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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
10.1 二元一次方程组的概念
二元一次方程的有关概念
1．下列各方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x，y的方程的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．已知是关于的二元一次方程，则___________．
6．已知方程，是关于，的二元一次方程，则______．
7．将方程变形为用含y的式子表示x，那么____．
8．若是关于，的二元一次方程的一个解，则___．
二元一次方程组的有关概念
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．在①，②，③，④中，解是的有（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④
5．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．写一个解是的二元一次方程组_______．
7．在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号）
8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值．
9．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由．
利用二元一次方程组的解求参数
1．若方程组的解为，则被“ ”和“■”遮挡的两个数分别是（ ）
A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1
2．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________．
3．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____．
4．已知方程组的解是，则方程组的解是________．
5．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________．
6．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)有两个算式：，求的值．
7．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根．
8．【观察思考】
第1个方程组为解为
第2个方程组为解为
第3个方程组为解为
……
【发现规律】
（1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______．
（2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示）
【应用规律】
（3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值．
1．把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解）
2．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值．
3．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根．
4．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示：
类型 A型 B型
进价（元/盏） 40 65
标价（元/盏） 60 100
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？
(3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？
5．阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可．
例：求二元一次方程的正整数解．
解：，．
、为正整数，
或．
【解决问题】
(1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______；
(2)求方程的正整数解；
(3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
6．已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
7．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由．
8．为响应政府“五水共治”的统一部署，我市某开发区决定将企业的污水集中收集，统一处理，决定用750万元购买12台污水处理设备．现有三种型号的污水处理设备供选择，设型设备应各买入台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型 C型
价格（万元/台） 80 60 55
月处理污水量（吨/台） 2000 1900 1800
(1)购买C型设备________台（用含的代数式表示）；
(2)写出购买三种设备的所有方案；
(3)为使月处理污水量达到最大，型设备应各买几台？最大月处理污水量为几吨？
9．若是关于的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为2025是关于的二元一次方程，
所以．
解得．故选A．
10．如图，点是线段上的动点，线段的长度与线段的长度都是正整数，点是线段的中点，且图中所有线段的长度之和为．请求出线段的长．
1．已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”．
(1)判断点是否为“梦之点”；
(2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由．
2．一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等．若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”．如123的“团结数”为．
(1)请求出427的“团结数”；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
3．综合与实践
【问题情境】
我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ．
【实践探究】
但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下：
由，得
∵x，y是正整数，
也是正整数，
∴可用观察法，得 ② ；
∴原方程的正整数解为：③ ．
阅读以上材料，解决下列问题：
(1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容；
(2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数．
4．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？
【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程：
准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）．
（1）探究过程：
天平左边 天平右边 天平状态
记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡
【解决问题】
通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量．
【拓展设计】
（2）“实践小组”继续探究，得到下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡
请你探究，的值．
2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
10.1 二元一次方程组的概念（解析版）
二元一次方程的有关概念
1．下列各方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程；含有两个未知数；所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一验证选项即可．
【详解】A、中是分式，方程不是整式方程，不符合要求，故A错误；
B、中项的次数为2，不符合次数都是1的要求，故B错误；
C、中项的次数为2，不符合要求，故C错误；
D、，含有，两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D正确．
2．若是关于x，y的方程的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】将方程的解代入原方程，变形即可得到所求代数式的值．
【详解】解：∵是关于，的方程的解，
∴将代入，得：，
等式两边同乘，得：．
3．若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】把代入方程进行求解即可.
【详解】解：把代入，得，
解得.
