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浙江省湖州市南浔区湖州南浔八校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点P与直线l上的四个点A、B、C、D的所有连线中，最短的线段是（　　）
A． B． C． D．
3．某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6． 由方程组，可得x与y的关系是（　　）
A．2x+y=4 B．2x+y=-4 C．2x-y=4 D．2x-y=-4
7．一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，那么的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，则与的数量关系是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： =　 　.
12．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　 　度．
13．如图，将三角形沿水平方向向左平移到三角形的位置．已知点A，之间的距离为，，则的长是　 　．
14．若方程组 的解满足 ，则a=　 　.
15．已知 ，则 　 　
16．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）．
18．解方程组：
（1）．
（2）．
19．对于任何实数，我们规定符号=ad﹣bc，例如： =1×4﹣2×3=﹣2，
（1）按照这个规律请你计算= ；
（2）按照这个规定请你计算，当a2﹣3a+1=0时，求的值．
20．如图，点M是△ABC外的一点，请你在网格内完成作图：
（1）作过点M且平行于BC的直线．
（2）画出△ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的．
21．如图，是的角平分线，．
（1）请判断与是否平行，并说明理由．
（2）若是的角平分线，请探索与的数量关系．
22．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
（1）上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A．
B．
C．
（2）应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
24．已知，，点M在上，点N在上．
（1）如图1中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
如图2中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
（2）如图3中，平分，平分，且，求的度数．
（3）如图4中，，，，（k是常数），且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，直接写出的度数______．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A选项：方程-2a=3a+1属于一元一次方程，A错误。
B选项：方程是分式方程，不符合二元一次方程的定义，B错误。
C选项：方程m-n=3a是三元一次方程，不符合题目要求，C错误。
D选项：方程2x-1=y满足二元一次方程的条件（含有两个未知数，且未知数的次数为1），D正确。
故选：D。
【分析】本题考查二元一次方程的判断标准：必须同时满足(1)含有两个未知数，(2)未知数的最高次数为1，(3)整式方程这三个条件。
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵垂线段最短，
∴点P与直线l上的四个点A、B、C、D的所有连线中，最短的线段是，
故答案为：B．
【分析】利用垂线段最短的性质分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意；
B、和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意；
C、和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意；
D、和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断A、B选项；由同位角相等，两直线平行可判断C选项；由同旁内角互补，两直线平行可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不正确，不符合题意；
B、，故此选项不正确，不符合题意；
C、，故此选项不正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 方程组，
把②代入①得：2x+y-3=1，
∴2x+y=4.
故答案为：A.
【分析】把②代入①中消去m即可求解.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题知，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由学具性质及平角可求出∠3=62°，然后根据二直线平行，同位角相等得出∠2的度数.
8．【答案】C
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x2+x=1，
∴x3+2x2+2023=x(x2+x)+x2+2023=x+x2+2023=1+2023=2024.
故答案为：2024.
【分析】待求式可变形为x(x2+x)+x2+2023，然后将已知条件代入进行计算.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个长方形的长为，宽为，由题意，
得，
解得：，
．
故答案为：A．
【分析】设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，由图1可得三个小长方形的长等于5个小长方形的宽，由图2可得两个小长方形的宽与小长方形的长之差等于中间阴影小正方形的边长，据此列出方程组，求解得出x、y的值，进而再根据长方形面积公式计算出小长方形的面积即可.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，设，得到，由，求得，，得到，即可求解.
11．【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
12．【答案】120
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°．
故答案为：120.
【分析】由内错角相等，两直线平行得出AB∥CD，再由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC的度数.
13．【答案】6
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
三角形沿水平方向向右平移到三角形，
，
．
故答案为：6．
【解析】根据平移的性质可知，线段BE、CF和AD的长度相等，即。因此，可直接进行运算即可得到结果。
14．【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
将①+②，得：
故答案为： .
【分析】将两式相加表示出 ，再将 代入即可得出答案.
15．【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵a+3b-2=0，
∴a+3b=2.
∴2a+6b=4.
∴4a×82b=（22）a×（23）2b=22a×26b=22a+6b=24=16.
【分析】先将a+3b-2=0变形为2a+6b=4，再把4a×82b变形为底数为2的同底数幂相乘的形式，可得22a+6b，最后将2a+6b=4的值代入计算即可.
