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第二十章 勾股定理 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·辽宁抚顺顺城区期末)由下列线段a，b，c组成的三角形，不是直角三角形的是( ).
A. a=1.5,b=2,c=3 B. a=7,b=24,c=25
C. a=6,b=8,c=10 D. a=9,b=12,c=15
2.如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形.现有面积分别是1，2，3，4，5的5种型号的正方形纸片各若干张，选取其中三张，按如图所示的方式组成图案，则下列选项中，能围成直角三角形且面积最小的是( ).
A. 1,2,4 B. 2,3,5 C. 2,2,4 D. 1,3,4
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,交BC于点E,交AB于点D,若BE=13,CE=5,则AC 的长是( ).
A. 8 B. 10 C. 12 D. 1
4.(2025·河南周口西华期中)如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A 和点C间的距离，由此可推断∠B 是否为直角，这样做的依据是( ).
A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是( ).
A. 6 B. 9 C. 13 D. 25
6.(2025·内蒙古通辽科尔沁区期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是( ).
A. 1,1,2 B. 1, ,2 C. 0.5,1.2,1.3 D. 6,8,10
7.(2025·江苏南京鼓楼区期中)如图，已知钓鱼竿AC 的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为( ).
A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m
8.如图(1)，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至距该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如图(2)所示，一位学生走到 D 处，门铃恰好自动响起，已知该学生的身高CD=1.5m，则BD 的长为( ).
A. 3m B. 4m C. 5m D. 7m
9.(2025·河南鹤壁期末)如图,高速公路上有A,B两点相距14km,C,D为两村庄,已知DA=6km,CB=8km,DA⊥AB于点A,CB⊥AB 于点B,现要在AB 上建造一个服务站点E,使得C,D 两村庄到E站的距离相等，则 AE 的长是( ).
A. 8km B. 7km C. 7.2km D. 8.5km
10.如图,在四边形ABCD中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,则CD 的长为( ).
A. B. 4 C. 2 D. 4.5
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·河南新乡延津期末)如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为 .
12.如图，方格中的点A，B，C，D，E称为“格点”(格线的交点)，以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有 个.
13.(2024·河北保定定州期末)时代公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走路AB 比走路A-C-B少了 m.
14.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2，分别以点 B 和点C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N，作直线MN 交边AB 于点E.若BE=4，则AE 的长为 .
15.(2025·河北石家庄元氏期中)如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示-1的点重合，则数轴上点 A 所表示的数为
16.(2025·连云港中考)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m.
17.如图,已知∠B=45°,AB=2cm,P 为∠ABC 的边BC上一动点,则当 BP= cm时，△BAP 为直角三角形.
18.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,在等腰三角形ABD 中,AD=BD,E为BC 延长线上一点,连接CD,若CD平分∠ACE,CD=2,AC-BC=8,则AB= .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,求线段 AB与 AC 的数量关系.
20.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC边上的一点,求证:
21.(8分)图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(2)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少
22.(8分)(2025·山东济宁鱼台期中)“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.为了比较 与 的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在 中， 点 D 在 BC上,且BD=AC=1,这样就可以得出 与 的大小关系.请写出 与 的大小关系并结合图形通过计算说明理由.
23.(8分)(2025·河北石家庄正定期末)如图，有一架秋千，当它静止在AD 的位置时，踏板离地的垂直高度DE 为0.7m，将秋千AD 往前推送4m(即BC 为4m)，到达AB 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF 为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态.
(1)求秋千的长度；
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD 往前推送 m.
24.(8分)(2025·广东江门江海区期末)如图(1)是某品牌婴儿车，图(2)为其简化结构示意图，现测得AB=CD=6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中AB 与BD 之间由一个固定为 的零件连接(即
(1)请求出 BD 的长度;
(2)根据安全标准需满足 通过计算说明该车是否符合安全标准.
25.(10分)(2025·河北张家口张北期末)如图,在 中， 点D 在边AC上,BD=8,CD=2.
(1)猜想的度数，并说明理由；
(2)若AB=17,求 的面积.
26.(12分)分类讨论思想(2025·河南周口川汇区期末)如图,点 M,N 把线段AB 依次分成AM,MN,NB 三段.若以AM，MN，NB 为边组成的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段AB 的“勾股分点”.
(1)若AB=9,AM=3,BN=4,则点 M，N 线段 AB 的“勾股分点”(填“是”或“不是”)；
(2)若M，N是线段AB的“勾股分点”，AB=30,AM=12,且 AM是组成的直角三角形的一条直角边,求 MN 的长.
