截线的两侧且在被截线的内部；
- 同旁内角位于截线的同一侧且在被截线的内部。
3．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的标准形式为，其中系数，指数n为整数。确定n值的关键是观察原数转换为a时小数点的移动位数：当原数绝对值时n取正数；当绝对值时n取负数。具体解题时需根据此规律进行判断。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算正确，符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，先计算乘方，再合并同类即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．如图，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】首先根据平角的定义，可以得出，接着运用平行线的性质进行分析解答。
6．计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：．
故选B．
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，公式表达式为：。解题时直接套用该公式进行计算即可。
7．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，由①得：x=③，
把③代入②得：，
去分母得：，
解得：y=，
由③得：x=．
则合作中出现错误的同学为丙．
由解得：，
∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁，
故选：B．
【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，主要运用消元思想。消元法包括代入消元法和加减消元法两种。需要分析四位同学的解题步骤，找出其中存在的错误。
8．《九章算术》中有这样一道题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】 设优质酒为x斗，劣质酒为y斗，由题意，则有
，
故选A．
【分析】设优质酒的数量为斗，劣质酒的数量为斗。根据题目条件，优质酒和劣质酒的总价格为30钱，总容量为2斗，列出方程组.
9．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵翻折前后角度不变，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，根据折叠的性质，得到，再由，得到，得到，进而求得的度数，得到答案．
10．如图，把40张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）既不重叠又无空隙地放在一个底面为长方形（长与宽的比为）的盒子底部边沿，则盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设在底面为长方形的长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，设小长方形的宽为，则长为，则，即，依题意，得：
解得：
∴盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为，
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确找出等量关系并建立方程组。
设在长方形底面的长边上放置了x张小卡片，宽边上放置了y张小卡片。设小卡片的宽度为，则长度为。根据长宽比列方程解方程即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．把方程写成用含x的式子表示y的形式　 　．
【答案】y＝3x﹣1
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x﹣y＝5，∴﹣y＝1﹣3x，
∴y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【分析】将x当作常数，再解方程即可。
12．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为　 　．
【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，
，
，
∴平移的距离为4，
故答案为：4．
【分析】本题考查图形平移的基本性质，解题关键在于理解平移变换的特点。
13．计算（x－a）（x+3）的结果中不含x的一次项，则a的值是　 　.
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵不含x的一次项，
∴3－a=0，
∴a=3，
故答案为：3.
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，令x的一次项系数为0，列出关于a的方程，求出即可.
14．若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程有两个解和，
∴
∴得，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程解的定义，得出方程组求解，再求m+n的值．
15．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题主要考查幂的乘方运算和分式的化简求值，掌握幂的乘方法则是解题关键。
根据题目条件，由幂的乘方可得，将这一关系代入分式进行化简最终化简即可。
16．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得：
阴影的面积，
阴影的面积，
阴影的面积阴影的面积，
阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，
，
，
故答案为：．
【解析】本题主要考查多项式乘法在几何图形面积计算中的应用。解题的关键在于正确表示阴影部分A和B的面积。
阴影A的面积和阴影B的面积需根据图形分别求出，计算阴影A面积减去阴影B面积的结果为：。根据题意，令，解出的值即可，通过上述步骤，结合多项式运算和几何图形分析，最终得出答案。
三、解答题（17－22每题6分，23、24每题8分）
17．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式
【解析】【分析】本题主要考查实数运算的相关知识，包括绝对值、零指数幂、负整数指数幂的计算，以及同底数幂的除法法则和单项式除以单项式的运算规则。掌握这些基本运算法则是解答本题的关键。
（1）解题时需要分别计算绝对值项、零指数幂项和负整数指数幂项，然后将各项结果进行合并运算；
（2）解题过程涉及立方运算和同底数幂的除法运算，需要按照单项式除以单项式的运算规则逐步计算。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：①②得，
把的值代入②得，
∴原方程组的解为
（2）解：得，
解得，
把的值代入①得，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键．
（1）运用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解．
（1）解：
①②得，，
把的值代入②得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，，
解得，，
把的值代入①得，，
∴原方程组的解为．
19．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的化简求值，需要熟练掌握相关运算法则。解题步骤如下：首先利用完全平方公式对原式进行展开化简，接着去掉括号，然后合并同类项进行简化，最后将给定的和数值代入化简后的表达式进行计算即可得到结果。
20．如图，，，垂足为点．
（1）若，请求出的度数；
（2）若，试问与平行吗？为什么？
【答案】（1）解：∵，∴
∴
∵
∴
（2）解：，理由如下：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