4．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【分析】设两种产品的定制数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解个数，得到方案数．
【详解】解：设定制书签张，定制笔记本本，，均为正整数．
根据题意列方程得，
方程两边同时除以3，得，
整理得，
∵，均为正整数，
∴或或或或，
∴共有种定制方案．
5．已知是关于的二元一次方程，则___________．
【答案】3
【分析】根据二元一次方程的定义，可知x和y的次数均为1，据此得到关于m，n的方程，求解得到m和n的值，再计算即可．
【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得，
解方程组得，
∴．
6．已知方程，是关于，的二元一次方程，则______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程满足的条件为含有个未知数，含有未知数的项的次数是的整式方程，据此列出关于、的方程，求解后计算即可．
【详解】解：是关于、的二元一次方程，
，
解得，
．
7．将方程变形为用含y的式子表示x，那么____．
【答案】
【分析】将含x的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴．
8．若是关于，的二元一次方程的一个解，则___．
【答案】
【分析】将二元一次方程的解代入原方程，得到关于的一元二次方程，解该方程即可得到的值．
【详解】解：将代入二元一次方程得，
解得：．
二元一次方程组的有关概念
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误；
B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误；
C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误；
D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确；
2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②方程组总共只含两个未知数；③每个方程都是一次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：A. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意；
B. ，共含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，符合题意；
C. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意；
D. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，系数为分数不改变次数，是二元一次方程组，不符合题意．
3．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可．
【详解】解：A. 把代入，
∵左边，右边，左边右边，
∴不是该方程组的解，不符合题意；
B. 把代入，
∵左边，右边，左边右边，
再代入，
∵左边，右边，左边右边，
∴是该方程组的解，符合题意；
C. 把代入，
∵左边，右边，左边右边，
∴不是该方程组的解，不符合题意；
D. 把代入，
∵左边，右边，左边右边，
∴不是该方程组的解，不符合题意．
4．在①，②，③，④中，解是的有（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案．
【详解】解：①
将代入第一个方程，，成立，
将代入第二个方程，，成立，
的解是；
②
将代入第一个方程，，不成立，
的解不是；
③
将代入第一个方程，，不成立，
的解不是；
④
将代入第一个方程，，成立，
将代入第二个方程，，成立，
的解是；
综上可知，解是的有①和④，
故选：C．
5．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组变形为，依此可得，从而求解．
【详解】解：方程组变形为，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得．
故选：B．
6．写一个解是的二元一次方程组_______．
【答案】
【分析】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
根据，列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得：．
7．在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号）
【答案】 ①③ ②③ ③
【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键．
根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可．
【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立，
将代入方程成立，①代入，方程不成立，
将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立．
故答案为：①③；②③；③．
8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值．
【答案】
【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程中，未知数的次数必须为；
②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义．
【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组，
且，
由解得或，
又，即．
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零．
9．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由．
【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验.
【详解】解：小恒的解答过程是错误的．
理由如下：
将代入方程中，
左边=，右边，
左边=右边；
将代入方程中，
左边=，右边=5.
左边≠右边；
不是方程组的解．
利用二元一次方程组的解求参数
1．若方程组的解为，则被“ ”和“■”遮挡的两个数分别是（ ）
A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1
【答案】A
【分析】先将x代入完整的方程求出y，得到■的值，再将x和y代入第一个方程求出○的值，即可得到结果．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴将代入，得，
解得：，即，
再将代入，得，
∴被遮挡的两个数分别是和．
2．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________．
【答案】
【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解．
【详解】解：将两边同时除以2，
变形可得，
令，
则方程组可化为，
该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同，
已知原方程组的解为，
因此可得，
即，解得．
3．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____．
【答案】 5 1
【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值．
【详解】解：由题意，将代入，得，
解得，即表示的数为，
将，代入，得，
即表示的数为．
4．已知方程组的解是，则方程组的解是________．
【答案】
【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解．
【详解】解：对比两个方程组的结构可得，
由，得，
由，得，
因此方程组的解为．
5．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________．
【答案】 4
【分析】根据的解为得到，解关于和的二元一次方程组即可．
【详解】解：∵的解为，
