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2025～2026 学年度第二学期高二数学 4 月检测题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1．已知函数 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．设函数 f（x）在（﹣∞，+∞）内的导函数为 f'（x），若 ，则 （ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．
3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、
兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲
同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙
三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选
法有（ ）
A．60种 B．80种 C．90种 D．100种
4．若 ，则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各 1张，从中任选 2张，则一共可以组成不同的币值
种数是（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
6．函数 在定义域 内恒满足 ，其中 为 的导函
数，则（ ）
A． B． C． D．
7． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．对于三次函数 ，给出定义： 是 的导函数，
是 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。
9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 42种
C．甲乙不相邻的排法种数为 82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 20种
10． 的展开式中的有理项有（ ）
A．1 B． C． D．
11．设 的图象在区间 上是一条连续不断的曲线， ， ， ，总有
，则称 在 上是上凸函数.已知 是 的上凸函数，
且 （ 是 的导函数），则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请把答案填在答题卡相应
位置上。
12．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.
如图，现有悬挂着的 6盏不同的花灯需要取下，每次取 1盏，则不同取法总数为_________
13．已知 ，则 ____．
14． 的图象在点 处的切线斜率为 ，则 的值
为______.
四、解答题：本题共 5 小题，第 15 小题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、
19 小题 17 分，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把
解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。
15．求下列已知函数的导函数：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
16．将 4个编号分别为 1，2，3，4的小球放入 4个编号分别为 1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（5）把 4个不同的小球换成 4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
17．将一个边长为 米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起
（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
(1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 表示为盒底边长 的函数；
(2) 多大时，盒子的容积 最大
18．已知 ，求解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
19．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.《2025～2026 学年度第二学期高二数学 4 月检测题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C A D A B
题号 9 10 11
答案 ABD ABD AD
1．D
【详解】解：因为 ，所以
，故选：D
2．B
【详解】令 lnx＝t，则 x＝et，代入 得， ，∴ ，
∴ ．故选：B．
3．B
【详解】根据题意，按甲的选择不同分成 2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选择有 2种，丙的选择有 10种，此时有 种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有 2种，乙的选择有 3种，丙的选择有 10种，
此时有 种不同的选法；则一共有 种选法.故选：B.
4．C
【详解】 ，∴ 即 ，
∴ 或 （舍）.故选 C.
5．A
【详解】从 4张人民币中任选 2张，有 种选法，
所有选法的组合及对应的币值分别为：
壹元 伍元 6元；壹元 拾元 11元；壹元 贰拾元 21元；
伍元 拾元 15元；伍元 贰拾元 25元；拾元 贰拾元 30元；
所有组合的总和均不重复，所以不同的币值有 6种.
故选：A
6．D
【详解】令 则
由 ，所以函数 在 上单调递增
所以
令 则
由 ，所以函数 在 上单调递减
所以 ，故选：D
7．A
【详解】 展开式通项为： ；
令 ，即 ，则 ；令 ，即 ，则 ；
的系数为 .故选：A.
8．B
【详解】 ， ，得 ，
又 ，所以函数 关于点 对称，即 ，则
，
且 ， .故选：B
9．ABD
【详解】对于 A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 种，A
正确；
对于 B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有 种排法；若最
左端排乙，有 种排法，合计不同的排法共有 42种，B正确；
对于 C，甲乙不相邻的排法种数有 种，C不正确；
对于 D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 种，D正确. 故选：ABD
10．ABD
【详解】 的展开式通项为 ，
由 可得 ，所以展开式中的有理项有：
．故选：ABD．
11．AD
【详解】对于 A，由 ，知得 在 递增，因为 ，所以
，选项 A正确；
对于 B，因为 在 上是“上凸”函数，由导数的几何意义知，
随着 的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，
所以， ，选项 B错误；
对于 C，D，设 ， ，
由切线的几何意义知， ，
即 ，
即 .选项 C错误，D正确. 故选：AD.
12．
【详解】由题意，对 6盏不同的花灯进行取下，
先对 6盏不同的花灯进行全排列，共有 种方法，
因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，
所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故共有取法总数为： .
故答案为：
13．
【详解】因为 ，
则 是 中的一次项 ，常数项 分别与 的展开式中的 项相乘积的和的系数，
所以 .故答案为：16
14．
【详解】对函数求导可得，f′(x)＝ + sinx，∴ f′(x0)＝ + ＝
∴ sinx0 cosx0＝0，∴ tanx0＝ ∴ tan2x0＝ = = ，故答案为： .
15．(1) (2)
(3) ． (4)
【详解】（1）由 得 ．
（2） ．
（3）方法一：
．
方法二：因为 ，
所以 ．
（4）令 ，则 ，
所以 ．
16．（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12.
【详解】（1）根据题意，每个小球有 4种放法，则 4个小球有 44＝256种放法，
（2）根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放 1个球，有 ＝24种放法，
（3）根据题意，分 2步进行分析：在 4个球中任选 2个，
放入 1个盒子中，有 ＝24种放法，
在剩下的 3个盒子中，任选 2个，
放入剩下 2个两个小球，有 ＝6种放法，则有 6×24＝144种放法；
（4）根据题意，分 2步进行分析：在 4个小球中任选 1个，
放入编号相同的盒子中，有 ＝4种放法，
剩下 3个小球放入编号不同的盒子中，
有 2种放法，则有 4×2＝8种不同的放法，
（5）根据题意，在 4个盒子中选出 1个，放入 2个小球，有 4种选法，
在剩下的 3个盒子中，任选 2个，分别放入 1个小球，有 ＝3中选法，
则有 4×3＝12种不同的放法．
17．(1) ， . (2)
【详解】（1）如图，易得 ， ， ，
则盒子的高 ，
所以盒子的底面积 ，
所以盒子的容积 ， .
（2）由（1）可得 ， ，
所以 ，令 ，解得 ， （舍去），
所以当 时 ，则 单调递增，
当 时 ，则 单调递减，
所以当 时 取得极大值，即最大值，
所以当 米时，盒子的容积最大.
18．(1)1； (2) ； (3) ； (4) .
【详解】（1）令 ，得 ①．
（2）令 ，得 ②，
由① ②，得 ，
.
（3）相当于求展开式 的系数和，令 ，得 ．
（4） ，
两边分别求导，得 ，
令 ，得 ．
19．(1)答案见解析 (2)
【详解】（1）函数 ，定义域为 ，
求导 ，
①若 ， ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
②若 ，令 ，得 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当
时， ， 单调递增.
③若 ， ， 在 上单调递增.
④若 ，令 ，得 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当
时， ， 单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增，故 ，
，解得 ， ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故
，即 ， ，解得 ，
；
综上所述， 的取值范围是

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