【知识点】平行线的应用-求角度；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、同角或等角的余角相等、直角三角形的性质．
（1）因为，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，同位角相等可知；
（2）根据垂直的定义可知，根据直角三角形两锐角互余可得，因为，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行可证．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为．
（1）填空：__________，__________（用含有的代数式分别表示）．
（2）先用含有的代数式表示出长方形的周长．当时，求长方形的周长．
【答案】（1），
（2）解：由题意可得：
长方形的长为，
宽为，
长方形的周长，
当时，
长方形的周长．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据图中正方形边长关系列代数式解题；
（2）先表示长方形的长和宽，进而求出的周长，再将x的值代入解题即可．
（1）解：由题意可得：
，
，
故答案为：，；
（2）解：由题意可得：
长方形的长为，
宽为，
长方形的周长，
当时，
长方形的周长．
22．陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法宝凝聚能量：2个「乾坤圈」和5个「风火轮」同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个「乾坤圈」和2个「风火轮」联合运转1小时，能产生26单位净化能量．
（1）单个「乾坤圈」和单个「风火轮」每小时各能产生多少单位净化能量？
（2）结界需要单位能量才能完全净化．若启动8个「乾坤圈」和10个「风火轮」持续运转5小时，哪吒能否在海夜叉攻破结界前完成净化？请用计算证明．
【答案】（1）解：设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量，
根据题意得：，
解得：
答：单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量
（2）解：根据题意，．
因为，所以不能在海夜叉攻破结界前完成净
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用，同时涉及有理数的混合运算。解题关键在于正确建立方程组并准确求解。
（1）设「乾坤圈」每小时产生的净化能量为单位，「风火轮」每小时产生的净化能量为单位。根据题目描述的条件建立二元一次方程组，通过解方程组即可求得两者的能量产生效率。
（2）在（1）求得结果的基础上，结合题目给出的新条件进行有理数运算，将最终计算结果与进行对比分析，从而得出结论。
（1）解：设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量，
根据题意得：，
解得：
答：单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量：
（2）解：根据题意，．
因为，所以不能在海夜叉攻破结界前完成净化
23．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题．
(1)例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：
图2：______；图3：______．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值．
方法一：从“数”的角度 解：∵，∴，即，又∵，∴．
方法二：从“形”的角度 解：∵，∴，又∵，∴，∴．即．
类比迁移：
(2)若，则的值为多少？
(3)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，分别表示图中两个正方形的面积，设，图中阴影部分面积，则两个正方形的面积之和的值为多少？
【答案】解：（1）
（2）设，，则，，
所以
，
故答案为：10．
（3）设，，则，
∵，
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键。
（1）对于图2，阴影部分是一个正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，由此可以得出结论；对于图3，左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，从而得出结论。
（2）采用"方法一"的思路，设，，则有，。然后利用完全平方公式进行变形计算求解。
（3）根据（2）的方法，设，，则有，。最后利用直角三角形的面积计算公式求解。
24．如图，，点在直线上，和都在直线上，且在点左侧，，点在直线上，交直线于点，平分交直线于点，设
（1）如图，当点在点右侧时，若，
①求的度数；
②求证；
（2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）解：①，
，
，
，
；
②证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）或或
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】(2) ①当点在点右侧时，如图：
，
，，
，．
平分，
，
；
②当点在点和点之间时，如图，点在点左侧．
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
；
③当点在点左侧时，如图，，点在点左侧．
，
，即，
在中，由②知，，
，
．
综上，与的数量关系为：或或
【解析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理的应用，解题时需要注意分类讨论思想。
（1）①首先利用平行线的性质得出，进而求得的度数，再根据平行线的内错角相等性质得到，从而完成求解；
②根据角平分线定义得到，通过内错角相等证明，再结合已知条件即可得证。
（2）需要分三种情况讨论点P的位置：
①当点P位于点G右侧时；
②当点P位于点E和点G之间时；
③当点P位于点E左侧时。
每种情况都需要综合运用平行线的性质、角平分线性质以及三角形内角和定理进行求解。
（1）解：①，
，
，
，
，
；
②证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）①当点在点右侧时，如图：
，
，，
，．
平分，
，
；
②当点在点和点之间时，如图，点在点左侧．
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
；
③当点在点左侧时，如图，，点在点左侧．
，
，即，
在中，由②知，，
，
．
综上，与的数量关系为：或或．
1 / 1浙江省宁波市鄞州区曙光宋中应麟等联考2024-2025学年 七年级下学期数学期中卷
一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，下列说法错误的是（　　）．
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
3．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．计算：（　　）
A． B． C． D．
7．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁
8．《九章算术》中有这样一道题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，把40张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）既不重叠又无空隙地放在一个底面为长方形（长与宽的比为）的盒子底部边沿，则盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．把方程写成用含x的式子表示y的形式　 　．
12．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为　 　．
13．计算（x－a）（x+3）的结果中不含x的一次项，则a的值是　 　.
