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2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（一）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：整卷加权平均难度为0.62（计算过程：0.85×5+0.75×5+0.75×5+0.70×5+0.70×5+0.65×5+0.60×5+0.45×5+0.60×6+0.55×6+0.45×6+0.70×5+0.60×5+0.45×5+0.65×13+0.55×15+0.55×15+0.45×17+0.40×17 = 92.95 ÷ 150 ≈ 0.62）.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·浙江湖州、丽水、衢州·二模） 已知集合 ， ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】 集合 ， ，则 ，A错误； ，B正确； 不包含于 （因为 但 ），C错误； 不包含于 （因为 但 ），D错误.
【易错警示】 常见错误是混淆并集与交集符号，或者误判子集关系.防错方法：明确并集“”取所有元素，交集“”取公共元素；子集要求前者的所有元素都在后者中.
【规律总结】 通法：列举法表示集合时，直接观察元素间的关系进行判断.
2.（2026·浙江杭州·二模） 若 （i为虚数单位），则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】 ， .
【易错警示】 常见错误是忘记乘以共轭复数或计算模长时误用实部与虚部.防错方法：复数除法规则“分子分母同乘分母的共轭复数”要牢记；模长公式 .
【规律总结】 通法：复数除法先进行分母实数化，再求模.
3.（2026·浙江嘉兴·二模） 已知向量 ， ，若 ，则 （ 　　）
A. -3
B.
C. 3
D. 2
【答案】A
【详解】 向量平行（共线）的坐标表示： .由 得 ，解得 .
【易错警示】 常见错误是记错公式，例如误记为 .防错方法：向量平行的等价条件为对应坐标成比例，即 ，交叉相乘即得 .
【规律总结】 通法：利用向量平行的坐标公式直接建立方程求解.
4.（2026·浙江宁波·模拟） 已知 ，则“ ”是“ ”的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 充分性：若 ，由基本不等式 ，成立.必要性：若 ，取 ，则 ，不成立.故为充分不必要条件.
【易错警示】 常见错误是认为“和定积最大、积定和最小”能直接互推，忽略了等号条件和反向的不确定性.防错方法：证明充分性可用基本不等式，证伪必要性只需一个反例.
【规律总结】 通法：判断 与 是否成立.涉及不等式的充分必要性常需构造反例.
5.（2026·浙江台州·二模） 已知一个圆锥的底面半径为 ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ 　　）
A. 体积为
B. 表面积为
C. 两条母线的夹角的最大值为
D. 过顶点的截面面积的最大值为2
【答案】D
【详解】 圆锥体积 ，A错.母线长 ，表面积 ，B错.轴截面顶角 满足 ， ， ，故两母线夹角最大为 ，C错.过顶点的截面面积为 ，当 时取最大值2，D正确.
【易错警示】 常见错误是误将轴截面顶角当作最大夹角，或忘记截面面积公式中正弦函数的最大值.防错方法：牢记圆锥侧面积和体积公式；明确过顶点的截面是等腰三角形，面积为 ，最大值为 .
【规律总结】 通法：逐步计算圆锥的几何量，逐一验证选项.
6.（2026·浙江绍兴·二模） 有一组不全相等的样本数据 的平均数为 ，由这组数据得到新样本数据 ，则两组样本数据的以下统计量一定不同的是（ 　　）
A. 平均数
B. 方差
C. 众数
D. 中位数
【答案】B
【详解】 原数据平均数为 ，新数据加入一个等于平均数的值，平均数不变，A可能相同.原数据不全相等，方差必大于零；新数据加入平均数后，波动性减小，方差一定改变，B一定不同.众数和中位数可能相同也可能不同，C、D不一定不同.
【易错警示】 常见错误是认为加入平均数后所有统计量都不变.防错方法：理解方差衡量数据离散程度，加入平均数会使得数据更集中，方差变小.
【规律总结】 通法：分析数据变化对统计量的影响，方差对异常值和数据分布敏感.
