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天津市北辰区 2026 年高三质量调查试卷(一) 数 学
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。祝各位考生考试顺利！
第 1 卷
注意事项:
1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。
2. 本卷共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分。
参考公式:
全概率公式 .
一. 选择题: 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 为
A. B. C. D. {2}
2. “ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的图象大致为( )
D.
4. 下列命题:
①回归方程为 时，变量 与 具有负的线性相关关系；
②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ③ 在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，当样本相关系数 越接近 1 时,样本数据的线性相关程度越强.
④对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说, 越小,判断“ 与 有关系” 的把握越大. 其中正确的命题序号是
A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④
5. 已知数列 为等比数列, ,且 ,若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上, , 平面 ,则球 的表面积为
A. B. C. D.
7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象, 则下列四个结论:
是 的一个解析式;
②g(x)是最小正周期为π的奇函数；
③ 的单调递减区间为 ;
④ 点 是 图象的一个零点.
其中正确结论的个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 是 内一点且 ,若 和 的面积分别为 ,则 的最小值是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9. 过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 两点， ，抛物线的准线与 轴交于点 ,则 的面积为
A. B. C. D.
第 II 卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共 11 小题, 共 105 分。
二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 试题中包含两个空的, 答对 1 个的给 3 分, 全部答对的给 5 分.
10. 已知 为虚数单位,若复数 ,则 _____.
11. 展开式中 的系数为_____。(用数字作答)
12. 若直线 与两坐标轴的交点为 ,则过 及原点 三点的圆的方程是_____.
13. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评。某款人形机器人在排练时, 若对机器人下达的动作指令表述清晰, 则机器人成功完成指令的概率为 0.9 ; 若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为 0.5 。若下达的动作指令表述模糊的概率为 0.25 ，则该机器人成功完成指令的概率为_____；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了 7 个动作指令，机器人成功完成了其中 5 个。现从这 7 个指令中随机抽取 4 个进行问放分析，以 表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望 _____.
14. 已知平面四边形 满足 且 ， 为 的中点，则 _____，若 、 分别为线段 、 上的动点，且满足 ，则 的最小值为_____.
15. 若函数 有且仅有一个零点 ，且 ，则实数 的取值范围为_____
三. 解答题:本大题共 5 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
16. 在 中,角 所对的边分别为 . 已知 , .
(I) 求 的值;
(II) 求 的值;
(III) 求 的值.
17. 如图，在多面体 中，四边形 为正方形， 平面 ，
.
( I ) 求证: ;
(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值;
(III) 在线段 上是否存在点 ,使得直线 与 所成角的余弦值为 ，若存在，求出点 到平面 的距离, 若不存在, 请说明理由.
18. 已知椭圆 的右顶点为 ,上顶点为 为坐标原点,椭圆内一点 满足 ， .
(1)求椭圆的离心率；
(Il) 椭圆上 点 在第一象限,且满足 与椭圆交于点 ，
直线 交 的延长线于点 . 若 的面积为 ，求椭圆的标准方程.
19. 已知 是等差数列, .
(I) 求 的通项公式和 ;
(II) 已知 为正整数,记集合 的元素个数为数列 . 若 的前 项和为 ,设数列 满足 ,求 的前 项的和 .
20. 已知函数 ，其中 .
(I) 当 时,求函数 在点 上的切线方程. (其中 为自然对数的底数)
( ll ) 已知关于 的方程 有两个不相等的正实根 ,且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 设 为大于 1 的常数,当 变化时,若 有最小值 ,求 的值.
天津市北辰区 2026 年高三质量调查试卷(一) 数学参考答案
一、选择题: 每题 5 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B A C D C A D B
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 试题中包含两个空的， 答对 1 个的给 3 分, 全部答对的给 5 分.
10. 1 11. 28 12.
13. 14. 15.
三、解答题:本大题共 5 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤.
16. (本小题满分 14 分)
解: (I) 由正弦定理 及 得 所以, , .2 分由余弦定理 得 , 4 分所以, . .5 分
(II) 因为 ,
所以, , .6 分
由正弦定理得， . .7 分
(III)由(I)可知 ，所以， ，
所以, , .8 分
所以, , 9 分
所以, , 12 分
所以, .13 分
. 14 分
解: 依题意,以 为原点,分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,可得 、
1 分
(I) 依题意, , .2 分
从而 , 3 分
所以 ; 即: . .4 分
(II) 依题意, , .5 分
设 为平面 的法向量,
则 ,
不妨设 ,可得 . .7 分
因为 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . .9 分
(III) 假设线段 上存在一点 ,使得直线 与 所成角的余弦值为 . 则 .
依题意, 则,
,解得 . 12 分
所以存在点 满足条件,
所以可得 , 13 分
由 (II) 可知平面 的一个法向量为 ,
所以点 到平面 的距离为
.15 分
18. (本小题满分 15 分)
解: (1) 为 的中点, 1 分
.2 分
解得: , 3 分
因为 ,所以 ,
离心率 ; .4 分
(2) ，则直线 的方程为: ， 5 分
与椭圆 联立得: , .6 分
解得: ,
在第一象限, ,故 .7 分
关于原点对称, ,所以 , .8 分
, 9 分
则直线 ，联立: ，得: ， .10分 的方程为 ,即 , .11 分
点 到 的距离为 , 12 分
, .13 分
，解得 ， .14 分
椭圆的标准方程为 . .15 分
19. 解 (I) 设等差数列 的首项和公差分别为 ,
由题意可知 , 1 分
解得 , .2 分
所以 . 3 分
易知当 ， 时， ；当 ， 时， ， 分
所以
.7 分
(II) 由 ,即 ,即 , 8 分
所以 , 9 分
所以 10 分
, .12 分 . .15 分
20. 解:
(1)当 时， , 1 分
. 2 分
切线方程为 即 .3 分
(2)① 由 且 ，可得 .
设 ,则 , .4 分
令 ,解得 . 当 时, 单调递增; 当
时, 单调递减; .5 分
函数 的图象如下:
又 趋向于 0 时 趋向 趋向于 时 趋向 0; .6 分要使 图象与直线 有两个交点,则 , .7 分故 的取值范围是 .8 分
② 因为 ,由 ① 得 ,则 , 设 ,则 ,即 , 9 分由 有最小值 ,即 有最小值
10 分
记 ,
由于 时, ,则 在 单调递减, 时, ,则 在 单调递增. .11 分
又 ,且 趋向于 时 趋向 ,故
且唯一,使得 . 此时 时, ,即 ,
此时 在 上单调递减; 时, ,即 在
上单调递增.
所以 时, 有最小值 , .12 分
而 ,即 ,
,此时 .13 分
由题意知 ,令
设
设 .14 分
设 ,故 递增, .
此时 递增,有 ,此时 ,故 在 递增, 而 知, 的唯一解是 .15 分故 的唯一解是 ,即 .
综上所述， .16 分

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