14．若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为　 　．
15．若，则的值是　 　．
16．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为　 　．
三、解答题（17－22每题6分，23、24每题8分）
17．计算：
（1）；
（2）
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，，，垂足为点．
（1）若，请求出的度数；
（2）若，试问与平行吗？为什么？
21．如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为．
（1）填空：__________，__________（用含有的代数式分别表示）．
（2）先用含有的代数式表示出长方形的周长．当时，求长方形的周长．
22．陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法宝凝聚能量：2个「乾坤圈」和5个「风火轮」同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个「乾坤圈」和2个「风火轮」联合运转1小时，能产生26单位净化能量．
（1）单个「乾坤圈」和单个「风火轮」每小时各能产生多少单位净化能量？
（2）结界需要单位能量才能完全净化．若启动8个「乾坤圈」和10个「风火轮」持续运转5小时，哪吒能否在海夜叉攻破结界前完成净化？请用计算证明．
23．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题．
(1)例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：
图2：______；图3：______．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值．
方法一：从“数”的角度 解：∵，∴，即，又∵，∴．
方法二：从“形”的角度 解：∵，∴，又∵，∴，∴．即．
类比迁移：
(2)若，则的值为多少？
(3)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，分别表示图中两个正方形的面积，设，图中阴影部分面积，则两个正方形的面积之和的值为多少？
24．如图，，点在直线上，和都在直线上，且在点左侧，，点在直线上，交直线于点，平分交直线于点，设
（1）如图，当点在点右侧时，若，
①求的度数；
②求证；
（2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是代数式，不是二元一次方程；
B、是二元一次方程；
C、是二元二次方程，不是二元一次方程；
D、是二元二次方程，不是二元一次方程.
故答案为：B．
【分析】含有两个未知数，且未知数项的最高次数为1的整式方程就是二元一次方程，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：由图形可得：
∠1与∠2是内错角，故A选项正确；
∠1与∠4既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故B选项错误；
∠2与∠4是内错角，故C选项正确；
∠2与∠3是同旁内角，故D选项正确，
故选：B．
【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义进行判断：当两条直线被第三条直线所截时，
- 同位角位于截线的同一侧且在被截线的同一方向上；
- 内错角位于截线的两侧且在被截线的内部；
- 同旁内角位于截线的同一侧且在被截线的内部。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的标准形式为，其中系数，指数n为整数。确定n值的关键是观察原数转换为a时小数点的移动位数：当原数绝对值时n取正数；当绝对值时n取负数。具体解题时需根据此规律进行判断。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算正确，符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，先计算乘方，再合并同类即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】首先根据平角的定义，可以得出，接着运用平行线的性质进行分析解答。
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：．
故选B．
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，公式表达式为：。解题时直接套用该公式进行计算即可。
7．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，由①得：x=③，
把③代入②得：，
去分母得：，
解得：y=，
由③得：x=．
则合作中出现错误的同学为丙．
由解得：，
∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁，
故选：B．
【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，主要运用消元思想。消元法包括代入消元法和加减消元法两种。需要分析四位同学的解题步骤，找出其中存在的错误。
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】 设优质酒为x斗，劣质酒为y斗，由题意，则有
，
故选A．
【分析】设优质酒的数量为斗，劣质酒的数量为斗。根据题目条件，优质酒和劣质酒的总价格为30钱，总容量为2斗，列出方程组.
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵翻折前后角度不变，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，根据折叠的性质，得到，再由，得到，得到，进而求得的度数，得到答案．
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设在底面为长方形的长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，设小长方形的宽为，则长为，则，即，依题意，得：
解得：
∴盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为，
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确找出等量关系并建立方程组。
设在长方形底面的长边上放置了x张小卡片，宽边上放置了y张小卡片。设小卡片的宽度为，则长度为。根据长宽比列方程解方程即可.
11．【答案】y＝3x﹣1
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x﹣y＝5，∴﹣y＝1﹣3x，
∴y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【分析】将x当作常数，再解方程即可。
12．【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，
，
，
∴平移的距离为4，
故答案为：4．
【分析】本题考查图形平移的基本性质，解题关键在于理解平移变换的特点。
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵不含x的一次项，
∴3－a=0，
∴a=3，
故答案为：3.
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，令x的一次项系数为0，列出关于a的方程，求出即可.