16．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为，
∴由图知，，
∴
，
，
=2d+2a+2c，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案：．
【分析】设大长方形的宽为d，由图2可得d=b-c+a，利用平移思想及长方形周长公式表示出l1与l2，利用割补法及正方形与长方形面积计算公式分别表示出S1与S2，然后利用整式加减法求出l1-l2与S2-S1，整体代入可求出b=3c，从而即可求出b与c的比值.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂、负整数指数幂以及幂的运算性质，解题时需要熟练掌握相关运算规则：（1）计算时需运用零指数幂和负整数指数幂的运算规则；（2）解题过程涉及积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法运算规则。
（1）解：原式；
（2）．
18．【答案】（1）解：
得，，解得，
把代入得，解得；
；

（2）解：
得，，解得，
把代入得，解得；
．

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点掌握消元法的应用技巧：
（1）采用加减消元法求解该方程组；（2）同样使用加减消元法进行方程组的求解。
（1）解：
得，，解得，
把代入得，解得；
；
（2）得，，解得，
把代入得，解得；
．
19．【答案】解：（1）22；
（2）=（a+1）(a-1)-3a(a-2)=a2-1-3a2+6a=-2a2+6a-1，
∵ a2﹣3a+1=0 ，∴a2﹣3a=-1 ，
∴ 原式=．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】 解：（1） =-2×5-3×4=-10-12=-22， 故答案为-22；
【分析】（1）根据题目给出的计算方法直接进行运算即可；
（2）先按照题目要求对代数式进行整理变形得到，再通过整体代入的方法求出最终结果。
20．【答案】解：（1）如图画出平行线；
（2）如图画出，
．
【知识点】作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【分析】（1）利用网格根据平行线的判定即可作过点M且平行于BC的直线；
（2）根据平移的性质即可画出△ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的．
21．【答案】（1）解：与平行，理由如下：
，，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：，过程如下：
由（1）知，
，
是的角平分线
由（1）知
；
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的定义，掌握相关性质是解题的关键。
（1）由题目条件可知且，因此可以推出。根据角平分线的定义，有，通过等量代换得到，从而得出结论。（2）根据第（1）问的结论，可知。再结合角平分线定义得出，通过等量代换得到，最终完成解答。
（1）解：与平行，理由如下：
，，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：，过程如下：
由（1）知，
，
是的角平分线
由（1）知
；
22．【答案】解：（1）由题意得：，
解得： ，
答：图甲中a与b的值分别为：50、40；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，
依题意得：，
解得：．
答：可以做竖式无盖礼品盒8个，横式无盖礼品盒16个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）根据图示中板材的长度关系，建立关于a、b的二元一次方程组进行求解。
（2）设竖式无盖礼品盒的数量为x个，横式无盖礼品盒的数量为y个。通过分析已知条件和图示，计算出两种裁剪方法产生的A型板材和B型板材的总数量。然后根据竖式和横式礼品盒所需的A、B型板材数量，建立关于x、y的二元一次方程组并求解。
23．【答案】（1）B
（2）解：①∵，∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②原式
．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图1中的阴影部分面积可以表示为两个正方形面积的差，即。当拼成图2时，形成一个长为，宽为的长方形，其面积为。
所以，
故正确答案是：B；
【分析】这道题目考查的是平方差公式的几何意义。
（1）通过比较图1和图2阴影部分的面积表达式来理解公式；
（2）①将方程变形为，然后代入已知条件求解；
②运用平方差公式对原式进行变形计算。
（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故答案为：B；
（2）解：①∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②原式
．
24．【答案】（1）；
（2）解：由（1）得；．∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过E作，如图1，
∴，
∵，∴，∴，
∴，即；
如图2，过F作，
∴，
∵，∴，∴，∴，
即：．
故答案为：；；
（3）解：的大小没发生变化，．由（1）知：，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）过点E作辅助线EHAB，根据平行公理可知EHCD，利用平行线的性质即可求解；类似地，过点F作辅助线FHAB，同样可得FHCD，运用平行线性质求解。
（2）结合（1）的结论和角平分线定义，得到方程，解得，进而完成求解。
（3）根据平行线性质和角平分线定义推导出关系式，最终完成求解过程。
（1）解：过E作，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
如图2，过F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：．
故答案为：；；
（2）解：由（1）得；．
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）解：的大小没发生变化，．
由（1）知：，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A选项：方程-2a=3a+1属于一元一次方程，A错误。
B选项：方程是分式方程，不符合二元一次方程的定义，B错误。
C选项：方程m-n=3a是三元一次方程，不符合题目要求，C错误。
D选项：方程2x-1=y满足二元一次方程的条件（含有两个未知数，且未知数的次数为1），D正确。
故选：D。
【分析】本题考查二元一次方程的判断标准：必须同时满足(1)含有两个未知数，(2)未知数的最高次数为1，(3)整式方程这三个条件。
2．如图，点P与直线l上的四个点A、B、C、D的所有连线中，最短的线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵垂线段最短，
∴点P与直线l上的四个点A、B、C、D的所有连线中，最短的线段是，
故答案为：B．
【分析】利用垂线段最短的性质分析求解即可.