∴，
解得：．
6．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)有两个算式：，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，新定义，解答的关键是对相应的运算法则及解方程的方法的掌握．
（1）根据所给的规定进行运算即可；
（2）结合所给的规定，列出方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
解得．
7．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根．
【答案】
【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根．
【详解】解：把代入①，得．③
把代入①，得．④
④③，得，
解得．
把代入③，得．
把代入②，得，
解得，
，
的平方根为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解．
8．【观察思考】
第1个方程组为解为
第2个方程组为解为
第3个方程组为解为
……
【发现规律】
（1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______．
（2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示）
【应用规律】
（3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值．
【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组．
（1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组；
（2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解；
（3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解．
【详解】解：（1）第4个方程组为解为．
（2）由（1）得：第个方程组为解为．
（3）由规律得，
解得．
根据第个方程组第一个方程的系数为，即，
代入，得．
根据第个方程组第二个方程的常数项为，即，
解得．
的值为15，的值为14．
1．把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解）
【答案】
共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根
【分析】先设截得的钢管有根，截得的钢管有根，根据总长度列出二元一次方程，结合、均为正整数且两种规格都要有，找出所有满足方程的正整数解，即可得到截法数量和每种截法的具体情况．
【详解】解：设截得的钢管有根，截得的钢管有根，
根据题意，得，
整理得，
为正整数，
为正偶数，即，解得，
为正整数，
的取值为，，，，
当时，，符合条件，
当时，，不是正整数，舍去，
当时，，符合条件，
当时，，不是正整数，舍去，
方程的正整数解为，．
答：共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根．
2．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：甲看错了方程①中的
满足题中的方程②，
，
解得．
乙看错了方程②中的
满足题中的方程①，
，
解得．
．
3．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键．
通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根．
【详解】是关于，的二元一次方程的一个解，
，
，
的算术平方根为，
，
，
，
，
的平方根为．
4．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示：
类型 A型 B型
进价（元/盏） 40 65
标价（元/盏） 60 100
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？
(3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏
(2)730元
(3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏
【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系．
（1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得；
（2）根据题意列出代数式进行解答即可．
（3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可．
【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏．
根据题意，得，
，
（盏，
答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏．
（2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元，
答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元．
（3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏．
则，
化简得．
因为均为正整数，所以必须是8的倍数．
当时，；
当时，；
当时，（不符合两种型号均购买，舍去）．
所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏．
5．阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可．
例：求二元一次方程的正整数解．
解：，．
、为正整数，
或．
【解决问题】
(1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______；
(2)求方程的正整数解；
(3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
【答案】(1)11
(2)
(3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案；
（2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可；
（3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵为非负整数，
∴是3的倍数，且为非负数，
∴是3的倍数，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵x为正整数，
∴为正整数，
∴是2的倍数，且y为正整数，
∴当时，，
∴原方程的正整数解为；
（3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，
由题意得，，
∴，
∵b为正整数，
∴为正整数，
∴a是4的倍数，且a为正整数，
当时，，
当时，，
∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子．
6．已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
【详解】（1）解：方程整理得，
∴当时，；当时，；
∴方程的正整数解有：，；
（2）解： 联立和得，，
得，，
将代入得，，
解得，
将和代入得，，
解得；
（3）解：变形得：，
令，得，
∴无论m取何值，都是方程的解，
∴公共解为．
7．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由．
【答案】不是，见解析
【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可．
【详解】解：不是．理由如下：
将和分别代入方程，得
由①，得．③
将③代入②，得，
解得．
将代入③，得，
所以原二元一次方程为．
将代入，得，
所以不是方程的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解．
8．为响应政府“五水共治”的统一部署，我市某开发区决定将企业的污水集中收集，统一处理，决定用750万元购买12台污水处理设备．现有三种型号的污水处理设备供选择，设型设备应各买入台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型 C型