7.（2026·浙江宁波·模拟） 在钝角 中， ，则 的面积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】 由余弦定理 ，代入 得 ，解得 或 .若 ，则最大边为 ， ，角 为钝角，符合题意.若 ， ，不符合钝角三角形.故 .面积 .
【易错警示】 常见错误是解出 的两个值后不检验是否满足钝角条件，导致错选.防错方法：解三角形时，求出边长后务必结合已知条件（如钝角、锐角等）进行取舍.
【规律总结】 通法：先利用余弦定理求出未知边，再利用三角形面积公式求解，注意多解检验.
8.（2026·安徽华师联盟·质检） 设椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点，过 的直线与 交于 两点，若 ，则 的离心率为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】
解法一（几何法）：
由 ，且两个三角形同高（底边上的高相同），故底边 .已知 ，所以 .设 ， ，由椭圆对称性知 关于原点不对称，但 为 中点.由焦点弦性质，结合面积关系，利用直线与椭圆方程联立，可得离心率.具体推导：设直线 方程为 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式和面积关系，最终解得 .详细过程略（参照原文档）.
解法二（代数法）：
设直线 的倾斜角为 ，由椭圆极坐标方程 ， ，则 .又 ， ，结合面积比可得 等信息，代入椭圆定义解得 .
对比： 几何法直观但计算量稍大，代数法借助极坐标方程更简洁，但对极坐标熟练度要求高.
【易错警示】 常见错误是混淆面积比与边长比，或在使用椭圆第二定义时弄错焦点弦公式.防错方法：仔细画图，明确两个三角形的高相同，面积比等于底边比.
【规律总结】 通法：涉及焦点弦和面积的问题，常结合椭圆定义、余弦定理或极坐标方程求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·浙江杭州·二模） 在 中， ，则（ 　　）
A.
B. 的面积为6
C.
D.
【答案】BC
【详解】
A：由 ，且 ，得 ，A错误.
B：由余弦定理 ，即 ，解得 .验证 ，故 .面积 ，B正确.
C： ，C正确.
D： ，D错误.
【易错警示】 常见错误是计算向量数量积时忽略夹角方向，误用 而忘记补角.防错方法：向量夹角必须起点重合， 与 夹角为 .
【规律总结】 通法：解三角形结合向量运算，先利用余弦定理确定三角形形状，再计算向量模和数量积.
10.（2026·浙江台州·二模） 已知函数 ，则（ 　　）
A. 的最小正周期为
B.
C. 的值域为
D. 是 图象的一个对称中心
【答案】BC
【详解】
A：最小正周期 ，A正确，但题目要求多选，需继续判断.
B： ， ，B正确.
C： ，故 ，C正确.
D：当 时， ， ，但对称中心应在“零点”处，即 值为0的点，故 不是对称中心，D错误.
【易错警示】 常见错误是混淆正弦函数的对称轴和对称中心.防错方法：对于 ，对称中心满足 ，此时函数值为 .
【规律总结】 通法：根据正弦型函数的解析式直接计算周期、函数值、值域，并代入检验对称性.
11.（2026·八省八校T8联考·湖北版） 已知三个不同的实数 满足 ，且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D. 的最小值是
【答案】ABC
【详解】
A： ，A正确.
B、C：由 ， .因 为不同实数， ，整理得 ，解得 .同理 .又 ，结合 ，可推出 .故 ，B正确.由 解得 ，C正确.
D： ，代入得关于 的二次函数 ，开口向上，对称轴 在区间 内，最小值为 ，D错误.
【一题多解】
解法一（代数恒等变形）：利用韦达定理将多元问题转化为单变量函数，通过判别式和不等式求范围.如上.
解法二（构造方程）：将 视为方程 的两根，由判别式大于0及根的大小关系得不等式.两种方法本质相同.
对比：解法一更具一般性，解法二更直观地利用二次方程根的分布.
【易错警示】 常见错误是在求最值时忽略定义域限制，或在进行不等价变形时丢失条件.防错方法：多元问题消元后务必明确新变量的取值范围.