3．某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可求解.
4．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意；
B、和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意；
C、和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意；
D、和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断A、B选项；由同位角相等，两直线平行可判断C选项；由同旁内角互补，两直线平行可判断D选项.
5．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不正确，不符合题意；
B、，故此选项不正确，不符合题意；
C、，故此选项不正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
6． 由方程组，可得x与y的关系是（　　）
A．2x+y=4 B．2x+y=-4 C．2x-y=4 D．2x-y=-4
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 方程组，
把②代入①得：2x+y-3=1，
∴2x+y=4.
故答案为：A.
【分析】把②代入①中消去m即可求解.
7．一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题知，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由学具性质及平角可求出∠3=62°，然后根据二直线平行，同位角相等得出∠2的度数.
8．已知，那么的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x2+x=1，
∴x3+2x2+2023=x(x2+x)+x2+2023=x+x2+2023=1+2023=2024.
故答案为：2024.
【分析】待求式可变形为x(x2+x)+x2+2023，然后将已知条件代入进行计算.
9．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个长方形的长为，宽为，由题意，
得，
解得：，
．
故答案为：A．
【分析】设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，由图1可得三个小长方形的长等于5个小长方形的宽，由图2可得两个小长方形的宽与小长方形的长之差等于中间阴影小正方形的边长，据此列出方程组，求解得出x、y的值，进而再根据长方形面积公式计算出小长方形的面积即可.
10．如图，则与的数量关系是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，设，得到，由，求得，，得到，即可求解.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： =　 　.
【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
12．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　 　度．
【答案】120
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°．
故答案为：120.
【分析】由内错角相等，两直线平行得出AB∥CD，再由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC的度数.
13．如图，将三角形沿水平方向向左平移到三角形的位置．已知点A，之间的距离为，，则的长是　 　．
【答案】6
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
三角形沿水平方向向右平移到三角形，
，
．
故答案为：6．
【解析】根据平移的性质可知，线段BE、CF和AD的长度相等，即。因此，可直接进行运算即可得到结果。
14．若方程组 的解满足 ，则a=　 　.
【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
将①+②，得：
故答案为： .
【分析】将两式相加表示出 ，再将 代入即可得出答案.
15．已知 ，则 　 　
【答案】16
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵a+3b-2=0，
∴a+3b=2.
∴2a+6b=4.
∴4a×82b=（22）a×（23）2b=22a×26b=22a+6b=24=16.
【分析】先将a+3b-2=0变形为2a+6b=4，再把4a×82b变形为底数为2的同底数幂相乘的形式，可得22a+6b，最后将2a+6b=4的值代入计算即可.
16．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为，
∴由图知，，
∴
，
，
=2d+2a+2c，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案：．
【分析】设大长方形的宽为d，由图2可得d=b-c+a，利用平移思想及长方形周长公式表示出l1与l2，利用割补法及正方形与长方形面积计算公式分别表示出S1与S2，然后利用整式加减法求出l1-l2与S2-S1，整体代入可求出b=3c，从而即可求出b与c的比值.