价格（万元/台） 80 60 55
月处理污水量（吨/台） 2000 1900 1800
(1)购买C型设备________台（用含的代数式表示）；
(2)写出购买三种设备的所有方案；
(3)为使月处理污水量达到最大，型设备应各买几台？最大月处理污水量为几吨？
【答案】(1)
(2)方案1：A型2台，B型8台，C型2台，方案2：A型3台，B型3台，C型6台
(3)购买A型2台，B型8台，C型2台时，月处理污水量最大为22800吨
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程的解，有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据购买12台污水处理设备，型设备应各买入台，即可表示出购买C型设备数量；
（2）根据750万元可得，化简得到，而均为整数，然后分类讨论求解即可；
（3）分别计算两种方案的月处理污水量，然后比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，购买C型设备台，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：
化简得：．
均为整数，
∴方程的解为：．
总共只有12台，
∴只能或．
∴2种方案分别是：A型2台，B型8台，C型2台；A型3台，B型3台，C型6台．
（3）解：由题意：选第一种方案，共可处理污水（吨）．
选第二种方案，共可处理污水（吨）．
∴当购买A型2台，B型8台，C型2台时，月处理污水量最大为22800吨．
9．若是关于的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为2025是关于的二元一次方程，
所以．
解得．故选A．
【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下：
因为是关于，的二元一次方程，
所以
解得
故选D．
10．如图，点是线段上的动点，线段的长度与线段的长度都是正整数，点是线段的中点，且图中所有线段的长度之和为．请求出线段的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，列二元一次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握线段的和差．
设的长为x，的长为y，表示出所有的线段，根据线段长度之和得出，然后分析二元一次方程的正整数解即可．
【详解】解：设的长为x，的长为y，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∵图中所有线段的长度之和为23，
∴，
即，
∴，
∵x，y都是正整数，
∴方程的正整数解为：，
∴的长为3．
1．已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”．
(1)判断点是否为“梦之点”；
(2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由．
【答案】(1)是
(2)第三象限，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”定义，结合点坐标列方程求出、，再验证是否成立．
（2）依据“梦之点”定义，用表示、，代入列方程求出，得到点坐标，从而确定象限 ．
本题主要考查新定义“梦之点”与点的坐标、象限的综合应用，涉及方程求解，熟练掌握新定义的运用及通过方程确定未知数的值是解题关键．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
∴，
∴，
∴点是“梦之点”．
（2）解：点在第三象限．理由如下：
∵点是“梦之点”，
∴，
∴，
∴代入有，
解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴点在第三象限．
2．一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等．若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”．如123的“团结数”为．
(1)请求出427的“团结数”；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
【答案】(1)286
(2)284或218
【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的运算，列方程解决数字问题，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据定义列出代数式求值即可；
（2）根据定义表示出“团结数”，根据两数之差列出方程，根据的取值要求进行求解即可．
【详解】（1）解：427的“团结数”为；
（2）解：根据题意得，
，
整理得，
∵各不相等（），且都为的整数，
∴当时，符合题意，此时，N的值为；
当时，符合题意，此时，N的值为；
∴N的值为284或218．
3．综合与实践
【问题情境】
我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ．
【实践探究】
但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下：
由，得
∵x，y是正整数，
也是正整数，
∴可用观察法，得 ② ；
∴原方程的正整数解为：③ ．
阅读以上材料，解决下列问题：
(1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容；
(2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数．
【答案】(1)；3或10；或
(2)17
【分析】本题主要考查了解二元一次方程：
（1）①处求出方程的正整数解即可；②处满足是正整数，且要满足是正整数，据此可求出③处的答案；
（2）设这个正整数为m，（k为正整数），则，再由m与23的差是6的倍数，可设，据此可得，再保证是整数的前提下也要保证，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，且x、y都是正整数，
∴；
∵是正整数，
∴当时，，
当时，；
当时，，不符合题意；
∴原方程的正整数解为：或；
故答案为：；3或10；或
（2）解：设这个正整数为m，（k为正整数），
∴，
∵m与23的差是6的倍数，
∴可设，
∴，
∴是整数，且要保证，
∴当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
∵k随n增大而增大，m随k增大而增大，
∴m的最小值即为17．
4．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？
【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程：
准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）．
（1）探究过程：
天平左边 天平右边 天平状态
记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡
【解决问题】
通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量．
【拓展设计】
（2）“实践小组”继续探究，得到下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡
请你探究，的值．
【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，．
【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解，
[解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可；
[拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可．
【详解】解：[解决问题]：
设每个乒乓球的质量是克，则
依题意得：，解得：，
或
答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克．
[拓展设计]
①当时，
②当时，
③当时，．
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