1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. D
7. B [解析]∵AC=10m,BC=6m,
故选 B.
8. B [解析]由题意可知,BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5m.
由勾股定理，得 则BD=4m.
故选 B.
9. A [解析]设AE= xkm,则BE=(14-x) km.
∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴∠DAE=∠CBE=90°.
在Rt△ADE 中,由勾股定理,得. 在Rt△BCE中,由勾股定理,得 解得x=8.
故选 A.
10. B [解析]如图,以 CD 为边作等边三角形CDE,连接AE,则 DC=CE=DE,∠DCE=∠CDE=60°.
∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠BCA=60°,
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE.
在△BCD 和△ACE 中,
∴△BCD≌△ACE(SAS),∴AE=BD=5.
又∠ADC=30°,∴∠ADE=90°.
在Rt△ADE中,AE=5,AD=3,
故选 B.
11. 12.3 13.6 14.2 15.2-1 16. 2.4
17. 或 [解析]如图，分情况讨论：当 '时.
当 时.
∵∠B=45°,AB=2cm,
综上所述，当. 或2 cm时,△BAP 是直角三角形.
18.12 [解析]如图,延长AD 交BE 的延长线于点F.
∵AD=BD,
∴∠1=∠BAD.
∵∠ABC=90°,∴∠1+∠2=90°,∠BAD+∠F=90°,
∴∠2=∠F,∴BD=DF.
又AD=BD,∴AD=DF.
∵CD 平分∠ACE,∴∠4=∠5.
易证 CD⊥AD,AC=CF.设BC=x.
∵AC-BC=8,∴AC=8+x.
在 Rt△ABF 中,.
解得.x=5,即.BC=5,AC=13,
19.如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠B=30°,
∵∠C=45°,∴∠CAE=45°,
∴AE=CE.
根据勾股定理，得 则
20.如图,过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHD=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.
设 BH=a,HD=b,
则BH=CH=AH=a,BD=a+b,CD=a-b.
∵在Rt△AHD 中,∠AHD=90°,
,
一题多解 第二种解法:如图(1),过点 D 作 DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点 F,则∠BED=∠CFD=∠AED=90°.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.
设 DE=a,DF=b,则 BE=ED=a,DF=CF=AE=b,
第三种解法:如图(2),由AB=AC,将△ACD 绕点A 顺时针旋转90°得△ABE,连接DE,则△ADC≌△AEB.
∴∠1=∠2,∠C=∠ABE,CD=BE,AE=AD,
∴∠EAD=∠1+∠BAD=∠2+∠BAD=∠BAC=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°,
∴∠EBD=∠ABE+∠ABC=90°,
即
21.设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x(x>0)，则 所以x=13.
所以“数学风车”外围的周长是(13+6)×4=76.
.理由如下：
在Rt△ABC 中,∠C=90°,
∵CD=BC-BD=4-1=3,
23.(1)由题意知,DE=0.7m,BF=2.7m,CE=BF=2.7m,∴CD=CE-DE=2.7-0.7=2(m),
设AB= xm,则AC=(x-2)m,
在 Rt△ACB中,由勾股定理,得. 即
解得x=5，即秋千的长度为5m.
(2)3 [解析]∵踏板离地的垂直高度 BF 为1.7m,
∴CD=1.7-0.7=1(m),
∴AC=5-1=4(m),
即需要将秋千AD 往前推送 3m，
24.(1)在 Rt△ABD 中, .故 BD 的长度为3 dm.
(2)该车符合安全标准.理由如下：在 Rt△ABD 中, 在△BCD 中,
∴△BCD 是直角三角形,即∠BCD=90°,
∴BC⊥CD,∴该车符合安全标准.
25.(1)∠ADB=90°.理由如下:
∵BD=8,CD=2,BC=2
而
(2)在Rt△ABD 中,由勾股定理,得
∵CD=2,∴AC=AD+CD=15+2=17,
26.(1)不是 [解析]∵AB=9,AM=3,BN=4,
∴MN=AB-AM-BN=9-3-4=2.
∴M,N不是线段AB 的“勾股分点”.
(2)∵AB=30,AM=12,∴BM=30-12=18.
设MN=x,则NB=18-x.
①当MN 是直角三角形的斜边时，由 得 解得x=13;
②当 BN 是直角三角形的斜边时，由 得 解得x=5.综上,MN的长为13或5.

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