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂、负整数指数幂以及幂的运算性质，解题时需要熟练掌握相关运算规则：（1）计算时需运用零指数幂和负整数指数幂的运算规则；（2）解题过程涉及积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法运算规则。
（1）解：原式；
（2）．
18．解方程组：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
得，，解得，
把代入得，解得；
；

（2）解：
得，，解得，
把代入得，解得；
．

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点掌握消元法的应用技巧：
（1）采用加减消元法求解该方程组；（2）同样使用加减消元法进行方程组的求解。
（1）解：
得，，解得，
把代入得，解得；
；
（2）得，，解得，
把代入得，解得；
．
19．对于任何实数，我们规定符号=ad﹣bc，例如： =1×4﹣2×3=﹣2，
（1）按照这个规律请你计算= ；
（2）按照这个规定请你计算，当a2﹣3a+1=0时，求的值．
【答案】解：（1）22；
（2）=（a+1）(a-1)-3a(a-2)=a2-1-3a2+6a=-2a2+6a-1，
∵ a2﹣3a+1=0 ，∴a2﹣3a=-1 ，
∴ 原式=．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】 解：（1） =-2×5-3×4=-10-12=-22， 故答案为-22；
【分析】（1）根据题目给出的计算方法直接进行运算即可；
（2）先按照题目要求对代数式进行整理变形得到，再通过整体代入的方法求出最终结果。
20．如图，点M是△ABC外的一点，请你在网格内完成作图：
（1）作过点M且平行于BC的直线．
（2）画出△ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的．
【答案】解：（1）如图画出平行线；
（2）如图画出，
．
【知识点】作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【分析】（1）利用网格根据平行线的判定即可作过点M且平行于BC的直线；
（2）根据平移的性质即可画出△ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的．
21．如图，是的角平分线，．
（1）请判断与是否平行，并说明理由．
（2）若是的角平分线，请探索与的数量关系．
【答案】（1）解：与平行，理由如下：
，，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：，过程如下：
由（1）知，
，
是的角平分线
由（1）知
；
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的定义，掌握相关性质是解题的关键。
（1）由题目条件可知且，因此可以推出。根据角平分线的定义，有，通过等量代换得到，从而得出结论。（2）根据第（1）问的结论，可知。再结合角平分线定义得出，通过等量代换得到，最终完成解答。
（1）解：与平行，理由如下：
，，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：，过程如下：
由（1）知，
，
是的角平分线
由（1）知
；
22．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】解：（1）由题意得：，
解得： ，
答：图甲中a与b的值分别为：50、40；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，
依题意得：，
解得：．
答：可以做竖式无盖礼品盒8个，横式无盖礼品盒16个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）根据图示中板材的长度关系，建立关于a、b的二元一次方程组进行求解。
（2）设竖式无盖礼品盒的数量为x个，横式无盖礼品盒的数量为y个。通过分析已知条件和图示，计算出两种裁剪方法产生的A型板材和B型板材的总数量。然后根据竖式和横式礼品盒所需的A、B型板材数量，建立关于x、y的二元一次方程组并求解。
23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
（1）上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A．
B．
C．
（2）应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【答案】（1）B
（2）解：①∵，∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②原式
．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图1中的阴影部分面积可以表示为两个正方形面积的差，即。当拼成图2时，形成一个长为，宽为的长方形，其面积为。
所以，
故正确答案是：B；
【分析】这道题目考查的是平方差公式的几何意义。
（1）通过比较图1和图2阴影部分的面积表达式来理解公式；
（2）①将方程变形为，然后代入已知条件求解；
②运用平方差公式对原式进行变形计算。
（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故答案为：B；
（2）解：①∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②原式
．
24．已知，，点M在上，点N在上．
（1）如图1中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
如图2中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）
（2）如图3中，平分，平分，且，求的度数．
（3）如图4中，，，，（k是常数），且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，直接写出的度数______．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）得；．∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过E作，如图1，
∴，
∵，∴，∴，
∴，即；
如图2，过F作，
∴，
∵，∴，∴，∴，
即：．
故答案为：；；
（3）解：的大小没发生变化，．由（1）知：，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）过点E作辅助线EHAB，根据平行公理可知EHCD，利用平行线的性质即可求解；类似地，过点F作辅助线FHAB，同样可得FHCD，运用平行线性质求解。
（2）结合（1）的结论和角平分线定义，得到方程，解得，进而完成求解。
（3）根据平行线性质和角平分线定义推导出关系式，最终完成求解过程。
（1）解：过E作，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
如图2，过F作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：．
故答案为：；；
（2）解：由（1）得；．
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）解：的大小没发生变化，．
由（1）知：，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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