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第二十章 勾股定理 提优测评卷
用时:120分钟总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·广东惠州惠阳区期末)若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 则这个三角形的形状是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.(2025·山东聊城东昌府区期末)如图,小亮在数轴上作Rt△OAB,使得∠OAB=90°,OA=2,AB=3,再在正半轴上取点C，使得OC=OB，则点C 表示的数是( ).
A. 3.5 B. 3.7 C. D.
3.勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隔五”.观察下列勾股数：3，4,5; 5,12,13; 7,24,25;…,这类勾股数的特点如下:勾为奇数,弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是( )(结果用含 m的式子表示).
A. B. 2m+2
C. D. 2m+3
4.(2025·北京期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,若点 A 的坐标为(1, ),则OA 的长为( ).
A. 1 B. 2 C. D.
5.如图,已知四边形ABCD,AD∥BC,P 为CD上的一点,且∠DAP=10°,∠CBP=80°,PA=3,PB=4,则AB 的长为( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.(2025·山东潍坊期中)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的顶点A 在x轴上,顶点 B在y轴上,∠C=90°,AC⊥x轴,点C 的坐标为(3,6),作△ABC 关于直线AB 的对称图形,其中点C 的对称点为M,且 AM交y轴于点 N，则点 N 的坐标为( ).
A. (0, ) B. (0, ) C. (0,2) D. (0,3)
7.(2025·河南洛阳期中)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离，A'D为1.5m,则小巷的宽为( ).
A. 2.4m B. 2m C. 2.5m D. 2.7m
8.(2025·河南新乡长垣期末)如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h 的取值范围是( ).
A. 5≤h≤7 B. 4≤h≤6 C. 3≤h≤5 D. 2≤h≤4
9.(2025·北京平谷区二模)如图，直角三角形三边长分别为a，b，c，分别以直角三角形的三边为边(或直径)向外作①正方形，②等边三角形，③宽均为m 的长方形，④半圆，其中面积关系满足 的图形的序号是( ).
A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
10.(2025·湖北黄石期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下面结论:
①∠B+∠C=90°;②∠B-∠C=∠A;③a =c -b ;④ = +
其中能判定△ABC 是直角三角形的是( ).
A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.在平面直角坐标系中，点M(-3，4)到原点的距离是 .
12. (2025·宁夏中考)如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图.其中，侧面展开图OABC 的边OA，OC在坐标轴上，点 B 的坐标为(24，-10).将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 cm.(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计)
13.已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为 .
14.如图(1)，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，此图案的示意图如图(2)，其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形， △BCG,△CDH,△DAE 是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB 的长为 .
15.(2025·扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,根据上述规律,写出第⑤组勾股数为 .
16.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)，笔直铁路经过A，B两地.
(1)A,B间的距离为 km;
(2)计划修一条从C到铁路AB 的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C,D间的距离为 km.
17.如图，在等腰直角三角形 ABC 中， P是边BC上任意一点，连接AP,将△ABP 沿AP 翻折,点 B 的对应点为B',当△APB'有一边与BC垂直时,BP 的长为 .
18.(2025·湖南中考)已知a,b,c是△ABC的三条边长,记 其中k为整数.
(1)若三角形为等边三角形，则t= .
(2)下列结论正确的是 (写出所有正确的结论)
①若k=2,t=1,则△ABC为直角三角形;
②若 则5③若 a,b,c为三个连续整数，且a三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=15°,AB=2,求线段AC 的长.
20.(6分)(1)如图，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距200米，C，D为两个菜园(看作两个点)，垂足分别为A，B，AD=80米，BC=70米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点 P 到两个菜园C，D的距离和最短.请在图中作出点 P，保留作图痕迹，并求出 PC+PD的最小值；
(2)借助上面的思考过程，请直接写出当021.(8分)一个30×40的长方形，在左上角剪去一个20×10的长方形，如图所示.试将剩余图形分成若干部分，拼成一个正方形.
22.(8分) (2025·河南信阳光山期末)如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D 处先滑到地面B，再由B 跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.
23.(8分)(2025·江苏宿迁宿城区期末)折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法.
[动手操作]如图为一张三角形纸片ABC，∠C=90°，现将纸片按如图(1)折叠，翻折后点A 的对应点为A',折痕为MN(点M,N分别在边AB,AC上且M,N 不与端点重合).