【规律总结】 通法：对于多个变量满足对称等式的题目，常用韦达定理或整体代换转化为单变量函数问题.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·浙江绍兴·二模） 在 的展开式中，含 的项的系数是 .
【答案】21
【详解】 二项式 展开式的通项为 .令 ，得 .含 的项的系数为 .
【易错警示】 常见错误是混淆二项式系数与项的系数，或求错 的值.防错方法：明确求的是“项的系数”，直接使用通项公式.
【规律总结】 通法：利用二项展开式的通项公式 求指定项的系数.
13.（2026·浙江宁波·模拟） 若 ，则 .
【答案】-2
【详解】 .解得 ，即 ，整理得 ， .
【易错警示】 常见错误是两角差的正切公式记错符号.防错方法：牢记 ，分子同号，分母异号.
【规律总结】 通法：直接应用两角差的正切公式建立方程求解.
14.（2026·安徽华师联盟·质检） 如图，点 均在球 的表面上， ， ，平面 平面 ，则球 的体积为 .
【答案】
【详解】
解法一（几何法）：
由 ， ， ，可计算得 ， 为等腰直角三角形， .又平面 平面 ，可证 垂直于平面 ，进而确定球心位置.设外接球半径为 ，通过构造直角三角形，利用勾股定理求得 ，体积 .详细过程参照原文档.
解法二（向量法）：
建立空间直角坐标系，利用球心到四点距离相等列方程组求球心坐标和半径.同样可得 .
对比： 几何法需要较强的空间想象能力，向量法计算稍繁但思路直接.
【易错警示】 常见错误是不能准确找出球心位置，或在外接球半径计算中混淆线段关系.防错方法：对于有垂直关系的棱锥，常通过补形为长方体或找截面圆来确定球心.
【规律总结】 通法：求外接球体积先确定球心位置和半径.涉及面面垂直时，常利用截面圆性质和球心到截面距离公式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·福建宁德·适应性练习）（13分）
在 中， ， .
（1）若 ，求 的面积；
（2）点 在边 上， ， 为 中点，且 ，求角 的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1）设 ，由余弦定理 ，即 ，得 ，解得 （舍负）.面积 .
（2）由 ， 为 中点，得 .在 中， .在 中，由正弦定理 . ，代入得 .利用 和三角恒等式化简得 ，又 ，故 .
【易错警示】 常见错误是在第（2）问中误用正弦定理或不会化简三角方程.防错方法：第（2）问关键在于用 表示各边和角，并利用 约简.
【规律总结】 通法：第（1）问已知两边一对角，可用余弦定理求第三边；第（2）问涉及几何关系，常结合正弦定理、三角恒等变换建立方程求解.
16.（2026·广东湛江·二模）（15分）
如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，且 ，三角形 是正三角形，平面 平面 .点 在平面 上的投影为 与 的交点 ，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【详解】
（1）由四边形 为菱形，得 .又 平面 ，故 . ，所以 平面 .
（2）以 为原点建立空间直角坐标系，由条件得各点坐标.求出平面 的法向量 ，利用 求得线面角正弦值为 .
（3）点 到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离（因 ）.利用等体积法或向量法求得距离为 .
【易错警示】 常见错误是建立坐标系时点的坐标写错，或求法向量时计算出错.防错方法：仔细标出各点坐标，可借助几何关系验证.
【规律总结】 通法：证明线面垂直找线线垂直；计算线面角和点面距通常采用空间向量法，计算准确是关键.
17.（2026·广东湛江·二模）（15分）
某校举办“数学文化节”，设有 个不同主题的展区（ ），每个展区有唯一的主题编号，分别为1,2,…,n.游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章.记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 .
（1）当 时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；
（2）当 时，求参观者获得纪念章枚数 的分布列和数学期望；
（3）设 为 个展区时参观者获得纪念章枚数 的期望值，求 关于 的表达式，并证明 是递增数列.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，期望为2；（3） （ 为偶数）或 （ 为奇数），证明见解析.
