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(共40张PPT)
沪科版数学九年级下册
25.1.1平行投影与中心投影
投影的概念
你知道物体与影子之间有什么关系吗？
观察与思考
25.1.1 平行投影与中心投影 教学过程
一、情境导入，感知投影（5分钟）
师：同学们，每天清晨当阳光洒向大地，地面上会出现我们的影子；夜晚打开台灯看书，桌面上会出现书本的影子；电影院里，放映机投射出的影像在幕布上形成精彩的画面。这些生活中随处可见的“影子”现象，在数学中都属于“投影”。今天我们就来系统学习两种最基本的投影类型——平行投影与中心投影，揭开影子背后的数学规律。（板书课题）
设计意图：通过阳光影子、灯光影子、电影影像等贴近生活的实例，让学生直观感知投影的普遍性，激发探究投影本质的兴趣，自然引入课题。
二、探究平行投影，明确特征（25分钟）
1. 观察分析，定义平行投影
师：请大家观察大屏幕上的两张图片（展示太阳光下的树影和窗户影子），思考这些影子的形成需要哪些条件？（引导学生总结：光源、物体、投影面）
师：这些影子的光源是太阳，太阳距离地球非常遥远，我们可以认为太阳光线是平行的。像这样，由平行光线照射物体形成的投影，叫做平行投影。（板书定义）生活中，太阳光、探照灯的光线形成的投影，都可以看作平行投影。
2. 动手操作，探究平行投影特征
师：请大家拿出准备好的小木棒和白纸，将白纸平铺在桌面上作为投影面，用手电筒模拟平行光线（保持手电筒与白纸平行移动，光线方向不变），照射小木棒，观察影子的变化。思考：当小木棒的摆放位置不同时，影子的形状和大小有什么特点？（学生操作，教师巡视指导）
生1：当小木棒与光线平行时，影子变成一条短线段；当小木棒与光线垂直时，影子最长。
生2：改变小木棒与投影面的夹角，影子的长度会变化，但影子的方向始终和光线方向一致。
师：大家观察得很细致。平行投影有两个核心特征：一是光线平行，二是同一时刻、同一投影面内，不同物体的影子方向相同；且物体与影子的对应点连线平行。（板书特征）
3. 平行投影的应用——正投影
师：在平行投影中，如果光线与投影面垂直，这种投影叫做正投影。正投影在工程制图、建筑设计中应用广泛，比如零件的图纸、房屋的平面图，大多是通过正投影绘制的。大家看大屏幕上的正方体正投影图，正方体的每个面都投影成了正方形或长方形，能准确反映物体的形状和大小。
师：思考一下，正投影属于平行投影的一种，它特殊在哪里？
生：光线与投影面垂直，影子能更真实地体现物体的实际尺寸。
三、探究中心投影，对比特征（25分钟）
1. 观察分析，定义中心投影
师：请大家再看另一组图片（展示台灯下的书本影子、路灯下的行人影子），这些影子的光源和太阳光有什么不同？（引导学生发现：光源是点光源，如台灯、路灯，光线从一点发出）
师：非常好。像这样，由同一点（点光源）发出的光线照射物体形成的投影，叫做中心投影。（板书定义）生活中，灯光、烛光、放映机光线形成的投影，都属于中心投影。
2. 实验探究，总结中心投影特征
师：请大家继续用小木棒和白纸做实验，这次将手电筒固定在一个点上（模拟点光源），改变小木棒到手电筒的距离，或改变小木棒到投影面的距离，观察影子的变化。对比平行投影，中心投影有什么不同特点？（学生操作，小组讨论）
生1：点光源下，小木棒离光源越近，影子越大；离光源越远，影子越小。
生2：同一时刻，不同物体的影子方向可能不同，物体与影子的对应点连线会交于一点，就是光源的位置。
师：总结得很准确。中心投影的核心特征是：一是光线从点光源发出，呈放射状；二是物体与影子的对应点连线都经过点光源；三是影子的大小与物体到光源的距离、物体到投影面的距离都有关。（板书特征）
3. 平行投影与中心投影的对比
师：为了让大家更清晰地分辨两种投影，我们从光源、光线特点、影子特征三个方面进行对比，请大家完成表格（教师出示表格，学生填空）：
投影类型
光源类型
光线特点
影子核心特征
平行投影
平行光（如太阳光）
光线平行
影子方向相同，对应点连线平行
中心投影
点光源（如灯光）
光线放射状
对应点连线过光源，影子大小随距离变化
师：大家要牢记这个对比表格，它是我们区分两种投影的关键。
四、例题讲解，巩固应用（15分钟）
例1：区分投影类型
判断下列投影现象属于平行投影还是中心投影，并说明理由：（1）正午时分，广场上旗杆的影子；（2）夜晚，教室里同学在日光灯下的影子；（3）皮影戏中，皮影在幕布上的影像。
师：大家结合两种投影的定义来判断。
生1：（1）是平行投影，因为光源是太阳光，属于平行光。
生2：（2）是中心投影，日光灯可看作点光源，光线从灯管发出，呈放射状。
生3：（3）是中心投影，皮影戏的光源是灯光，从一点发出照射皮影形成影子。
师：都判断正确。解题关键是看光源类型，平行光对应平行投影，点光源对应中心投影。
例2：中心投影的应用——确定光源位置
已知：如图，在路灯下，小明和小刚的影子分别为AB、CD，试确定路灯灯泡的位置O，并画出小红（点E处）在该路灯下的影子EF。
师：根据中心投影的特征，物体与影子的对应点连线会经过光源。大家思考，应该连接哪些点？
生：连接小明的头顶与影子的顶端A，小刚的头顶与影子的顶端C，两条连线的交点就是光源O。
师：非常好。确定光源O后，再连接O与小红的头顶，这条连线与地面的交点F就是小红影子的顶端，EF即为小红的影子。这个例题体现了中心投影“对应点连线过光源”的核心特征，是解决中心投影作图问题的关键方法。
五、课堂练习，强化技能（10分钟）
1. 填空题：（1）太阳光下，同一时刻直立的两根竹竿，长度长的竹竿影子______（填“长”或“短”），这是______投影的特征；（2）路灯下，人离路灯越近，影子越______（填“长”或“短”），这是______投影的特征。（答案：长，平行；短，中心）
