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教版八年级下册
第五章 特殊平行四边形
5.3 正方形（2）
正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
=正方形的性质
菱形性质
矩形性质
正方形的性质：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形（有4条对称轴）
A
B
C
D
温故知新：
性 质 边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言 符号语言
A
C
D
B
A
C
D
\
B
\
\
\
A
C
D
B
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行，
四条边都相等
四个角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
在正方形ABCD中AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
在正方形ABCD中∠A=∠B=∠C=∠D=90°
在正方形ABCD中AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
1.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
图中有多少个等腰直角三角形？
解：共有 8 个等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
450
450
450
450
450
450
450
450
900
900
900
900
学以致用;
2.已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF. 求证：AG=EF.
证明：连结CG.
在△AGD和△CGD中，
∠ADG=∠CDG，AD=CD，DG=DG，
∴△AGD≌△CGD，
∴AG=CG.
又∵ GE⊥CD，GF⊥BC,
∴∠GFC=∠GEC=90°=∠BCD,
∴四边形FCEG是矩形,
∴EF=GC,
∴ AG=EF.
方法二：
在正方形ABCD中，
由正方形的轴对称性
可得AG=CG,
……
方法三：
延长FG交AD于点H，
然后DE=GE=GH=DH=FC,
再由AD－DH=DC－DE，得到AH=CE，
接着证明△AGH≌△EFC即可.
夯实基础，稳扎稳打
1：正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
D
正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
B
A.四个角相等 B.对角线互相垂直
C.对角互补 D.对角线相等
2.如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA.求∠CAE的度数.
解：在正方形ABCD中，
∠ACB= ∠BCD=45°
∵AC=CE
∴∠CAE=∠E= ∠ACB=22.5°
3.在正方形ABCD中，M是正方形内的一点，且MC=MD=AD,
求∠BAM的度数？
∠BAM=150
4.如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点，若BE=10，求CE的长.
解：在正方形ABCD中，
∠A=∠D=90°
AB=AD=CD=8
∴AE= =6
∴DE=8-6=2
∴CE= =2
5.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，
且DE=DF ,BM⊥EF于点M.求证：ME=MF
A
B
C
D
E
F
M
证明：
连接BE、BF
在正方形ABCD中
AD=CD
∵DE=DF
∴AE=CF
在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴BE＝BF；
∵BM⊥EF
∴ME＝MF
连续递推，豁然开朗：
6.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF.
求证：AE=BF
A
B
C
D
E
F
证明：
在正方形ABCD中
AB=BC,∠ABC=∠C=900
∵AE⊥BF
∴∠1+∠2=900
1
2
3
∵∠2+∠3=900
∴∠1=∠3
在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；
.
变式1.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、DA上的点，GE⊥BF.
求证：GE=BF
证明：
易知GH=AB=BC,∠GHC=∠C=900
∵AE⊥BF
∴∠1+∠2=900
1
2
3
∵∠2+∠3=900
∴∠1=∠3
A
B
C
D
H
过点G作GH⊥BC,垂足为H
在△GHE和△BCF中，∴△GHE≌△BCF(ASA)，∴GE＝BF；
.
E
F
G
变式2.已知：如图，在正方形ABCD中，
E、F、G、H分别是BC、CD、DA、AB上的点， GE⊥HF
求证：GE=BF
A
B
C
D
1
2
3
M
E
F
G
H
N
正方形中的“十字架”模型
位置关系：垂直
数量关系：相等
变式3.已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF
求证：AE⊥BF.
A
B
C
D
E
F
证明：
在正方形ABCD中
AB=BC,∠ABC=∠C=900
∵AE⊥BF
∴∠1+∠2=900
∵∠2+∠3=900
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴∠1=∠3
1
2
3
谢谢
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