【详解】
（1） 时，编号1,2,3.奇偶排列共6种，其中仅获得1枚纪念章（即恰好一次相邻和为奇数）的有4种，概率 .
（2） 时， 可取1,2,3.枚举所有奇偶排列模式计算概率，得分布列： ，期望 .
（3）由期望线性， .每对相邻位置一奇一偶的概率为 ，其中 为奇数个数.分 为偶数和奇数讨论，可得 或 .作差易证数列递增.
【易错警示】 常见错误是在计算相邻和为奇数的概率时没有考虑顺序，或期望计算遗漏.防错方法：使用期望的线性性质，将复杂事件拆解为多个简单事件的和.
【规律总结】 通法：对于随机排列的期望问题，常转化为两两位置上的期望之和，利用对称性简化计算.
18.（2026·湖南长沙·模拟）（17分）
已知圆 和抛物线 ， 为 的焦点.点 是抛物线 上的动点，当 时， .过动点 作圆 的两条切线，切点分别为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）当 时，求 的最小值；
（3）设直线 分别交 于另两点 ，是否存在实数 ，使得当点 在 上运动时，直线 总与圆 相切？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， .
【详解】
（1）由抛物线定义， .当 时，代入 得 ，则 ，解得 .故抛物线方程为 .
（2） 时，圆 .由几何关系得 .设 ，则 .利用二次函数性质求得 的最小值为12，故 的最小值为 .
（3）假设存在 .当 为原点时，可解得 .再证当 时，对于任意点 ，直线 总与圆 相切.设 ，写出切线 的方程，利用相切条件得到关于 坐标的二次方程，结合韦达定理求出圆心 到直线 的距离，发现恒等于半径2，从而得证.
【一题多解】
解法二（同构法）：由切点弦方程直接写出直线 的方程，利用同构思想简化计算.
对比：解法一思路自然，但计算量较大；解法二技巧性强，计算更简洁.
【易错警示】 常见错误是在第（3）问中不能由特殊到一般地猜想 的值，或证明一般情况时计算失误.防错方法：先取特殊位置（如原点）求出 ，再进行严格证明.
【规律总结】 通法：涉及抛物线的切线和定点定值问题，常利用导数求切线斜率，结合韦达定理处理交点.存在性问题一般先假设存在求出参数，再证明其充分性.
19.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）（17分）
已知函数 .
（1）当 时，证明 有唯一极值点；
（2）讨论 的零点个数；
（3）若存在 ，当 时，总有 ，求符合条件的 的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当 时有唯一零点；当 时有两个零点；当 时无零点；（3） 的最小值为 .
【详解】
（1）求导得 .设 ，再求导 .分区间讨论 的符号，利用零点存在定理证明 有唯一变号零点，故 有唯一极值点.
（2）由（1）得 的单调性，进而得 的单调区间和最值.结合端点值和极值符号，对 分类讨论，得出零点个数.
（3）当 时，条件 等价于 且 .利用导数分析不等式恒成立，可得 .结合 的任意性，知 为最小值.
【一题多解】
解法二（必要性探路）：在不等式 中令 ，利用洛必达法则或极限思想求得 的必要范围，再证明充分性.
对比：解法一严谨完整，解法二快速锁定范围，适合小题或检验，但解答题需补全充分性证明.
【易错警示】 常见错误是在讨论零点时忽略定义域端点，或在使用极限时推理不严谨.防错方法：严格按导数讨论函数单调性的流程进行，对参数分类要做到不重不漏.
【规律总结】 通法：含参函数零点问题，通常先求导分析函数单调性和极值，再根据极值符号和端点趋势分类讨论.恒成立求参问题，常采用分离参数或构造函数最值的方法.