14．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程有两个解和，
∴
∴得，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程解的定义，得出方程组求解，再求m+n的值．
15．【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题主要考查幂的乘方运算和分式的化简求值，掌握幂的乘方法则是解题关键。
根据题目条件，由幂的乘方可得，将这一关系代入分式进行化简最终化简即可。
16．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得：
阴影的面积，
阴影的面积，
阴影的面积阴影的面积，
阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，
，
，
故答案为：．
【解析】本题主要考查多项式乘法在几何图形面积计算中的应用。解题的关键在于正确表示阴影部分A和B的面积。
阴影A的面积和阴影B的面积需根据图形分别求出，计算阴影A面积减去阴影B面积的结果为：。根据题意，令，解出的值即可，通过上述步骤，结合多项式运算和几何图形分析，最终得出答案。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式
【解析】【分析】本题主要考查实数运算的相关知识，包括绝对值、零指数幂、负整数指数幂的计算，以及同底数幂的除法法则和单项式除以单项式的运算规则。掌握这些基本运算法则是解答本题的关键。
（1）解题时需要分别计算绝对值项、零指数幂项和负整数指数幂项，然后将各项结果进行合并运算；
（2）解题过程涉及立方运算和同底数幂的除法运算，需要按照单项式除以单项式的运算规则逐步计算。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：①②得，
把的值代入②得，
∴原方程组的解为
（2）解：得，
解得，
把的值代入①得，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键．
（1）运用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解．
（1）解：
①②得，，
把的值代入②得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，，
解得，，
把的值代入①得，，
∴原方程组的解为．
19．【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的化简求值，需要熟练掌握相关运算法则。解题步骤如下：首先利用完全平方公式对原式进行展开化简，接着去掉括号，然后合并同类项进行简化，最后将给定的和数值代入化简后的表达式进行计算即可得到结果。
20．【答案】（1）解：∵，∴
∴
∵
∴
（2）解：，理由如下：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
【知识点】平行线的应用-求角度；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、同角或等角的余角相等、直角三角形的性质．
（1）因为，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，同位角相等可知；
（2）根据垂直的定义可知，根据直角三角形两锐角互余可得，因为，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行可证．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1），
（2）解：由题意可得：
长方形的长为，
宽为，
长方形的周长，
当时，
长方形的周长．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据图中正方形边长关系列代数式解题；
（2）先表示长方形的长和宽，进而求出的周长，再将x的值代入解题即可．
（1）解：由题意可得：
，
，
故答案为：，；
（2）解：由题意可得：
长方形的长为，
宽为，
长方形的周长，
当时，
长方形的周长．
22．【答案】（1）解：设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量，
根据题意得：，
解得：
答：单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量
（2）解：根据题意，．
因为，所以不能在海夜叉攻破结界前完成净
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用，同时涉及有理数的混合运算。解题关键在于正确建立方程组并准确求解。
（1）设「乾坤圈」每小时产生的净化能量为单位，「风火轮」每小时产生的净化能量为单位。根据题目描述的条件建立二元一次方程组，通过解方程组即可求得两者的能量产生效率。
（2）在（1）求得结果的基础上，结合题目给出的新条件进行有理数运算，将最终计算结果与进行对比分析，从而得出结论。
（1）解：设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量，
根据题意得：，
解得：
答：单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量：
（2）解：根据题意，．
因为，所以不能在海夜叉攻破结界前完成净化
23．【答案】解：（1）
（2）设，，则，，
所以
，
故答案为：10．
（3）设，，则，
∵，
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键。
（1）对于图2，阴影部分是一个正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，由此可以得出结论；对于图3，左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，从而得出结论。
（2）采用"方法一"的思路，设，，则有，。然后利用完全平方公式进行变形计算求解。
（3）根据（2）的方法，设，，则有，。最后利用直角三角形的面积计算公式求解。
24．【答案】（1）解：①，
，
，
，
；
②证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）或或
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】(2) ①当点在点右侧时，如图：
，
，，
，．
平分，
，
；
②当点在点和点之间时，如图，点在点左侧．
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
；
③当点在点左侧时，如图，，点在点左侧．
，
，即，
在中，由②知，，
，
．
综上，与的数量关系为：或或
【解析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理的应用，解题时需要注意分类讨论思想。
（1）①首先利用平行线的性质得出，进而求得的度数，再根据平行线的内错角相等性质得到，从而完成求解；
②根据角平分线定义得到，通过内错角相等证明，再结合已知条件即可得证。
（2）需要分三种情况讨论点P的位置：
①当点P位于点G右侧时；
②当点P位于点E和点G之间时；
③当点P位于点E左侧时。
每种情况都需要综合运用平行线的性质、角平分线性质以及三角形内角和定理进行求解。
（1）解：①，
，
，
，
，
；
②证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）①当点在点右侧时，如图：
，
，，
，．
平分，
，
；
②当点在点和点之间时，如图，点在点左侧．
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
；
③当点在点左侧时，如图，，点在点左侧．
，
，即，
在中，由②知，，
，
．
综上，与的数量关系为：或或．
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