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河南省叶县高级中学、偃师高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知地在地的北偏东方向上，且相距20千米，地在地的北偏东方向上，且相距30千米，则，两地（视为质点）之间的距离是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
4．“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．在中，角，，的对边分别为，，，若的面积满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则（ ）
A．-8 B．-5 C．5 D．8
7．在中，，是线段的中点，直线与交于点，则（ ）
A． B． C． D．4
8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，.若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量，夹角的余弦值是
10．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ）
A．是等腰三角形 B．
C．的面积为 D．的周长为
11．已知函数有两个零点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．当取得最小值时，
三、填空题
12．在中，角的对边分别是，，，且，，，则______.
13．已知，则______.
14．已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______.
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别是，，，且.
(1)证明：.
(2)若，，求的值.
16．如图，在平行四边形中，，，，，.
(1)用向量，表示向量，；
(2)求向量，夹角的余弦值.
17．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)求关于的方程在上的所有实数解之和.
18．如图，某水域的两条直线型岸边，交于点，点在上，且千米，某渔民准备经过点安装一直线型隔离网（在上），围出养殖区，是线段的中点，且千米.设千米，千米.
(1)当时，求的值.
(2)将表示成的函数.
(3)该渔民至多可以围出多少平方千米的养殖区？并求出此时隔离网的长度.
19．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称为“双射奇函数”．
(1)判断函数是否是定义在上的“双射奇函数”，并说明理由；
(2)若函数是定义在上的“双射奇函数”，求的最小值；
(3)若函数是定义在上的“双射奇函数”，且存在，使得对任意，不等式成立，求b的取值范围．
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．A
6．B
7．C
8．D
9．ABD
10．AC
11．BCD
12．
13．
14．
15（1）解法一：因为，
所以，
即，
所以，即.
解法二：因为，
所以.
因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
再利用余弦定理得，
所以，即.
（2）由余弦定理可得，则.
由（1）可知，即，则.
因为，
所以.
16．（1）因为，所以，
所以.
因为，所以，
则.
（2）因为，所以.
因为，，所以，，，
则，
，
，
故.
17．（1）由图可知的一条对称轴为,
则该函数的最小正周期.
因为，且，所以.
因为的图象经过点，所以，所以.
因为，所以.
因为的图象经过点，所以，则，
故.
（2）因为，所以，则，
故在上的值域为.
（3）由，即，得，
则或，
解得或.
因为，所以，，，，，，
则，
即关于的方程在上的所有实数解之和为.
18．（1）法1：，即.
因为是线段的中点，所以.
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
在中，由余弦定理可得，
则，即的值是.
法2：在中，由余弦定理可得，
则，
因为，
所以，
则，
故，即的值是.
（2）法1：在中，由余弦定理可得，
则，即①.
在中，由余弦定理可得，
则，即②.
由①②，得，则，
因为,故,故.
法2：在中，由余弦定理可得，
则，
同理可得，
因为，
所以，
所以，
即，，同法1，其中,
故.
（3）法1：在中，，
的面积
，
由（2）知，则，
当时，取得最大值64，即，
此时千米.
法2：因为是线段的中点，
所以，
所以，
即，
则，
故，
的面积，
所以，
当时，即时，（舍去），
，则，即该渔民至多可以围出8平方千米的养殖区，
此时，
则，
故千米.
19．（1）判断结论：不是.理由如下：
根据定义，对任意，需存在唯一的满足，
取，则，要求，
解方程得和，
两个解都在内，不满足唯一性，因此不是“双射奇函数”.
（2）是单调递增函数，若为上的“双射奇函数”，
则，即，则，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
（3）令，，则，
可改写为，，
若是“双射奇函数”，则在单调，且，
计算得，解得， 对称轴为，
时，对称轴，在单调递增，符合要求；
时，对称轴，不单调，舍去.
因此，，
存在，使得对任意，不等式成立，
等价于不等式对任意恒成立，
则，即成立，
则或，
解得或，即的取值范围是.

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