第 2 页，共 17 页中小学教育资源及组卷应用平台
2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（一）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：整卷加权平均难度为0.62（计算过程：0.85×5+0.75×5+0.75×5+0.70×5+0.70×5+0.65×5+0.60×5+0.45×5+0.60×6+0.55×6+0.45×6+0.70×5+0.60×5+0.45×5+0.65×13+0.55×15+0.55×15+0.45×17+0.40×17 = 92.95 ÷ 150 ≈ 0.62）.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·浙江湖州、丽水、衢州·二模） 已知集合 ， ，则（ 　　）
A. B.
C. D.
2.（2026·浙江杭州·二模） 若 （i为虚数单位），则 （ 　　）
A. B.
C. D.
3.（2026·浙江嘉兴·二模） 已知向量 ， ，若 ，则 （ 　　）
A. -3 B.
C. D. 2
4.（2026·浙江宁波·模拟） 已知 ，则“ ”是“ ”的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.（2026·浙江台州·二模） 已知一个圆锥的底面半径为 ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ 　　）
A. 体积为
B. 表面积为
C. 两条母线的夹角的最大值为
D. 过顶点的截面面积的最大值为2
6.（2026·浙江绍兴·二模） 有一组不全相等的样本数据 的平均数为 ，由这组数据得到新样本数据 ，则两组样本数据的以下统计量一定不同的是（ 　　）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
7.（2026·浙江宁波·模拟） 在钝角 中， ，则 的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·安徽华师联盟·质检） 设椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点，过 的直线与 交于 两点，若 ，则 的离心率为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·浙江杭州·二模） 在 中， ，则（ 　　）
A.
B. 的面积为6
C.
D.
10.（2026·浙江台州·二模） 已知函数 ，则（ 　　）
A. 的最小正周期为
B.
C. 的值域为
D. 是 图象的一个对称中心
11.（2026·八省八校T8联考·湖北版） 已知三个不同的实数 满足 ，且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D. 的最小值是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·浙江绍兴·二模） 在 的展开式中，含 的项的系数是 .
13.（2026·浙江宁波·模拟） 若 ，则 .
14.（2026·安徽华师联盟·质检） 如图，点 均在球 的表面上， ， ，平面 平面 ，则球 的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·福建宁德·适应性练习）（13分）
在 中， ， .
（1）若 ，求 的面积；
（2）点 在边 上， ， 为 中点，且 ，求角 的大小.
16.（2026·广东湛江·二模）（15分）
如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，且 ，三角形 是正三角形，平面 平面 .点 在平面 上的投影为 与 的交点 ，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
17.（2026·广东湛江·二模）（15分）
某校举办“数学文化节”，设有 个不同主题的展区（ ），每个展区有唯一的主题编号，分别为1,2,…,n.游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章.记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 .
（1）当 时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；
（2）当 时，求参观者获得纪念章枚数 的分布列和数学期望；
（3）设 为 个展区时参观者获得纪念章枚数 的期望值，求 关于 的表达式，并证明 是递增数列.
18.（2026·湖南长沙·模拟）（17分）
已知圆 和抛物线 ， 为 的焦点.点 是抛物线 上的动点，当 时， .过动点 作圆 的两条切线，切点分别为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）当 时，求 的最小值；
（3）设直线 分别交 于另两点 ，是否存在实数 ，使得当点 在 上运动时，直线 总与圆 相切？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
19.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）（17分）
已知函数 .
（1）当 时，证明 有唯一极值点；
（2）讨论 的零点个数；
（3）若存在 ，当 时，总有 ，求符合条件的 的最小值.
答案解析
一、单项选择题
1.
答案速览：B
详解：集合 ， ，则 ，A错误； ，B正确； 不包含于 （因为 但 ），C错误； 不包含于 （因为 但 ），D错误.
易错警示：常见错误是混淆并集与交集符号，或者误判子集关系.防错方法：明确并集“”取所有元素，交集“”取公共元素；子集要求前者的所有元素都在后者中.
规律总结：通法：列举法表示集合时，直接观察元素间的关系进行判断.
2.
答案速览：C
详解： ， .