2. 作图题：如图，在太阳光下，△ABC的投影为△A'B'C'，已知光线方向（如图箭头所示），请判断哪条线段是△ABC中BC边的对应边，并说明理由。（提示：根据平行投影“对应点连线平行”，过B作光线平行线交A'B'C'于B'，过C作光线平行线交A'B'C'于C'，则B'C'是BC的对应边）
（学生独立完成，教师巡视指导，针对投影类型判断错误、中心投影作图思路不清等问题进行集中讲解）
六、拓展探究，深化认知（5分钟）
师：大家思考一个问题：同一物体在平行投影和中心投影下的影子，可能完全相同吗？为什么？（引导学生结合特征分析）
生：有可能。比如当中心投影的点光源离物体足够远时，光线近似平行，影子就和平行投影的影子相似；但严格来说，光线本质不同，影子的细微特征还是有差异的。
师：非常有道理。在实际生活中，我们会根据需求选择不同的投影方式，比如建筑图纸用正投影（平行投影）保证尺寸准确，而电影、皮影戏用中心投影营造生动的视觉效果。
七、课堂小结，梳理知识（3分钟）
师：今天我们学行投影与中心投影，大家回顾一下核心内容。
生1：两种投影的定义：平行投影由平行光线形成，中心投影由点光源光线形成。
生2：平行投影特征是光线平行、影子方向相同；中心投影特征是光线放射状、对应点连线过光源。
生3：能区分两种投影，会利用中心投影特征确定光源位置，利用平行投影特征判断对应边。
师：大家总结得很全面。两种投影的核心区别在于光源类型和光线特点，解题时要紧扣各自的特征，结合实际问题灵活应用。
八、布置作业，延伸学习（2分钟）
1. 课本习题25.1第1、2、4题，巩固投影类型的判断和应用。
2. 实践任务：观察并记录生活中的3种投影现象，分别判断属于哪种投影类型，写出判断依据，并拍摄对应的照片（或画出示意图）。
师：今天的课就上到这里，下课！
照射光线叫做投射线，
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.
归纳：
投影面
投影
投射线
投影所在的平面叫做投影面．
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？
太阳离我们很遥远，其光线可以看成平行光线.
观察与思考
由平行光线形成的投影叫做平行投影．
归纳：
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子 (简称日影) 就是平行投影．
日影的方向可以反映时间，我国
古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
例 1 某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙杆高 1.5 m.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能
画出此时乙木杆的影子吗？
（甲）
（乙）
A
D
D'
B
E
E'
典例精析
（甲）
A
D
D'
B
(2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在
墙上？
E
E'
(3) 在(2)的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别
为 1.24 m 和 1 m，那么你能求出甲木杆的高度吗
答案：1.86 m.
（甲）
A
D
D'
B
E
E'
（乙）
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．
观察与思考
你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？
知识要点
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就
是中心投影．
由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．
例 2 确定下图中路灯灯泡所在的位置.
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再
过另一根木杆的顶端及其影子的
顶端画一条直线，两线相交于点
O，点 O 就是灯泡的位置.
O
平行投影和中心投影有什么区别和联系呢
思考：
区别 联系
平行投影
中心投影 投射线互相平行，
形成平行投影
投射线发自一点，形成中心投影
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影)
问题1 下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子. 你能判断出哪幅图是灯光下形成的，哪幅图是太阳光下形成的吗？
光线相交→灯光
光线平行→太阳光
观察与思考
问题2 一个广场中央有一盏路灯.
（1）高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗 如果不一定，那么什么情况下他们的影子一样长？
不一定一样长，只有在距离路灯的距离相等时候影子才会一样长.
（2）高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗
在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时，影子短，离点光源距离远时，影子长.

