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第十九章二次根式提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·河南周口鹿邑期末)x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件( ).
A. B. C. D.
2.(2025·山东东营期末)已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简 的结果是( ).
A. 1-a B. - a-1 C. a-1 D. a+1
3.(2025·湖南长沙宁乡期末)若 则x满足的条件是( ).
A. x≥1 B. x≤1 C. x>1 D. x<1
4.(2025·北京朝阳区期末)已知 则 等于( ).
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
5.(2025·邯郸模拟)若 则
A. 15 B. C. D.
6.将 化简得( ).
A. 5-x B. ±(x-5) C. D. x-5
7.已知 则 的值为( ).
A. 3 B. 4 C. D. 15
8.已知x+y=-9, xy=9,则 的值是( ).
A. 6 B. - 6 C. 3 D. - 3
9.(2025·江苏镇江丹阳期末)已知 则 的值为( ).
A. 4 B. C. 3 D.
10.(2025·四川绵阳梓潼期末)在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：[M] 在代数式a+b+1中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示.例如： 下列说法：
①a+[b+1]=a-b-1;
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有 7种不同运算结果.
其中正确的个数是( ).
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·齐齐哈尔中考)若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 .
12.(2025·北京期中)已知n是正整数，且 也是正整数，写出一个满足条件的n的值，这个n的值为 .
13.(2025·天津期中)若 则x-y= .
14.(2025·山东菏泽成武期末)按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为 ，则输出的值为 .
15.已知 则分式 的值为 .
16.如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个长方形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是 .
17.若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式( 的值是 .
18.(2025·山东青岛莱西期末)对于任意正实数a，b，定义一种新的运算： 如 请你计算3 6= .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)两个最简二次根式 与 可以合并吗 为什么
20.(6分)等腰三角形的一边长为 周长为 求这个等腰三角形的腰长.
21.(8分)一个长方形的长 宽
(1)该长方形的面积为 ，周长为 ；
(2)现有两个边长分别为a 和b 的正方形，求这两个正方形和上面长方形面积的和.
22.(8分)已知 求：
的值；
的值.
23.(8分)数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当a>0，b>0时， 与a+b的大小关系”.
下面是探究过程.
①具体运算,发现规律:当a>0,b>0时,特例1:若a+b=2,则 特例2：若a+b=3,则 特例3:若a+b=6,则
②观察、归纳,得出猜想:当a>0,b>0时,
③证明猜想:当a>0,b>0时, 当且仅当a=b时，
请你利用发现的规律，解答以下问题.
(1)当x>0时, 的最小值为 ；
(2)当x<0时, 的最小值为 ；
(3)当x<0时,求 的最大值.
24.(8分)(2025·山东德州临邑期末)[阅读理解]
例：
根据阅读解决以下问题：
(1)已知 化简a,b.
(2)在(1)的条件下,求 的值.
25.(10分) 的双重非负性是指被开方数a≥0,，其化简的结果 请利用 的双重非负性解决以下问题：
(1)已知求 的值；
(2)若a,b为实数,且 求a+b的值；
(3)已知实数a，b满足求a+b的值.
26.(12分)(2025·山东泰安泰山区期末)阅读材料，解答下列问题.
材料：已知求的值.
小明同学是这样解答的：
又
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知
(1)求的值；
(2)求x的值.
1. D 2. B 3. A
4. C [解析]∴
故选C.
5. B 6. D
7. B [解析]根据题意,得x≥0,x≥0,x=x=6,
即
故选 B.
8. B [解析]x+y==9, xx=9,
∴x<0,x≤0,
∴原式 故选 B.
9. B [解析]∵ 故选 B.
10. D [解析]∵-3，故②错误；
∵-3∴-2∴[a+b+1]+(a+b+1)=-(a+b+1)+(a+b+1)=0，
∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0,故③错误;
可能的“新运算操作”有[a]+b+1=a+b+1,a+[b]+1=a-b+1,a+b+[1]=a+b+1,[a+b]+1=-a-b+1. a+[b+1]=a-b-1,[a+b+1]=-a-b-1,∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，故④错误.
∴正确的个数是 1.故选 D.
11. x>3且x≠2025 [解析]∵代数式 有意义,∴x-3>0且x-2025≠0,
∴x>3且x≠2025.
12.3(答案不唯一) [解析]由题可知,19-n≥0,则n≤19.要使n是正整数， 也是正整数，则n可以取3，10，15或18.
13.1 [解析]由题可知,y-3≥0,3-y≥0,解得y=3,∴x=4,∴x-y=4-3=1.
[解析]由题意，得
∴若输入x 的值为，则输出的值为
[解析] ，原式
[解析]∵正方形Ⅰ的面积为6，∴正方形Ⅰ的边长为 .∵正方形Ⅱ的面积为3，∴正方形Ⅱ的边长为 ∴大正方形的边长为 ∴大正方形的面积为
17.2
[解析]
19.不可以.理由如下：
若最简二次根式 与 可以合并，则2a+1=3a+2,解得a=-1,
此时2a+1=-1，不符合二次根式的定义，所以不可以合并.
20.当腰长是2时，底边长是 ∴此时不能组成三角形；当底边长是 2时，腰长是 此时能组成三角形.综上所述，这个等腰三角形的腰长是
21.(1)1 4[解析]长方形的面积为 周长为
(2)两个边长分别为a 和b的正方形，这两个正方形和长方形面积的和为
由(1),得
22.
23.(1)2 [解析]∵x>0,
当且仅当 时,取“=”.
的最小值为2.
(2)2 [解析]∵x<0,∴-x>0,
当且仅当 时,取“=”.
的最小值为2
(3)∵x<0,∴-x>0,
1，当且仅当 时,取“=”.
的最大值为
(2)原式:
当 时,a-b=-4, ab=1,
∴原式
25.(1)由题意,得
解得
(2)由题意,得b-1≥0,1-b≥0,解得b=1,
解得a=±2,
∴a+b=-1或3.
∴(a-3)b ≥0,解得a≥3或b=0(不符合题意，舍去)，
∴b+2=0,a-3=0,解得b=-2,a=3,
∴a+b=1.
2
=11+x-1-x=10,
又
9 ∴x=1.25.

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