易错警示：常见错误是忘记乘以共轭复数或计算模长时误用实部与虚部.防错方法：复数除法规则“分子分母同乘分母的共轭复数”要牢记；模长公式 .
规律总结：通法：复数除法先进行分母实数化，再求模.
3.
答案速览：A
详解：向量平行（共线）的坐标表示： .由 得 ，解得 .
易错警示：常见错误是记错公式，例如误记为 .防错方法：向量平行的等价条件为对应坐标成比例，即 ，交叉相乘即得 .
规律总结：通法：利用向量平行的坐标公式直接建立方程求解.
4.
答案速览：A
详解：充分性：若 ，由基本不等式 ，成立.必要性：若 ，取 ，则 ，不成立.故为充分不必要条件.
易错警示：常见错误是认为“和定积最大、积定和最小”能直接互推，忽略了等号条件和反向的不确定性.防错方法：证明充分性可用基本不等式，证伪必要性只需一个反例.
规律总结：通法：判断 与 是否成立.涉及不等式的充分必要性常需构造反例.
5.
答案速览：D
详解：圆锥体积 ，A错.母线长 ，表面积 ，B错.轴截面顶角 满足 ， ， ，故两母线夹角最大为 ，C错.过顶点的截面面积为 ，当 时取最大值2，D正确.
易错警示：常见错误是误将轴截面顶角当作最大夹角，或忘记截面面积公式中正弦函数的最大值.防错方法：牢记圆锥侧面积和体积公式；明确过顶点的截面是等腰三角形，面积为 ，最大值为 .
规律总结：通法：逐步计算圆锥的几何量，逐一验证选项.
6.
答案速览：B
详解：原数据平均数为 ，新数据加入一个等于平均数的值，平均数不变，A可能相同.原数据不全相等，方差必大于零；新数据加入平均数后，波动性减小，方差一定改变，B一定不同.众数和中位数可能相同也可能不同，C、D不一定不同.
易错警示：常见错误是认为加入平均数后所有统计量都不变.防错方法：理解方差衡量数据离散程度，加入平均数会使得数据更集中，方差变小.
规律总结：通法：分析数据变化对统计量的影响，方差对异常值和数据分布敏感.
7.
答案速览：B
详解：由余弦定理 ，代入 得 ，解得 或 .若 ，则最大边为 ， ，角 为钝角，符合题意.若 ， ，不符合钝角三角形.故 .面积 .
易错警示：常见错误是解出 的两个值后不检验是否满足钝角条件，导致错选.防错方法：解三角形时，求出边长后务必结合已知条件（如钝角、锐角等）进行取舍.
规律总结：通法：先利用余弦定理求出未知边，再利用三角形面积公式求解，注意多解检验.
8.
答案速览：B
详解：
解法一（几何法）：
由 ，且两个三角形同高（底边上的高相同），故底边 .已知 ，所以 .设 ， ，由椭圆对称性知 关于原点不对称，但 为 中点.由焦点弦性质，结合面积关系，利用直线与椭圆方程联立，可得离心率.具体推导：设直线 方程为 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式和面积关系，最终解得 .详细过程略（参照原文档）.
解法二（代数法）：
设直线 的倾斜角为 ，由椭圆极坐标方程 ， ，则 .又 ， ，结合面积比可得 等信息，代入椭圆定义解得 .
对比：几何法直观但计算量稍大，代数法借助极坐标方程更简洁，但对极坐标熟练度要求高.
易错警示：常见错误是混淆面积比与边长比，或在使用椭圆第二定义时弄错焦点弦公式.防错方法：仔细画图，明确两个三角形的高相同，面积比等于底边比.
规律总结：通法：涉及焦点弦和面积的问题，常结合椭圆定义、余弦定理或极坐标方程求解.
二、多项选择题
9.
答案速览：BC
详解：
A：由 ，且 ，得 ，A错误.
B：由余弦定理 ，即 ，解得 .验证 ，故 .面积 ，B正确.
C： ，C正确.
D： ，D错误.
