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福建省厦门双十中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种
A．12 B．24 C．36 D．72
4．已知事件A与事件B相互独立，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
6．的展开式中，的系数是（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
7．小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（ ）种不同的涂色方法
A．320 B．360 C．420 D．480
8．已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则（　　）
A．的展开式中，二项式系数最大项为第10项
B．
C．的展开式的各二项式系数之和为
D．
10．在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ）
A．若A，B相邻，则不同的排序种数有240种
B．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种
C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种
D．A排在B，C之前的概率为
11．伯努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利 雅各布提出，其形式为：，则．则下列成立的是（　　）
A．若，则当且仅当时伯努利不等式的等号成立
B．若，则
C．
D．当且时，若不等式恒成立，则
三、填空题
12．英才高二年级男女生人数之比为11∶9，4月2日视力检测统计结果为男生近视率为0.7，女生近视率为0.5，则英才高二年级学生的近视率为______.
13．已知函数为减函数，则实数的取值范围是___________．
14．如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.

四、解答题
15．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：
（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？
（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）
16．在三棱锥 中， 平面 分别是 的中点，点 在棱 上，且 .
(1)求证: 平面 ;
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17．设，函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是函数的极大值点，证明：
18．已知椭圆：（）的长轴长与短半轴长的比值为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.
（ⅰ）若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围；
（ⅱ）若面积的最大值为，求椭圆的标准方程.
19．已知函数，（其中）．
(1)当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：
（i）；
（ii）．
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．A
5．B
6．A
7．C
8．D
9．BCD
10．ACD
11．AD
12．0.61/
13．
14．
15．(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,
共种不同的建组方案.
(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共种,其中只有男医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有种不同的建组方案.
(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为.
16．（1）连接AP并延长交BD于点N，连接NC，
过点M作BD的平行线交AN于点E，
因为，且M，P分别是 的中点，
，即，又因为，
所以，又因为平面，平面，
所以 平面 ；
（2）取CD的中点T，连接，则，
设，以T为坐标原点，分别以TB，TD，垂直于平面的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
那么，
设平面的法向量为，，
所以，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
因为平面的法向量为，
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为
17．（1）定义域为，
，
①当时，得，得，
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，得或，得，
则在上单调递减，在和上单调递增；
③当时，，则在上单调递增；
④当时，得或，得，
则在上单调递减，在和上单调递增，
综上可得，①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在上单调递减，在和上单调递增；
③当时，在上单调递增；
④当时，在上单调递减，在和上单调递增
（2）由（1）可知，当存在极大值时，，
当时，有，则，
设，，
则，
设，，
则在上单调递增，
又，则得；得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
可知；
当时，有，则；
综上可知成立
18．（1）因为长轴长与短半轴长的比值为，所以，即，
离心率.
（2）（ⅰ）由（1）知，椭圆方程为，
直线 l 方程为，代入椭圆方程：，即，
直线与椭圆有两个交点，故判别式，由可得.
焦距为，
即椭圆的焦距的取值范围为.
（ⅱ）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，
设，则，即，
，
，
原点 O 到直线 l 的距离，
，
令，由可得，
则，
当时，有最大值，令，可得，此时，符合题意；
当时，有最大值，令，可得（舍），
所以方程为.
19．（1），定义域，，
设切点为，切线斜率，即：，整理得，
解得（舍去，）， 切点坐标为，计算得，
切点在切线上，，故，解得.
（2）原方程，代入化简得，整理得，
即，方程有两个不同正根，且满足：.
（i）由，得，因为，所以，
要证，需证，即证，
令，则不等式化为，
设，则，
所以在单调递增，，即，，原不等式得证.
（ii）首先由(i)得，故，
又，故，得.
，
下证：令，则，所以在单调递减.
所以，即，.
所以，又由可得，
令，则，所以单调递增，可得，
所以，因为，所以，
所以.

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