(1)当△AMN是以∠A 为顶角的等腰三角形时，翻折后点A'恰好落在BC边上，且 用无刻度的直尺和圆规在图(2)中作出此时的折痕MN.(保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若A'C=4,AC=8,求MC 的长.
24.(8分)(2025·四川成都锦江区嘉祥外国语学校期末)已知：如图，在 中， 的周长为30.
(1)证明: 是直角三角形.
(2)过点C作于点D，E为AB 边上的一点，且CE=BE,过点E作 交 的平分线于点F.
①证明：
②求线段 EF 的长.
25.(10分)先阅读下面的一段文字，再解答问题.
已知在平面直角坐标系中，任意两点 其两点之间的距离公式为MN= 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为 或
(1)已知点A(0,5),B(-3,6),试求A,B 两点之间的距离;
(2)已知点A，B在垂直于x轴的直线上，点 A 的坐标为 试确定点 B 的坐标；
(3)已知点A(0,6),B(4,0),C(-9,0),请判断 的形状，并说明理由.
26.(12分)如图,在 中， 有一动点E 自点 A 向点 B 以2cm/s的速度运动，动点 F 自点B 向点C以4cm/s的速度运动，若E，F 同时分别从点A，B 出发.
(1)试问出发几秒时， 为等边三角形
(2)试问出发几秒时， 为直角三角形
1. B [解析]∵
∴a=13=0,b-12=0,c=5=0,
∴这个三角形是直角三角形.故选 B.
2. C 3. C 4. B
5. A [解析]如图,过点 P 作 PQ//AD,交AB 于点 Q,则∠APQ=∠DAP=10°.
∵AD∥BC,PQ∥AD,∴PQ∥BC,
∴∠BPQ=∠CBP=80°,
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°,
∴在 Rt△APB中,AB= 故选 A.
6. A [解析]∵∠C=90°,AC⊥x轴,点C的坐标为(3,6),∴OB=AC=6,OA=BC=3.
由轴对称的性质,得∠BAM=∠BAC.
由题意,知OB∥AC,∴∠OBA=∠BAC,∴∠OBA=∠BAM,∴BN=AN.
在 Rt△AON 中,由勾股定理,得 解得 故选 A.
7. D [解析]在Rt△ABC中,由勾股定理,得
∴A'B=AB=2.5m.
在 Rt△A'BD 中,由勾股定理,得 .5 —1.5 =2(m),∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7(m).则小巷的宽为 2.7 m.故选 D.
8. C
9. C[解析]①由勾股定理,得 即 故①满足；
②∵三个三角形都是等边三角形，
故②满足；
故③不满足；
故选 C.
10. C [解析]①∵∠B+∠C=90°,∴∠A=180°-(∠B+∠C)=90°,∴△ABC 是直角三角形;
②∵∠B-∠C=∠A,∴∠B=∠C+∠A.
∵∠B+∠C+∠A=180°,∴2∠B=180°,
∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;
∴△ABC 是直角三角形;
∴△ABC 不是直角三角形.
能判定△ABC是直角三角形的是①②③.故选 C.
11.5 12.2
[解析]如图,AB=2,BC=3,AC=4,过点 B 作 BD⊥AC于点D.设AD=x,则CD=4-x.
∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠BDC=90°,
解得
14.10
15.11,60,61 [解析]通过观察得
第①组勾股数分别为
第②组勾股数分别为，故④满足.故选
第③组勾股数分别为2
第④组勾股数为： 2×4+1=41,
所以第⑤组勾股数为
16.(1)20 (2)13 [解析](1)由A,B两点的纵坐标相同可知,AB∥x轴,∴AB=12-(-8)=20(km).
(2)如图,过点 C 作l⊥AB 于点E,连接AC,作AC 的垂直平分线交直线l于点D,连接AD,∴AD=CD.
由(1)可知,CE=1-(-17)=18(km),AE=12km,设CD= xkm,∴AD=CD= xkm,∴DE=(18-x) km.
在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得 解得x=13,∴CD=13km.
或1或2 [解析]当AB'⊥BC时,如图(1),在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB= 设BP=x,则B'P=x,PQ=1-x.
∵将△ABP 沿AP 翻折,.