C
B
A




(1) 直线 L1 上三点 A，B，C 被平行投影到直线 L2 上，对应的点为 A'，B'，C'，问对应点的连线之间有怎样的位置关系？
问题3
A′ B′ C′

平行

C
B
A





O
(2) 直线 L1上三点 A，B，C 被中心投影到直线 L2 上，对应的点为 A'，B'，C'，问对应点的连线之间有怎样的位置关系？
C′
B′
A′
L1
L2
相交于一点
例3 一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面的长 1.5 m 的竹竿的影长为 3 m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上. 经测量，留在墙上的影高 CD = 1.2 m，地面部分影长 BD = 5.4 m，求树高 AB.
A
B
D
C
E
解：方法① ：过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于点 E.
∴AB = AE + EB = 1.2 + 2.7 = 3.9 (m).
∵四边形 AEDC 为平行四边形，∴ AE = CD = 1.2 m.
A
B
D
C
方法② ：延长 AC 交 BD 的延长线于点 E，如图.
∵ BD = 5.4 m，
∴ BE = BD + DE = 5.4 + 2.4 = 7.8 (m).
∴ 解得
∴ 树高 AB 为 3.9 m.
E
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D
1．下列投影中，是平行投影的是(　　)
A．路灯下行人的影子
B．舞台上演员的影子
C．台灯下书本的影子
D．太阳光下旗杆的影子
2．下列四幅图中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图可能是(　　)
A
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3．[2025合肥模拟]房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．三角形 D．平行四边形
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D
4．下列现象属于中心投影的有(　　)
①小孔成像；②皮影戏；③手影；④放电影．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
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5．在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是(　　)
A．A的左侧 B．A，B之间
C．C的右侧 D．B，C之间
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B
返回
6．如图，某同学下晚自习后经过一路灯，他从A处背着路灯方向走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子(　　)
A．先变短后变长
B．由长逐渐变短
C．由短逐渐变长
D．始终不变
C
7．如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)
A．90 cm2 B．135 cm2
C．150 cm2 D．375 cm2
【答案】D
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8. 小明晚上在路灯下的示意图如图，线段MN表示直立的灯杆，灯泡P在其上端某处，线段AB表示一棵树，线段BC表示它在地面上的影子，线段EF表示小明．
(1)此光源下形成的投影是________
投影．(填“中心”或“平行”)
中心
(2)请确定灯泡P所在的位置，并画出小明的影子．
【解】如图，点P为灯泡，线段FQ为小明的影子．
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9．[2025亳州开学考]如图，在平面直角坐标系中，点P(4，4)处有一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，2)，(3，2)，则木杆AB在x轴上的投影长为(　　)
A．7
B．6
C．5
D．3
B
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10．如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶CD＝EF＝GH＝0.2 m，DE＝FG＝0.4 m，此时台阶上的点P在地面上的投影为点M，QM＝0.45 m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9 m，则树的高度AB为(　　)
A．3 m B．3.6 m
C．4 m D．4.8 m
【点拨】如图，过点G作GR⊥BM于点R，GS⊥AB于点S，则四边形BRGS是矩形．由题易得BS＝GR＝0.2×2＝0.4(m)，PQ＝0.2×3＝0.6(m)，RC＝2×0.4＝0.8(m)，∴SG＝BR＝BC＋RC＝1.9＋0.8＝2.7(m)．
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【答案】 C
11．如图，在某校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且AD＝DF＝FH＝HB.在明德楼楼顶的照明灯P的照射下，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN.
该校“探数学”兴趣小组的同学
测得文化长廊AB＝32米，塑像
的高CD＝EF＝3米，塑像CD的影长DM＝2米．
(1)明德楼PA的高度为________；
(2)求塑像EF的影长FN.
15米
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平行投影与中心投影
投影的概念
平行投影与中心投影
投影作图
投影的有关计算
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