易错警示：常见错误是计算向量数量积时忽略夹角方向，误用 而忘记补角.防错方法：向量夹角必须起点重合， 与 夹角为 .
规律总结：通法：解三角形结合向量运算，先利用余弦定理确定三角形形状，再计算向量模和数量积.
10.
答案速览：BC
详解：
A：最小正周期 ，A正确，但题目要求多选，需继续判断.
B： ， ，B正确.
C： ，故 ，C正确.
D：当 时， ， ，但对称中心应在“零点”处，即 值为0的点，故 不是对称中心，D错误.
易错警示：常见错误是混淆正弦函数的对称轴和对称中心.防错方法：对于 ，对称中心满足 ，此时函数值为 .
规律总结：通法：根据正弦型函数的解析式直接计算周期、函数值、值域，并代入检验对称性.
11.
答案速览：ABC
详解：
A： ，A正确.
B、C：由 ， .因 为不同实数， ，整理得 ，解得 .同理 .又 ，结合 ，可推出 .故 ，B正确.由 解得 ，C正确.
D： ，代入得关于 的二次函数 ，开口向上，对称轴 在区间 内，最小值为 ，D错误.
解法一（代数恒等变形）：利用韦达定理将多元问题转化为单变量函数，通过判别式和不等式求范围.如上.
解法二（构造方程）：将 视为方程 的两根，由判别式大于0及根的大小关系得不等式.两种方法本质相同.
对比：解法一更具一般性，解法二更直观地利用二次方程根的分布.
易错警示：常见错误是在求最值时忽略定义域限制，或在进行不等价变形时丢失条件.防错方法：多元问题消元后务必明确新变量的取值范围.
规律总结：通法：对于多个变量满足对称等式的题目，常用韦达定理或整体代换转化为单变量函数问题.
三、填空题
12.
答案速览：21
详解：二项式 展开式的通项为 .令 ，得 .含 的项的系数为 .
易错警示：常见错误是混淆二项式系数与项的系数，或求错 的值.防错方法：明确求的是“项的系数”，直接使用通项公式.
规律总结：通法：利用二项展开式的通项公式 求指定项的系数.
13.
答案速览：-2
详解： .解得 ，即 ，整理得 ， .
易错警示：常见错误是两角差的正切公式记错符号.防错方法：牢记 ，分子同号，分母异号.
规律总结：通法：直接应用两角差的正切公式建立方程求解.
14.
答案速览：
详解：
解法一（几何法）：
由 ， ， ，可计算得 ， 为等腰直角三角形， .又平面 平面 ，可证 垂直于平面 ，进而确定球心位置.设外接球半径为 ，通过构造直角三角形，利用勾股定理求得 ，体积 .详细过程参照原文档.
解法二（向量法）：
建立空间直角坐标系，利用球心到四点距离相等列方程组求球心坐标和半径.同样可得 .
对比：几何法需要较强的空间想象能力，向量法计算稍繁但思路直接.
易错警示：常见错误是不能准确找出球心位置，或在外接球半径计算中混淆线段关系.防错方法：对于有垂直关系的棱锥，常通过补形为长方体或找截面圆来确定球心.
规律总结：通法：求外接球体积先确定球心位置和半径.涉及面面垂直时，常利用截面圆性质和球心到截面距离公式.
四、解答题
15.
答案速览：（1） ；（2） .
详解：
（1）设 ，由余弦定理 ，即 ，得 ，解得 （舍负）.面积 .
（2）由 ， 为 中点，得 .在 中， .在 中，由正弦定理 . ，代入得 .利用 和三角恒等式化简得 ，又 ，故 .
易错警示：常见错误是在第（2）问中误用正弦定理或不会化简三角方程.防错方法：第（2）问关键在于用 表示各边和角，并利用 约简.
规律总结：通法：第（1）问已知两边一对角，可用余弦定理求第三边；第（2）问涉及几何关系，常结合正弦定理、三角恒等变换建立方程求解.
16.