，即 解得. 即
当AP⊥BC时,如图(2),此时, 当B'P⊥BC时,如图(3),
此时,点A,B,B'在同一直线上,BP=BC=2.
综上，当△APB'有一边与BC 垂直时，BP 的长为 或1或2
18.(1)2
(2)①② [解析]①若k=2,t=1,
则 即
∴△ABC为直角三角形，故①正确，符合题意；
②若
则
当a>b时,a-b2;
当a∴2当b=6时,
∴5又
不妨设a=n,则b=n+1,c=n+2,
解得1∴n可取2,3,4,5,6,7,对应的t值分别为 共6个，则满足条件的△ABC 共6个，故③错误，不符合题意.
19.如图,过点C作CE⊥BA,交BA 的延长线于点E.
∵∠B=30°,∠ACB=15°,
∴∠CAE=45°.
∵CE⊥BE,∴AE=CE.
∵∠B=30°,∴BC=2CE.
设AE=CE=x,则BE=2+x,BC=2x,
在 Rt△BCE 中,根据勾股定理,得即 解得 (负值已舍)，
20.(1)如图(1),作点C 关于AB 的对称点F,连接DF 交AB于点 P，连接 PC，点 P 即为所求.
作 DE⊥BC 交BC 的延长线于点E.
在Rt△DEF中,∵DE=AB=200米,EF=BE+BF=AD+BC=80+70=150(米),
(米),
∴PD+PC 的最小值为250米.
(2)17 [解析]如图(2),令AB=15,AD=5,BC=3,先作出点C关于AB 的对称点 F,连接DF 交AB 于点 P,作 DE⊥BC交BC 的延长线于点 E.设 BP=x,则AP=15-x,DF的长就是 的最小值.
∴代数式的最小值为17.
21.如图所示.(答案不唯一)
一题多解如图所示.
22.在 Rt△ABC中,∠B=90°,设BC= a m,AC=b m,AD= x m,则10+a=x+b=15,∴a=5,b=15-x.
∵在Rt△ABC中,由勾股定理,得
解得x=2,即AD=2m.
∴AB=AD+DB=2+10=12(m).
故树高AB 为 12m.
23.(1)作∠BAC 的平分线交BC 于点A',再作线段AA'的垂直平分线分别交AB，AC 于点M，N，如图.
则△AMN 与△A'MN 关于MN 对称,且△AMN 是等腰三角形,MA'⊥BC.
故 MN 为所求作折痕.
(2)由作图可得,A'M=MA=AN=NA',
设A'M=MA=AN=NA'=x,则CN=8-x,
解得x=5,
∴A'M=5,
∴MC 的长为
24.(1)∵AB=13,AC=5,△ABC的周长为30,
∴BC=30-13-5=12.
是直角三角形.
(2)①∵AC +BC =AB ,∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB 于点D,∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠B=90°-∠A.
∵CE=BE,
∴∠BCE=∠B,∴∠ACD=∠BCE.
∵CF是∠ACB的平分线,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠ACF-∠ACD=∠BCF-∠BCE,
∴∠DCF=∠ECF.
②∵∠ACE+∠BCE=90°,∠A+∠B=90°,且∠BCE=∠B,∴∠ACE=∠A,
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF,∴∠DCF=∠F.
∵∠DCF=∠ECF,∴∠F=∠ECF,
∴线段 EF 的长为
25.(1)∵A(0,5),B(-3,6),
(2)∵点A，B在垂直于x轴的直线上，
∴点A与点B 的横坐标相等,∴可设B(-5,y).
解得 或y= ∴点B 的坐标为 或
(3)△ABC为直角三角形.理由如下：
∵A(0,6),B(4,0),C(-9,0),∴
为直角三角形.
26.(1)设出发 x s时,△BEF为等边三角形,
则AE=2x cm,BF=4x cm,∴BE=(30-2x) cm.
∵∠B=60°,∴当BE=BF时,△BEF为等边三角形,
∴30-2x=4x,解得x=5,
即出发5s时，△BEF为等边三角形.
(2)设出发 ts时，△BEF 是直角三角形，有两种情况：
①当∠BEF=90°时,∵∠B=60°,∴∠BFE=30°,
即 解得t=7.5;
②当∠BFE=90°时,∵∠B=60°,∴∠BEF=30°,
即 解得t=3.
综上所述，出发3s或7.5s时，△BEF是直角三角形.

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