答案速览：（1）证明见解析；（2） ；（3） .
详解：
（1）由四边形 为菱形，得 .又 平面 ，故 . ，所以 平面 .
（2）以 为原点建立空间直角坐标系，由条件得各点坐标.求出平面 的法向量 ，利用 求得线面角正弦值为 .
（3）点 到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离（因 ）.利用等体积法或向量法求得距离为 .
易错警示：常见错误是建立坐标系时点的坐标写错，或求法向量时计算出错.防错方法：仔细标出各点坐标，可借助几何关系验证.
规律总结：通法：证明线面垂直找线线垂直；计算线面角和点面距通常采用空间向量法，计算准确是关键.
17.
答案速览：（1） ；（2）分布列见解析，期望为2；（3） （ 为偶数）或 （ 为奇数），证明见解析.
详解：
（1） 时，编号1,2,3.奇偶排列共6种，其中仅获得1枚纪念章（即恰好一次相邻和为奇数）的有4种，概率 .
（2） 时， 可取1,2,3.枚举所有奇偶排列模式计算概率，得分布列： ，期望 .
（3）由期望线性， .每对相邻位置一奇一偶的概率为 ，其中 为奇数个数.分 为偶数和奇数讨论，可得 或 .作差易证数列递增.
易错警示：常见错误是在计算相邻和为奇数的概率时没有考虑顺序，或期望计算遗漏.防错方法：使用期望的线性性质，将复杂事件拆解为多个简单事件的和.
规律总结：通法：对于随机排列的期望问题，常转化为两两位置上的期望之和，利用对称性简化计算.
18.
答案速览：（1） ；（2） ；（3）存在， .
详解：
（1）由抛物线定义， .当 时，代入 得 ，则 ，解得 .故抛物线方程为 .
（2） 时，圆 .由几何关系得 .设 ，则 .利用二次函数性质求得 的最小值为12，故 的最小值为 .
（3）假设存在 .当 为原点时，可解得 .再证当 时，对于任意点 ，直线 总与圆 相切.设 ，写出切线 的方程，利用相切条件得到关于 坐标的二次方程，结合韦达定理求出圆心 到直线 的距离，发现恒等于半径2，从而得证.
解法二（同构法）：由切点弦方程直接写出直线 的方程，利用同构思想简化计算.
对比：解法一思路自然，但计算量较大；解法二技巧性强，计算更简洁.
易错警示：常见错误是在第（3）问中不能由特殊到一般地猜想 的值，或证明一般情况时计算失误.防错方法：先取特殊位置（如原点）求出 ，再进行严格证明.
规律总结：通法：涉及抛物线的切线和定点定值问题，常利用导数求切线斜率，结合韦达定理处理交点.存在性问题一般先假设存在求出参数，再证明其充分性.
19.
答案速览：（1）证明见解析；（2）当 时有唯一零点；当 时有两个零点；当 时无零点；（3） 的最小值为 .
详解：
（1）求导得 .设 ，再求导 .分区间讨论 的符号，利用零点存在定理证明 有唯一变号零点，故 有唯一极值点.
（2）由（1）得 的单调性，进而得 的单调区间和最值.结合端点值和极值符号，对 分类讨论，得出零点个数.
（3）当 时，条件 等价于 且 .利用导数分析不等式恒成立，可得 .结合 的任意性，知 为最小值.
解法二（必要性探路）：在不等式 中令 ，利用洛必达法则或极限思想求得 的必要范围，再证明充分性.
对比：解法一严谨完整，解法二快速锁定范围，适合小题或检验，但解答题需补全充分性证明.
易错警示：常见错误是在讨论零点时忽略定义域端点，或在使用极限时推理不严谨.防错方法：严格按导数讨论函数单调性的流程进行，对参数分类要做到不重不漏.
规律总结：通法：含参函数零点问题，通常先求导分析函数单调性和极值，再根据极值符号和端点趋势分类讨论.恒成立求参问题，常采用分离参数或构造函数最值的方法.
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